1、長沙市2020-2021學年度高一第二學期期末考試數學時量：120分鐘 滿分：150分得分_一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 直線的傾斜角是（ ）A. B. C. D. C【分析】將一般式化成斜截式，再根據即可求解詳解】由變形可得，則，又，所以，故選：C本題考查由直線的一般式求解直線傾斜角，屬于基礎題2. 如圖，四棱錐中，底面為矩形且平面，連接與，下面各組向量中，數量積不一定為零的是（ ）A. 與B. 與C. 與D. 與C【分析】根據線面垂直的判定定理及向量垂直的充要條件即可求解.【詳解】對于A,因為平面，平面,所以,因為底面

2、為矩形，所以,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正確；對于B, 因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正確；對于C，因為底面為矩形，所以與不垂直，所以與不一定垂直，所以與不一定垂直，所以與的數量積不一定為0，故C正確對于D,因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正確.故選：C.3. 設復數滿足：，則的共軛復數是（ ）A. B. C. D. C【分析】根據復數代數形式的除法法則化簡復數，即可得到其共軛復數；【詳解】解：，故選：C4. 過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是

3、（ ）A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=0A【分析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為故A正確本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在所以與直線平行的直線方程可設為5. 根據歷年氣象統計資料，某市在七月份的某一天吹南風的概率為25%，下雨的概率為35%，吹南風或下雨的概率為38%，則既吹南風又下雨的概率為（ ）A. 22%B. 13%C. 24%D. 28%A【分析】根據概率公式直接得出結論.【詳解】由題知，既吹南風又下雨

4、的概率為.故選：A.6. 已知一組數據的分位數為4，則的值和其總體方差分別為（ ）A. 2，9B. 3，10C. D. D【分析】根據第百分位數的定義及方差計算公式即可求解.【詳解】因為數據的第數為4，所以，解得，所以這組數據的平均數為，所以方差為，故選：D.7. 三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. C【分析】將三棱錐P-ABC中放在圓柱中，由正弦定理得的外接圓的直徑，再結合勾股定理求得外接球的直徑，從而求得表面積.【詳解】作出的外接圓由于PA平面ABC，可將三棱錐P-ABC中放在圓柱中，如圖所示：因為由正弦定理得的外接圓的直徑為 ，又,

5、則三棱錐P-ABC外接球的直徑為，故外接球的表面積為 故選：C方法點睛：求外接球半徑的常用方法：（1）補形法：側面為直角三角形或正四面體或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；（2）利用球的性質：幾何體在不同面均對直角的棱必然是球的直徑；（3）定義法：到各個頂點距離均相等的點為球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可.8. 已知三個內角，及其對邊，其中，角為銳角，且， 則面積的最大值為（ ）A. B. C. D. A【分析】由余弦定理求得，且，再由三角形的面積公式和基本不等式可得選項.【詳解】由得，所以，

6、即，而，所以，所以，又因為，所以，所以，故選：A.本題考查運用余弦定理解三角形，三角形的面積公式，以及運用基本不等式求最值，屬于中檔題.二多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9. 下列說法不正確的是（ ）A. 拋擲一枚硬幣1000次，一定有500次“正面朝上”B. 若甲組數據的方差是，乙組數據的方差是，則甲組數據比乙組數據穩定C. 為了解我國中學生的視力情況，應采取全面調查的方式D. 一組數據的中位數和眾數都是5ACD【分析】對于A,根據隨機事件的定義即可求解；對于B，根據方差的性質及作用即可求解

7、；對于C，抽樣調查和全面調查的定義即可求解；對于D，根據中位數和眾數的定義即可求解.【詳解】對于A，因為每次拋擲硬幣都是隨機事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A錯誤；對于B，因為方差越小越穩定，故B正確；對于C，為了解我國中學生的視力情況，應采取抽樣調查的方式，故C錯誤；對于D，數據按從小到大排列后為，則其中位數為3，眾數為5，故D錯誤，故選: ACD.10. 復數滿足，則下列說法正確的是（ ）A. 在復平面內點落在第四象限B. 為實數C. D. 復數的虛部為ABC【分析】根據復數的除法法則及復數相等的條件，再利用復數的幾何意義及復數的模公式，結合復數的概念即可求解.【詳解】由，得，所

8、以，點落在第四象限，故A正確；所以，故B正確；所以，故C正確；由，得復數的虛部為，故D不正確故選：11. 設直線與圓，則下列結論正確的為（ ）A. 直線與圓一定相交B. 直線一定將圓平分C. 當時，被截得弦長為D. 被截得的最短弦長為4AD【分析】結合直線與圓的知識對選項進行分析，利用弦長公式確定CD正誤，利用直線過定點判斷A,利用斜率判斷B,從而確定正確選項.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為.對于A選項，直線過定，點，且點在圓內，則直線與圓必相交，A選項正確；對于B選項，若直線將圓平分，則直線過原點，此時直線的斜率不存在，B選項不正確；對于C選項，當時，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，

9、直線被截得的弦長為，C選項錯誤；對于D選項，圓心到直線的距離為，所以，直線被截得的弦長為，D選項正確故選：AD12. 正方體的棱長為分別為的中點，則下列結論正確的是（ ）A. 直線與直線不垂直B. 直線與平面平行C. 平面截正方體所得的截面面積為3D. 點到平面的距離是點到平面的距離的ABD【分析】對于A，利用反正法，結合線面垂直的判定定理和性質定理即可判斷；對于B,根據三角形中位線定理及面面平行的判定定理，結合面面平行的性質定理即可求解；對于C，根據確定平面的條件及三角形的面積公式，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解;對于D，根據等體積法求出相應椎體的體積即可求解.【詳解】對于A

10、選項，若，因為且，所以平面，所以，所以，此時不成立，所以A正確；對于B選項，取的中，點，連接，如圖所示由條件可知：，且，所以平面平面，又因為平面，所以平面，所以B正確；對于C選項，連接，延長交于點，如圖所示因為為的中點，所以，所以四點共面，所以截面即為梯形，又因為，所以，所以梯形，所以C錯誤對于D選項，記點，與點到平面的距離分別為，因為，又因為，所以，所以D正確故選:ABD三填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 若直線的方向向量為平面的法向量為，則直線與平面的關系為_【分析】利用向量共線定理、線面垂直的判定定理即可判斷出.【詳解】解：，因此.故答案為.本題考查空間向量共線定理，

11、線面垂直的向量方法，考查運算能力，是基礎題.14. 已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑是_ 【分析】設出圓錐的底面半徑，由它的側面展開圖是一個半圓，分析出母線與半徑的關系，結合圓錐的表面積為，構造方程，可求出半徑.【詳解】設圓錐的底面的半徑為，圓錐的母線為，則由得，而故，解得，故答案為.本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長正確理解這兩個關系是解題的關鍵15. 一袋中裝有外觀完全相同的六個小球，編號分別為，從中不放回地抽取2個球，

12、則抽出的2個球的編號和不大5的概率為_【分析】寫出所有的基本事件和滿足題意的事件，利用古典概型公式求解.【詳解】由題意，所有的基本事件為：，共15個，其中“從中不放回地抽取2個球，2個球的編號和不大于5”有，共4個基本事件，則抽出的2個球的編號和不大5的概率為故16. 已知三條直線，其中為實數，不同時為零，不同時為零，且設直線交于點，則點到直線的距離的最大值_【分析】利用直線恒過定點問題得出直線恒過定點，再根據直線三角形斜邊的中線定理得出點的軌跡，進而求出點的軌跡方程，結合圓上的點到直線的距離的最值問題即可求解.【詳解】由于，且，易知直線過原點，將直線的方程化為，由解得所以，直線過定點，所以，

13、因為，則，直線的方程為，直線的方程可化為，由解得所以，直線過定點，設線段的中點為點，：則，如圖所示若點不與或重合，由于，由直角三角形的性質可得；若點與或重合，滿足由上可知，點的軌跡是以為直徑的圓，該圓圓心為，半徑為所以點的軌跡方程為設點到直線的距離為，當時，；當不與垂直時，綜上，所以，點到直線的距離的最大值為故答案為.四解答題：本大題共6小題，共70分解答應出文字說明，證明過程或演算步驟17. 已知在某次招考測試中，甲乙丙3人各自通過測試的概率分別為求：（1）至少有1人通過測試的概率；（2）恰有2人通過測試的概率（1） （2）【分析】（1）設事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測

14、試”，事件與相互獨立，至少有1人通過測試的對立事件為1人也沒用過，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.（2）設事件“甲乙丙3人中恰有2人通過測試”，則，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.【小問1詳解】設事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨立，由題意有：設事件“甲乙丙3人中至少有1人通過測試”，則對立事件【小問2詳解】設事件“甲乙丙3人中恰有2人通過測試”，則，由于事件均相互獨立，并且事件兩兩互斥，因此18. 四棱錐，底面為正方形，邊為中點，平面（1）若為等邊三角形，求三棱錐的體積；（2）若的中點為與平面所成角為，求與所成角的正切值（1） （2）【分析

15、】（1）根據等腰三角形的三線合一及等體積法，再利用棱錐的體積公式即可求解；（2）根據線面角的定義及勾股定理，再利用異面直線所成角的定義及線面垂直的性質定理，結合線面垂直的判定定理及銳角三角函數的正切函數的定義即可求解.【小問1詳解】為等邊三角形，且為中點，又平面，三棱錐的體積【小問2詳解】平面，又直線在平面內的射影為,為與平面所成角，即，如圖所示為等腰直角三角形，分別為的中點，所以（或其補角）為異面直線與所成的角，平面平面，又平面，平面，平面，在中，所以與所成角的正切值為.19. 某校農村中學有學生1000人在假期研學旅行中開展地方勞動技術教育，結束時對某一項勞動技能進行測試，測試結果如下表分

16、數段人數50150300300200（1）估計本次測試的平均成績并完成頻率分布直方圖；（2）在90分以上（含90分）男生占60%，在這部分學生中按男女生比例抽取5人擔任助教，并在這5人中隨機抽3人擔任助教長，求助教長中恰好有一名女生的概率（1）平均成績分；頻率分布直方圖見解析；（2）.【分析】（1）利用每組數據的組中值乘以該組數據的頻率，然后將所得的結果相加即可得到本次測試的平均成績，然后分別計算出、的頻率除以組距的值即可據此作出頻率分布直方圖；（2）先根據分層抽樣計算出人中男生、女生的人數，然后根據要求列出人中抽取人對應的基本事件，再分析恰有一名女生的基本事件數量，由此可求解出概率.【詳解】

17、（1）依題意有平均分為（分）；的頻率為，對應頻率除以組距的值為，的頻率為，對應頻率除以組距的值為；故頻率分布直方圖如下：（2）抽取的人中男生有：人，女生有：人，記男生為，女生為，則從人中抽取人對應的所有基本事件有： 共種可能，記“助教長中恰好有一名女生”為事件，其對應的基本事件有：，共種，所以，所以助教中恰有一名女生的概率為.20. 如圖，在直三棱柱中，底面是等邊三角形，是的中點，且（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值（1）證明見解析 （2）【分析】（1）連接交于點，連接，由中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、的方向分別為、的正方向建

18、立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，因為，則為的中點，又因為為的中點，則，平面，平面，因此，平面.【小問2詳解】解：因為為等邊三角形，為的中點，則，又因為平面，以點為坐標原點，、的方向分別為、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、，設平面的法向量為，則，取，可得，設平面的法向量為，則，取，可得，.因為，平面與平面夾角的余弦值為.21. 自古以來，人們對于崇山峻嶺都心存敬畏，然而，隨著技術手段的發展，山高路遠便不再阻礙人們出行，偉大領袖毛主席曾作詞：“一橋飛架南北，天塹變通途”在科技騰飛的當下，路橋建設部門仍然潛心研究如何縮短空間距離方便出行，如港珠澳跨海大橋，現在正在修建的中國到尼泊爾的穿過珠穆朗瑪峰的隧道等如圖為某工程隊要在山體的水平面上從到修建一條隧道，測量員測得，因為具體情況不能測出與的長，但發現為中點，設（1）用表示；（2）若，求的長；求的面積（1） （2） ；【分析】（1）根據線段中點的向量線性表示及向量的數量積公式及運算律即可求解；（2）根據線段中點的