1、2021-2022高考數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知斜率為2的直線l過拋物線C：的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的中點M的縱坐標為1，則p（ ）A1BC2D42在中，“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要

2、不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3已知全集，集合，則陰影部分表示的集合是（ ）ABCD4是恒成立的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5若函數的圖象過點，則它的一條對稱軸方程可能是（ ）ABCD6設，滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD7已知復數z滿足（其中i為虛數單位），則復數z的虛部是（ ）AB1CDi8已知函數，當時，的取值范圍為，則實數m的取值范圍是（ ）ABCD9已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為（ ）ABCD110的展開式中的系數為( )A30B40C40D5011點為不等式組所表示的平面區域上

3、的動點，則的取值范圍是（ ）ABCD12已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則下列結論正確的是（ ）AB復數的共軛復數是CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數（）在區間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是_.14的展開式中的系數為_（用具體數據作答）.15如圖，養殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養殖區.為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到點、距離之和的最小值為_百米.16某市公租房源位于、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，則該市的任意位申請人中，恰好有

4、人申請小區房源的概率是_ .（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.18（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態度，在普通行人中隨機選取了200人進行調查，當不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如表數據：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數50402010若用表中數據所得頻率代替概率.（1）當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會闖

5、紅燈的市民分為兩類：類市民在罰金不超過10元時就會改正行為；類是其他市民.現對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為類市民的概率是多少？19（12分）已知橢圓的左焦點坐標為，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.20（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）記函數的最大值為，若，證明：.21（12分）已知函數（其中是自然對數的底數）（1）若在R上單調遞增，求正數a的取值范圍；（2）若

6、f（x）在處導數相等，證明：；（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側）.22（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（是參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點為是曲線上的動點，求點的最大距離.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】設直線l的方程為xy，與拋物線聯立利用韋達定理可得p【詳解】由已知得F（，0），設直線l的方程為xy，并與y22px聯

7、立得y2pyp20，設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點C（x0，y0），y1+y2p，又線段AB的中點M的縱坐標為1，則y0（y1+y2），所以p=2,故選C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題，利用韋達定理是解題的關鍵，屬中檔題2D【解析】通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，但，故充分條件推不出；當時，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數在解三角形中的具體應用，屬于基礎題3D【解析】先求出集合N的補集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，可得或，又所

8、以.故選：D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補集的運算，屬于基礎題.4A【解析】設 成立；反之，滿足 ，但，故選A.5B【解析】把已知點坐標代入求出，然后驗證各選項【詳解】由題意，或，不妨取或，若，則函數為，四個選項都不合題意，若，則函數為，只有時，即是對稱軸故選：B【點睛】本題考查正弦型復合函數的對稱軸，掌握正弦函數的性質是解題關鍵6C【解析】首先繪制出可行域，再繪制出目標函數，根據可行域范圍求出目標函數中的取值范圍.【詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標函數在點處取得最小值，故目標函數的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題主要考查了線性規劃中目標函數的

9、取值范圍的問題，屬于基礎題.7A【解析】由虛數單位i的運算性質可得，則答案可求.【詳解】解：，則化為，z的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查了虛數單位i的運算性質、復數的概念，屬于基礎題.8C【解析】求導分析函數在時的單調性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的范圍，綜合可得結果.【詳解】當時，令，則；，則，函數在單調遞增，在單調遞減.函數在處取得極大值為，時，的取值范圍為，又當時，令，則，即，綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數分析函數值域的方法，考查了分段函數的性質，屬于難題.9B【解析】根據題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,

10、結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據圓的切線性質可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質及點到直線距離公式可得,化簡可得 即 所以切線方程為或所以當變化時, 到直線的最大值為 即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理

11、的應用, 圓的軌跡方程問題,圓的切線性質及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.10C【解析】先寫出的通項公式，再根據的產生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數是展開式中的系數與的系數之和.令，可得的系數為；令，可得的系數為；故的展開式中的系數為.故選：C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數的求解，關鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎題.11B【解析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，利用的幾何意義即可得到結論【詳解】不等式組作出可行域如圖：，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，故選：【點睛】本題主要考查線

12、性規劃的應用，根據目標函數的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵12D【解析】首先求得，然后根據復數乘法運算、共軛復數、復數的模、復數除法運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數，則，所以A選項不正確；復數的共軛復數是，所以B選項不正確；，所以C選項不正確；，所以D選項正確.故選：D【點睛】本小題考查復數的幾何意義，共軛復數，復數的模，復數的乘法和除法運算等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】首先根據的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數的值域，結合區間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求

13、得的取值范圍.【詳解】由于，所以，由于區間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】本小題主要考查三角函數值域的求法，考查三角函數值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.14【解析】利用二項展開式的通項公式可求的系數.【詳解】的展開式的通項公式為，令，故，故的系數為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數，注意利用通項公式來計算，本題屬于容易題.15【解析】建系，將直線用方程表示出來，再用參數表示出線段的長度，最后利用導數來求函數最小值.【詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標系，則

14、.設直線，即，則，所以，所以，則，則，當時，則單調遞減，當時，則單調遞增，所以當時，最短，此時.故答案為：【點睛】本題考查導數的實際應用，屬于中檔題.16【解析】基本事件總數，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數，由此能求出該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率【詳解】解：某市公租房源位于、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，該市的任意5位申請人中，基本事件總數，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數：，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率是故答案為：【點睛】本題考查概率的求法，考查古

15、典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）【解析】（1）要證明平面，只需證明，即可：（2）取中點，連，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出與平面的法向量，再利用計算即可.【詳解】（1）底面為菱形，直棱柱平面.平面.平面；（2）如圖，取中點，連，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系：，點，設平面的法向量為，有，令，得又，設直線與平面所成的角為，所以故直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明以及向量法求線面角的正弦值，考查學生的運算求解能力，本題解題關鍵是正確

16、寫出點的坐標.18（1）降低（2）【解析】（1）計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率，和不進行處罰時行人闖紅燈的概率，求解即可；（2）闖紅燈的市民有80人，其中類市民和類市民各有40人，根據分層抽樣法抽出4人依次排序，計算所求的概率值.【詳解】解：（1）當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率為；不進行處罰，行人闖紅燈的概率為；所以當罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低；（2）由題可知，闖紅燈的市民有80人，類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人，4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應的編號為，類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為，共有種前兩位均為類市民排

17、序為，有種，所以前兩位均為類市民的概率是.【點睛】本題主要考查了計算古典概型的概率，屬于中檔題.19（1）（2）直線過定點【解析】（1），再由，解方程組即可；（2）設，由，得，由直線MN的方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，代入計算即可.【詳解】（1）由題意知：，又，且解得，橢圓方程為，（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，設，由，得.則，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，即，直線過點當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，其中，由，得，所以當直線的斜率不存在時，直線也過定點綜上所述，直線過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程以及直線與橢圓位置關系中的定點問題，在處理直線與橢

18、圓的位置關系的大題時，一般要利用根與系數的關系來求解，本題是一道中檔題.20（1）；（2）證明見解析【解析】（1）將函數整理為分段函數形式可得,進而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）當時，恒成立，；當時，即，；當時，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得 （當且僅當時取等號） （當且僅當時取等號）（當且僅當時取等號）上述三式相加可得（當且僅當時取等號），故得證.【點睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應用，解題關鍵是掌握分類討論解決帶絕對