1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（ ）.ABCD2已知復數，則（ ）ABCD3已知函數,則函數的圖象大致為（ ）ABCD4已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（ ）ABC

2、D5當時，函數的圖象大致是（ ）ABCD6偶函數關于點對稱，當時，求（ ）ABCD7已知集合的所有三個元素的子集記為記為集合中的最大元素，則（）ABCD8已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）AB或CD9已知函數是上的減函數，當最小時，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD10設函數，則，的大致圖象大致是的( )ABCD11定義在上的偶函數，對，且，有成立，已知，則，的大小關系為（ ）ABCD12在三棱錐中，點到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在的展開式中，的系數為_14利用等面積法可以推導出在邊

3、長為a的正三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值，類比上述結論，利用等體積法進行推導，在棱長為a的正四面體內任意一點到四個面的距離之和也為定值，則這個定值是_15如圖所示的流程圖中，輸出的值為_.16給出下列四個命題，其中正確命題的序號是_（寫出所有正確命題的序號）因為所以不是函數的周期；對于定義在上的函數若則函數不是偶函數；“”是“”成立的充分必要條件；若實數滿足則三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.（）證明：；（）設，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30，求的值.18（12分

4、）在中，角的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若函數圖象的一條對稱軸方程為且，求的值19（12分）已知函數（）的圖象在處的切線為（為自然對數的底數）（1）求的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值.20（12分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫療保險，現從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示. 據統計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數時的最小值；（2）經調查，年齡在

5、之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元，如果參保，保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲，若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項保險是否劃算？21（12分）在四棱錐的底面是菱形， 底面， 分別是的中點， .（）求證： ；（）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.22（10分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，.（1）若為的中點，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.參考答案一、選擇

6、題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】易得，又，平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E，易得為平行四邊形，所以，又，故，所以，即，故離心率為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關鍵是建立的方程或不等關系，是一道中檔題.2B【解析】利用復數除法、加法運算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點睛】本小題主要考查復數的除法運算、加法運算，考查復數的模，屬于基礎題.3A【解析】用排除法，通過函數圖像的性質逐個選項進行判斷，找出不符合函數解析式的圖像，最后剩下即為此函數的圖像.【詳解】設，由于，排除B選

7、項；由于，所以，排除C選項；由于當時，排除D選項.故A選項正確.故選：A【點睛】本題考查了函數圖像的性質，屬于中檔題.4D【解析】傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數基本關系式即可得出結果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數基本關系式，考查計算能力，屬于基礎題.5B【解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性

8、，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.6D【解析】推導出函數是以為周期的周期函數，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數的圖象關于點對稱，則，則，所以，函數是以為周期的周期函數，由于當時，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值，推導出函數的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7B【解析】分類討論，分別求出最

9、大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數，即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有，所以在集合中：最大元素為的集合有個；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以故選：【點睛】此題考查集合相關的新定義問題，其本質在于弄清計數原理，分類討論，分別求解.8C【解析】由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.【點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3） 為等比數列（ ）且公比為.9A【解析】首先根據為上的減函數，列出不等式組，求得，所以當最小時，之后將函數零點個數轉化為函數

10、圖象與直線交點的個數問題，畫出圖形，數形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數，則有，可得，所以當最小時，函數恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數與的圖像有兩個交點畫出函數的簡圖如下，而函數恒過定點，數形結合可得的取值范圍為故選：A.【點睛】該題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有分段函數在定義域上單調減求參數的取值范圍，根據函數零點個數求參數的取值范圍，數形結合思想的應用，屬于中檔題目.10B【解析】采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數為奇函數

11、,其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.11A【解析】根據偶函數的性質和單調性即可判斷.【詳解】解：對，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數所以在上遞減又因為，所以故選：A【點睛】考查偶函數的性質以及單調性的應用，基礎題.12C【解析】首先根據垂直關系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個表達式，在中，可以計算出的一個表達式，根據長度關系可構造

12、等式求得半徑，進而求出球的表面積【詳解】取中點，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，為的中點由球的性質可知：平面，且設，在中，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為故選：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關問題的關鍵是能夠利用球的性質確定外接球球心的位置.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據二項展開式定理，求出含的系數和含的系數，相乘即可.【詳解】的展開式中，所求項為：，的系數為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用，屬于基礎題.14【解析】計算正四面體的高，并計算該

13、正四面體的體積，利用等體積法，可得結果.【詳解】作平面，為的重心如圖則，所以設正四面體內任意一點到四個面的距離之和為則故答案為：【點睛】本題考查類比推理的應用，還考查等體積法，考驗理解能力以及計算能力，屬基礎題.154【解析】根據流程圖依次運行直到，結束循環，輸出n，得出結果.【詳解】由題：，結束循環，輸出.故答案為：4【點睛】此題考查根據程序框圖運行結果求輸出值，關鍵在于準確識別循環結構和判斷框語句.16【解析】對,根據周期的定義判定即可.對,根據偶函數滿足的性質判定即可.對,舉出反例判定即可.對,求解不等式再判定即可.【詳解】解：因為當時, 所以由周期函數的定義知不是函數的周期,故正確；對

14、于定義在上的函數,若,由偶函數的定義知函數不是偶函數,故正確；當時不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯誤；若實數滿足則所以成立,故正確正確命題的序號是故答案為：【點睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）證明見解析（）【解析】（）由平面，可得，又因為是的中點，即得證；（）如圖建立空間直角坐標系，設，計算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30，列出等式，即得解.【詳解】（）如圖，連接交于點，連接，則是平面與平面的交線，因為平面，故，又因為是的中點，所以是的中點，故.（）由條件可知，所以，故以為坐標原點，為

15、軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，設，則，設平面的法向量為，則，即，故取因為直線與平面所成角的大小為30所以，即，解得，故此時.【點睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合，考查了學生邏輯推理，空間想象，數學運算的能力，屬于中檔題.18（1）（2）【解析】（1）由已知利用三角函數恒等變換的應用，正弦定理可求，即可求的值（2）利用三角函數恒等變換的應用，可得，根據題意，得到，解得，得到函數的解析式，進而求得的值，利用三角函數恒等變換的應用可求的值【詳解】（1）由題意，根據正弦定理，可得，又由，所以 ，可得，即，又因為，則，可得，（2）由（1）可得，所以函數的圖象的一條對稱軸方程為，得，即，又，【

16、點睛】本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題19 (1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）對求導得，根據函數的圖象在處的切線為，列出方程組，即可求出的值；（2）由（1）可得，根據對任意恒成立，等價于對任意恒成立，構造，求出的單調性，由，可得存在唯一的零點，使得，利用單調性可求出，即可求出的最大值.（1），.由題意知. （2）由（1）知：，對任意恒成立對任意恒成立對任意恒成立. 令，則.由于，所以在上單調遞增. 又，所以存在唯一的，使得，且當時，時，. 即在單調遞減，在上單調遞增.所以.又，即，. . ， . 又因為對

17、任意恒成立，又， . 點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.20（1）30；（2），比較劃算.【解析】（1）由頻率和為1求出，根據的值求出保費的平均值，然后解一元一次不等式 即可求出結果，最后取近似值即可；（2）分別計算參保與不參保時的期望，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險公司每年收取的保費為:要使公司不虧本，則，即解得.（2）若該老人購買了此項保險，則的取值為(元).若該老人沒有購買此項保險，則的取值為.(元).年齡

18、為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關統計圖表知識處理實際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質，知道數學期望是平均數的另一種數學語言，為容易題.21（）見解析； （）； （）見解析.【解析】()由題意結合幾何關系可證得平面，據此證明題中的結論即可；()建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平面的一個法向量，然后求解線面角的正弦值即可；()假設滿足題意的點存在，設，由直線與的方向向量得到關于的方程，解方程即可確定點F的位置.【詳解】()由菱形的性質可得：，結合三角形中位線的性質可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，()由題意結合菱形的性質易知，以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：，設平面的一個法向量為,則：，據此可得平面的一個法向量為，而，設直線與平面所成角為，則.()由題意可得：，假設滿足題意的點存在，設，據此可得：，即：,從而點F的坐標為，據此可得：,，結合題意有：，解得：.故點F為中點時滿