1、4.點電荷的場強公式 e = q2 er4 n0 r $5.場強疊加原理例 均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強。設(shè)半徑為 R 的 細圓環(huán)均勻帶電，總電量為 q，P 是軸線上一點， 離圓心O的距離為x ,求P點的場強。dE 丄=dE sin0(4) 積分求解:由于對稱性E = JdE = 0 E = E / = JdE / = J勝血dq在積分過程中，r和cos&保持不變，可以提到積分號外，即COS04 ns0 r2q cos04 ns0 r2/ cos& = , r = l R1 + x2 rE=qx4 ns0( R2 + x 2)3/2xQE =一 4 neo （x 2 + R 2 f（4）dE

2、= 0, x = dx討論M（1）環(huán)心處，x = 0, E = 0（2）當(dāng)Q 0時，E沿軸線指向遠離軸線的方向;當(dāng)x R時，E = 相當(dāng)于的個點電 4neox2荷產(chǎn)生的電場。A思考如果把圓環(huán)去掉一半， P 點的場強是否 等于原來的一半？思考求均勻帶電圓盤軸線上一點的場強，如何取微元？正方形帶電線框中垂線上一點的場強?長方形帶電板中垂線上一點的場強？例均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。半徑為R的圓 盤均勻帶電，面電荷密度為b(b 0)。P為軸線 上一點，離圓心O的距離為x，求P點的場強。解：帶電圓盤可分割成許多同心圓環(huán)，取半徑為r , 寬度dr的圓環(huán)，其電量為 也兀rdr，它產(chǎn)生的場強為:dE =a

3、2 nrdrx4 ns0( r2 + x 2)3/2由于不同圓環(huán)在P點產(chǎn)生的場強方向相同，因此P 點的合場強為：E = J dEa2 nrdrxEn0( r2 + x J32_ ax 嚴rdr=2T J) (r2 + x2)3/2 a討論2s0 (r2 + x2)3/21 - (R 2 + x 2)1/2(1)當(dāng) xR 時，(RR + x= x一1 (1 + R2/x2)% -xE q 兀 R2a/ (4兀0 x2 )= q/ (4兀qx2 ) 式中q =兀R2a是圓盤所帶的總電量，說明在遠離圓 盤處的電場也相當(dāng)于點電荷的電場。無限大帶電平面a 0ao點電荷電偶極子條件r r 無限大帶電面X疊

4、加原理 1.3| 高斯定理(Gauss Theorem) 131電場線(electric line of force or electric field line)1.dN勻強電土E場/dSiA些靜電場的電場線圖形點電荷E=e- 1電偶極子 E =3-P + 3r -p)er4 ns0 ra0 1.3.1 電場線(Electric field line)2. 性質(zhì)電場線起自正電荷(或無窮遠處)，止于負 電荷，不會在沒有電荷處中斷；若體系正、負電荷一樣多，則由正電荷發(fā) 出的全部電場線都終止于負電荷；電場線不會形成閉合曲線；沒有電荷處，兩條電場線不會相交。 1.3.2 電通量(Electric F

5、lux)1.定義：通過任一面的電場線條數(shù)dp = EdS 丄=EdS cos0 dS = dS盤E dS = E endS = EdScos0 dp = E dS2. 通過任意曲面的電通量怎么計算？把曲面分成許多個面積元 每一面元處視為勻強電場 p = Jdp = JE - dS(1) dp = EdS可正可負取決于面元的法線方向的選取0是銳角，左-dS 00是鈍角，左-dS V 0通過閉合曲面的電通量0e = jdS規(guī)定：面元方向 由閉合面內(nèi)指向面外電場線穿入EdS V 0電場線穿出E - dS 0通過整個閉合曲面的電通量就等于凈穿出封閉面的 電場線的總條數(shù)。(A)在電場中把任 思一T咼斯面

6、 分成許多小方 形面兀。島鶴度矢量情況。用電通量的概念給出電場和場源電荷之間的關(guān)系在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意 封閉曲面的電通量等于該封閉曲 面所包圍的電荷的電量的代數(shù)和 的1/的倍。_ Z Q 內(nèi)薩血=七TGauss面上的場強，是所有電荷產(chǎn)生的場面內(nèi)電量的代數(shù)和，與面外電荷無關(guān)通過任意閉合曲面的電通量0e = f E-dS =甲1 內(nèi)0高斯長期從事于數(shù)學(xué)并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天 文學(xué)和大地測量學(xué)等領(lǐng)域的研究，主要成就：物理學(xué)和地磁學(xué)：關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電 的研究、利用絕對單位(長度、質(zhì)量和時間)法 則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。光學(xué)：利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像

7、，建立高斯光學(xué)。天文學(xué)和大地測量學(xué)中：如小行星軌道的計算， 地球大小和形狀的理論研究等。試驗數(shù)據(jù)處理：結(jié)合試驗數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概 率統(tǒng)計理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引 入高斯誤差曲線。高斯還創(chuàng)立了電磁量的絕對單位制。二、推導(dǎo)1.只有一個點電荷且閉合曲面為以點電荷為球心的球面半徑為 r 的球面上的場強：E=*e通過面元 dS 的電通量：陀=E -亦=EdS=超岀通過球面 S 的電通量： 0空= E - dS = J dS e RR 4 ns0 r2這一結(jié)果與球面 半徑 r 無關(guān)，只=J 4 dS = J 4 nr24ns0r4ns0r與它所包圍的電荷電量 q 有關(guān)。3. 點電荷在閉合曲面

8、外0e =掙dS=0曲面為任意閉合面且點電荷在曲面內(nèi)穿過球面 S 的每一條電場線必 然通過曲面,反之亦然，故 通過曲面&的電通量：e = dS = q進出S的電場線的條數(shù)相 等，凈通量為零，故通過曲 面S的電通量：推論：對任意連續(xù) 電荷分布亦正確。4. 生場電荷為多個點電荷E = E1 + E 2 + + En =Y EiF- n F - i Te = jE - dS = Z ( Ei . dS=f ( Ei-dS +t % Ei-dS i=1i= j+1 isE i - dS= =7 力 q 內(nèi)i =1i =100XLr*高斯定 理成立1.以上對高斯定理的證明并不嚴格，實際上，高斯定 理可從

9、庫侖定律嚴格導(dǎo)出，它是平方反比規(guī)律的必 然結(jié)果。它源于庫侖定律，高于庫侖定律 （適用運 動電荷的電場）。2.高斯定理中的運是封閉曲面上各點的場強，是由面 內(nèi)面外所有電荷共同產(chǎn)生的，并非只由封閉曲面內(nèi) 的電荷所產(chǎn)生。只有封閉曲面內(nèi)部的電荷才對通過封閉曲面的 總電通量有貢獻，封閉曲面外部的電荷對這一 總電通量無貢獻，即通過封閉曲面的總電通量 取決于它所包圍的電荷。高斯定理中的Yq內(nèi)叫做封閉曲面內(nèi)的凈電荷 當(dāng)它等于零時，通過封閉曲面上的電通量就為 零，這并不意味著封閉曲面上的電場處處為 零，也不意味著封閉曲面內(nèi)一定無電荷。靜電場性質(zhì)的基本方程，有源場。+q,發(fā)出q/0條電場線，是電場線的“頭”-q,

10、吸收q/So條電場線，是電場線的“尾”思考題：1）若高斯面上場強處處為零，能否認為高斯面內(nèi)一定無電荷？2）若高斯面上場強處處不為零，能否說明高斯面內(nèi)一定有電荷？場強的通量與場強是兩個不同的概念）3）若穿過高斯面的電通量不為零，高斯面上的場強是否一定處處不為零？q/(6o)4）一點電荷 q 位于一立方體的中心，立方體邊長 為 L ，試問通過立方體一面的電通量是多少？若此電荷移動到立方體的一個頂角上，這時通 過立方體每一面上的電通量是多少？思考題 一點電荷 q 位于一立方體的一個頂角上，立方體邊長為 L ，試問通過立方體每一面上的電通量是多少？答：點電荷的電場線是徑向的。因此包食點 厶口電荷所在的

11、頂點的三個面上各點的E均 3 2 平行于各自的平面，故通過這三個面的 3 V 電通量為零。為了能應(yīng)用高斯定理方便地求出電通量，必須使 q 位于一高斯面內(nèi)，今在 q 周圍再聯(lián)接 7 個大小相同的立方體，使 q 位于中心，這時通過邊長含 ）：$7 :Z:； 為 L 的立方體的另外三個面的電通量 各為（24壞）。1.3.4 利用高斯定理求靜電場的分布高斯定律的成立條件是普遍的，但為EdS =丄Vq 了用高斯定理求場強，問題本身必須 坯厶內(nèi)具有良好的對稱性，以便將高斯定理 中面積分下的E提到積分號外。A常見的電量分布的對稱性：稱荷對電 球點面體球球例求均勻帶電球面（0人）的電場強度。電場分布的對稱性分

12、析A例求均勻帶電球面的電場分布。設(shè)球面半徑為人球 面上所帶總電量為q (q 0)。解: 本例中電荷分布具有球?qū)ΨQ性，可以判斷，空間任 意點的場強一定沿著徑矢方向，而且在與球心O等 距離處，場強E的大小應(yīng)相等。設(shè)P是空間任意一 點，與球心O的距離為r。以點O為球心，通過P 點作半徑為 r 的球面，以此作為高斯面 。當(dāng)r R時，高斯面為S應(yīng)用高斯定理:插-dS=2為q內(nèi)E= -qlE -dS=2 qE 4 nr2 =丄 qE=(r R)方向沿徑矢向外與整個球面的電量都集中在球心時的場強相同當(dāng)r v R時，高斯面為S,應(yīng)用高斯定理:E = 0(r v R)所以均勻帶電球面場強分布0qE=(r v R

13、)4 neo r 2 耳(r R)對于 q 0 的情況 一樣，但球外場強的方向指向帶電球面。1.如何理解面內(nèi)場強為0 ?過P點作圓錐則在球面上截出兩電荷元di = bdSd2 = er dS 2dqi在P點場強 dE1 =dQ方向1 4 n0 r1 4 ns0如圖dq2在P點場強dE2 =網(wǎng)與=dQ方向4 ns0 r 4 ns0如圖dE = dE 2平面角eA!B9（弧度）立體角q =SF（球面度）2.如何理解帶電球面r = R處E值突變？ 因為上面采用了面模型。例求帶電球?qū)?R R2, Q)的電場分布 解：f E - dS = E 4 nr2 =空內(nèi)S0當(dāng) r v Rj 時，Z 9內(nèi) = 0

14、E = 0(43 43、當(dāng) Rx r R2 時，Z q內(nèi) =p( 3 nR2 _ 3 nRiE = p(r2_Ri) _q昭 _ 4ns0r2 5O RR厚度為零球面O R1 R2OR = R2r例均勻帶電球體R, q(p)的場強。解：上題中0,3)宀eI4 n0rR2=Rq4 ns0 R 3(r R)解：大球+p場強E=r1小球-p場強E2 =-E = E + E 2=盒伉-爲(wèi))A用高斯定理求場強的一般步驟isEdS =丄力q內(nèi)根據(jù)電荷分布的對稱性分析電場分布的對稱性；選擇適當(dāng)?shù)拈]合積分曲面作為高斯面；分析高斯面的各部分上E的大小和方向以及cos0 的具體情況，將iEds積出來；利用高斯定理

15、，建立E和生場電荷的聯(lián)系，并說 明E的方向；在有些問題中，閉合面內(nèi)的凈電荷也要用積分計例無限長的均勻帶電直線，線密度兒 求場強。對稱性的分析取合適的高斯面 計算電通量j E - dS = J E - dS + J ES 側(cè)面 兩底面 利用高斯定理解出 EE 2 nrl =細so22ns0 r半徑為R,單位長度帶電量為2(2 0)。解：由于電荷分布具有軸對稱性， 可以確定電場分布也具有軸對 稱性，即與圓柱面軸線等距離的各點的場強大小相等，方向 都垂直于圓柱面向外。設(shè) P 是空間任意一點，與圓柱面軸線的距離為尸。通過P點以圓柱面軸線為軸作柱面高度為，再加上上下 底面形成閉合面作為高斯面。當(dāng)r R時

16、，高斯面為5,應(yīng)用高斯定理:叭= isE -d5=上底 E d5 + 下底 E d5 + 側(cè)面 E d50e=iE dS =JEdS+匱dS+瞌dS高斯面上、下底面上各點場強與 底面平行，故上、下底無電通量叭=E dS = f E dSe 側(cè)面?zhèn)让鎕=E J側(cè)面 dS = 2 nrhEE = ：2nr(r R)方向垂直于圓柱面向外與整個圓柱面的電量都集中在軸線上的場強相同。 當(dāng)r R,取高斯面Si _j E dS = j E dS + jE dS + jE dS 側(cè)上0下底工T=j E dS = j EdS = E 2 nrl=q內(nèi)/ s0 = nR 2 Ip Io一袒 Si.、W MHS2V

17、idSjSiE外=R p2. r 人，取高斯面S2陥=竊r2s0 r個 Ej E - dS = E 2 nrlS220 s0_ q內(nèi) _ ntCp例巧克力碎屑的秘密I爆炸條件：電場的大小 30 xl06N/C。管道半 徑為R = 5.0 cm；體電荷密度p= TlxlO-3 C/m3。(1) 求管道中的電場大小；(2)火花會出現(xiàn)嗎？如果 會，在哪里？解： E int =（2）Eintmax =R= 3.1x106 N/C 3.0 x106 N/C故火花會出現(xiàn)在r = R處。例 求無限大均勻帶電平面的電場分布。已知帶電平面 電荷面密度為a(a 0)。解：由對稱性可知，與平面等遠處 的場強大小相等

18、，平面兩側(cè)場 強方向應(yīng)垂直于平面，且指向 外。設(shè) P 是空間中任意一點， 與帶電平面的距離為尸。作如 圖所示的柱狀高斯面，其側(cè)面 與帶電平面垂直，兩底面與帶電平面平行且等距離，底面積為AS ,而P點就位于底面中心。應(yīng)用高斯定理：0e = dS=:盤dS+盤dS+瞌dS二盤dS+盤dS+0 =2 EAS工q內(nèi) =沁所以2 EAS =些%E = 22%0即帶電平面兩側(cè)的電場是垂直于平面的均勻場，當(dāng)2 0時，左的方向遠離平面;當(dāng) 2 02 f J 亙例 求無限大，厚度為 d 的帶正電厚壁的電場分布。已 建立坐標(biāo)系如圖所示，體電荷密度為p= kx (k為常數(shù))。Lr-*rlv*W7解：(1) 場強疊加法。 厚壁 = 很多無限大薄x處dx/厚的薄板的面電荷密度