1、2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若直線與曲線相切，則（ ）A3BC2D2已知函數在上有兩個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD3已知復數z滿足，則z的虛部為（ ）ABiC1D14在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮

2、的彎管，如下圖所示將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結果中最接近真實值的是（ ）ABCD5若復數滿足，則對應的點位于復平面的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知函數，且)，則“在上是單調函數”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7正項等差數列的前和為，已知，則=（ ）A35B36C45D548已知雙曲線：的焦點為，且上點滿足，則雙曲線的離心率為ABCD59已知函數，其中，若恒成立，則函數的單調遞增區間為（ ）ABCD10關于函數在區間的單調性

3、，下列敘述正確的是（ ）A單調遞增B單調遞減C先遞減后遞增D先遞增后遞減11如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內一點，則三棱錐的正視圖與側視圖的面積之和為（ ）A2B3C4D512已知滿足，則的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖,在梯形中，分別是的中點，若，則的值為_.14已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若NRF=60，則|FR|等于_.15已知點P是直線y=x+1上的動點，點Q是拋物線y=x2上的動點.設點M為線段PQ的中點，O為原點

4、，則|OM|的最小值為_.16已知函數的最小值為2，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某調查機構為了了解某產品年產量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產品的年產量和價格統計如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產品的成本為12千元，假設該產品可全部賣出，預測當年產量為多少時，年利潤w取到最大值？參考公式： 18（12分）已知函數.（1）求函數的單調遞增區間；（2）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若滿足，求.19（12分）在三棱柱中，四邊形是菱

5、形，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.20（12分）某企業為了了解該企業工人組裝某產品所用時間，對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄，得到大量統計數據從這些統計數據中隨機抽取了個數據作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優秀員工（1）求這個樣本數據的中位數和眾數；（2）以這個樣本數據中優秀員工的頻率作為概率，任意調查名工人，求被調查的名工人中優秀員工的數量分布列和數學期望21（12分）已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設斜率為k的動直

6、線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.22（10分）已知數列的前n項和為，且n、成等差數列，.（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，由得，代入得，則，故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數的問題，涉及到的知識點有

7、導數的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.2C【解析】對函數求導，對a分類討論，分別求得函數的單調性及極值，結合端點處的函數值進行判斷求解.【詳解】 ，.當時，在上單調遞增，不合題意.當時，在上單調遞減，也不合題意.當時，則時，在上單調遞減，時，在上單調遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導數解決函數零點的問題，考查了函數的單調性及極值問題，屬于中檔題3C【解析】利用復數的四則運算可得，即可得答案.【詳解】，復數的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.4B【解析】為彎管，為6個

8、座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學生的分析問題的能力，屬于基礎題.5D【解析】利用復數模的計算、復數的除法化簡復數，再根據復數的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數模的計算、復數的除法、復數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.6

9、C【解析】先求出復合函數在上是單調函數的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充要條件之間的關系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且） 令，其在單調遞減，單調遞增，在上是單調函數，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.7C【解析】由等差數列通項公式得，求出，再利用等差數列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數列的前項和，解得或（舍），故選C.【點睛】本題主要考查等差數列的性質與求和公式，屬于中檔題. 解等差數列問題要注意應用等差數列的性質（）與前 項和的關系.8D【解析】根據雙曲線定義可以直接求出，

10、利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.9A【解析】，從而可得，再解不等式即可.【詳解】由已知，所以，由，解得，.故選：A.【點睛】本題考查求正弦型函數的單調區間，涉及到恒成立問題，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.10C【解析】先用誘導公式得,再根據函數圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數的平移與單調性的求解.屬于基礎題.11A【解析】根據幾何體分析正視圖和側視圖的形狀，結合題干中的數據可計算出結果

11、.【詳解】由三視圖的性質和定義知，三棱錐的正視圖與側視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側視圖的面積之和為，故選：A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側視圖的面積和，解答的關鍵就是分析出正視圖和側視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.12C【解析】設，則的幾何意義為點到點的斜率，利用數形結合即可得到結論.【詳解】解：設，則的幾何意義為點到點的斜率，作出不等式組對應的平面區域如圖：由圖可知當過點的直線平行于軸時，此時成立；取所有負值都成立；當過點時，取正值中的最小值，此時；故的取值范圍為；故選：C.【點睛】本題考查簡單線性規劃的非線性目標函數函數問題，解題時作出可行域，

12、利用目標函數的幾何意義求解是解題關鍵對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】建系，設設，由可得，進一步得到的坐標，再利用數量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設，則，所以，由，得，即，又，所以，故,所以.故答案為：2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數量積，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.142【解析】由題意知：，.由NRF=60，可得為等邊三角形，MFPQ，可得F為HR的中點，即求.【詳解】不妨設點P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線

13、為l，P為C上一點，.M，N分別為PQ，PF的中點，PQ垂直l于點Q，PQ/OR，NRF=60，為等邊三角形，MFPQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，F為HR的中點，故答案為：2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.153216【解析】過點Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，當直線相切時距離最小，計算得到答案.【詳解】如圖所示：過點Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，y=x2，則y=2x=1，x=12，故拋物線的與直線平行的切線為y=x-14.點M為線段PQ的中點，故M在直線y=x+38時距離最小，故d=382=3216.故答案為：3216

14、.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉化為切線問題是解題的關鍵.16【解析】首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號，之后再結合后邊的函數解析式，對照函數值等于2的時候對應的自變量的值，從而得到分段函數的分界點，從而得到相應的等量關系式，求得參數的值.【詳解】根據題意可知，可以發現當或時是分界點，結合函數的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點，故，解得，故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數的性質，二次函數的性質，函數最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）當時，年利潤最大【解析】（1）方法

15、一：令，先求得關于的回歸直線方程，由此求得關于的回歸直線方程.方法二：根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數值較小.（2）求得w的表達式，根據二次函數的性質作出預測.【詳解】（1）方法一：取，則得與的數據關系如下123457.06.55.53.82.2，.，關于的線性回歸方程是即，故關于的線性回歸方程是.方法二：因為，所以，故關于的線性回歸方程是，（2）年利潤，根據二次函數的性質可知:當時，年利潤最大【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進行預測，考查運算求解能力，屬于中檔題.18（1）；（2）【解析】（1）化簡得到，取，解得答案.（2），

16、解得，根據余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因為， 故，.根據余弦定理：，.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數單調性，余弦定理，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.19（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面即可；（2）求出點A到平面的距離，然后根據棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接，由是平行四邊形及N是的中點，得N也是的中點，因為點M是的中點，所以，因為，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過A作交于點O，因為平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得為三角形，則，

17、由平面，得，從而側面為矩形，所以.【點睛】本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.20（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解析】（1）根據莖葉圖即可得到中位數和眾數；（2）根據數據可得任取一名優秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數為，眾數為（2）被調查的名工人中優秀員工的數量，任取一名優秀員工的概率為，故，的分布列如下： 故【點睛】此題考查根據莖葉圖求眾數和中位數，求離散型隨機變量分布列，根據分布列求解期望，關鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.21（1）；（2）.【解析】（1）根據題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據橢圓定義可知點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達定理化簡即可求范圍.【詳解】（1）為的中點，且是線段的中垂線，又，點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，設橢圓方程為（），則，所以曲線C的方程為.（2）設直線l：（），由消去y，可得.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，所以，.又由可得；同理可得.由原點O到直線的距離為和，可得.將代入得，當時，綜上，面積的取值范圍是.【點睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯立設而不求