1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知向量，且，則（ ）ABC1D22設函數滿足，則的圖像可能是ABCD3如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和 棱 上任意一點，則的最小值為（ ）ABCD4已知

2、，如圖是求的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應填入ABCD5已知F為拋物線y24x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則|FA|FB|的值等于（）AB8CD46有一改形塔幾何體由若千個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是（ ）A8B7C6D47已知等差數列的前項和為，則（ ）A25B32C35D408已知命題p：若，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（ ）ABCD9集合的真子集的個數為( )A7B8C31D3210定義在

3、上函數滿足，且對任意的不相等的實數有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數m的取值范圍是（ ）ABCD11為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標原點，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD12已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經過點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13定義在上的奇函數滿足，并且當時，則_14數列滿足遞推公式，且，則_.15若函數為偶函數，則_.16如圖所示，直角坐標系中網格小正方形的邊長為1，若向量、滿足，則實數的值為_ 三、解

4、答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，、分別為、的中點（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值18（12分）在等比數列中，已知，.設數列的前n項和為，且，（，）.（1）求數列的通項公式；（2）證明：數列是等差數列；（3）是否存在等差數列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數列；若不存在，請說明理由.19（12分）已知中，內角所對邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設，求的取值范圍.20（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.（

5、1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21（12分）已知拋物線E：y22px（p0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1x2且x1+x21線段AB的垂直平分線與x軸交于點 C（1）求拋物線E的方程；（2）求ABC面積的最大值22（10分）正項數列的前n項和Sn滿足： (1)求數列的通項公式； (2)令，數列bn的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN*，都有Tn .參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

6、1A【解析】根據向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，且，所以解得.故選：A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.2B【解析】根據題意，確定函數的性質，再判斷哪一個圖像具有這些性質由得是偶函數，所以函數的圖象關于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B3D【解析】取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時， 最小，由 ，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時， 最小此時由面，可知為等腰直角三角形，故.故選：D【點睛】本題考查了

7、空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.4C【解析】由于中正項與負項交替出現，根據可排除選項A、B；執行第一次循環：，若圖中空白框中填入，則，若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執行第二次循環：由均可得，若圖中空白框中填入，則，若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執行第三次循環：由可得，符合題意，由可得，不符合題意，所以圖中空白框中應填入，故選C5C【解析】將直線方程代入拋物線方程，根據根與系數的關系和拋物線的定義即可得出的值【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為yx1，聯立方程組，可得x26x+10，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系可知x1+

8、x26，x1x21由拋物線的定義可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1，|FA|FB|x1x2|故選C【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題6A【解析】則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8，則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，從下往上第五層正方體的棱長為：，從下往上第六層正方體的棱長為：，從下往上第七層正方體的棱長為：，從下往上

9、第八層正方體的棱長為：，改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是8.故選：A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算，屬于基礎題.7C【解析】設出等差數列的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，即有故選：C【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前項和公式的應用，屬于容易題8B【解析】先判斷命題的真假,進而根據復合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，因為，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B. 【點睛】本題考查真假命題的概念,以及

10、真值表的應用,解題的關鍵是判斷出命題的真假,難度較易.9A【解析】計算，再計算真子集個數得到答案.【詳解】，故真子集個數為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數，意在考查學生的計算能力.10B【解析】結合題意可知是偶函數,且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數與原函數的單調性關系,構造新函數,計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數,且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數的基本性質和導函數與原函數單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數,結合導函數,計算最值,即可得

11、出答案.11D【解析】過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進而可得出，結合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作，設該雙曲線的右焦點為，連接.，.， ，為的中點，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.12B【解析】根據題意，設點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結論.【詳解】由題意，設點在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，又以為直徑的圓經過

12、點，則，即，解得，所以，即，即，所以，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關鍵在于求出與的關系，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據所給表達式，結合奇函數性質，即可確定函數對稱軸及周期性，進而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數對稱性可知關于對稱，且令，代入可得，由奇函數性質可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數，則當時，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了函數奇偶性與對稱性的綜合應用，周期函數的判斷及應用，屬于中檔題.142020【解析】可對左右兩端同乘以得，依次寫出，累加可得，再由得，代入即

13、可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點睛】本題考查數列遞推式和累加法的應用，屬于基礎題15【解析】二次函數為偶函數說明一次項系數為0，求得參數，將代入表達式即可求解【詳解】由為偶函數，知其一次項的系數為0，所以，所以，故答案為：-5【點睛】本題考查由奇偶性求解參數，求函數值，屬于基礎題16【解析】根據圖示分析出、的坐標表示，然后根據坐標形式下向量的數量積為零計算出的取值.【詳解】由圖可知：，所以，又因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查向量的坐標表示以及坐標形式下向量的數量積運算，難度較易.已知，若，則有.三、解答題：共70分。解答

14、應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析；（2）.【解析】（1）利用中位線的性質得出，然后利用線面平行的判定定理可證明出平面；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以又因為平面，平面，所以平面；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以設直線與平面所成角為，所以因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成的角，考查推理能力與計算能力，屬于中等

15、題.18（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設【解析】（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數列的遞推公式，即可知結果為常數，即得證；（3）由（2）可得數列的通項公式，設出等差數列，再根據不等關系來算出的首項和公差即可.【詳解】（1）設等比數列的公比為q，因為，所以，解得.所以數列的通項公式為：.（2）由（1）得，當，時，可得，得，則有，即，.因為，由得，所以，所以，.所以數列是以為首項，1為公差的等差數列.（3）由（2）得，所以，.假設存在等差數列，其通項，使得對任意，都有，即對任意，都有.首先證明滿足的.若不然，則，或.（i）若，則當，時，這與矛盾.（i

16、i）若，則當，時，.而，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當時，.因為，所以在上單調遞增，所以，當時，.所以當，時，.再次證明.（iii）若時，則當，這與矛盾.（iv）若時，同（i）可得矛盾.所以.當時，因為，所以對任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數列，其通項公式為，滿足題設.【點睛】本題考查求等比數列通項公式，證明等差數列，以及數列中的探索性問題，是一道數列綜合題，考查學生的分析，推理能力.19（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理直接可求，然后運用兩角和的正弦公式算出；（2）化簡，由余弦定理得，利用基本不等式求出，確定角范圍，進而求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得：

17、，且為銳角 （2） 【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，基本不等式的應用，三角函數的值域等，考查了學生運算求解能力.20（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結論；（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.【詳解】（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以，即.由題意，所以.因為，所以為的中點.記的中點為，連接，.則，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.當四面體的體

18、積最大時，的面積最大.所以當點位于點時，四面體的體積最大.以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，.所以，.設平面的法向量為.則令，得.設平面的一個法向量為.則令，得.設平面與平面所成銳二面角是，則.所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面平行的判定，利用好空間向量是關鍵，屬于基礎題21（1）y26x（2）【解析】（1）根據拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y22px（