1、PAGE PAGE 10本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知數列an是等差數列,a1=2,其公差d0.若a5是a3和a8的等比中項,則S18=()A.398B.388C.189D.1992.在等差數列an中,a3+a5=12-a7,則a1+a9=()A.8B.12C.16D.203.已知兩個等差數列an與bn的前n項和分別為An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,則使得anbn為整數的正整數n的個數是()A.2B.3C.5D.44.在數列an中,a1=2,2an+1=2

2、an+1(nN+),則a101的值為()A.52B.50C.51D.495.等比數列an的前n項和為Sn=32n-1+r,則r的值為()A.13B.-13C.19D.-196.已知數列an滿足a1=2,an+1=1-21+an(nN+),則a2020=()A.2B.13C.-12D.-37.河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一,現為世界文化遺產,龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.在龍門石窟的某處“浮雕像”共有7層,每一層的個數是它下一層的2倍,這些“浮雕像”構成一幅優美的圖案.已知該處共有1016個“浮雕像”,則正中間那層的“浮雕像”的個數為()A.508B.256C

3、.128D.648.已知等差數列an的前n項和為Sn,若S130,則在數列an中絕對值最小的項為()A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項9.已知在正項數列an中,a1=1,a2=2,2an2=an-12+an+12(n2),bn=1an+an+1,記數列bn的前n項和為Sn,若Sn=3,則n的值是()A.99B.33C.48D.910.設Sn為數列an的前n項和,已知a1=12,n+1an+1=nan+2n,則S100=()A.2-492100B.2-49299C.2-512100D.2-5129911.若方程x2-5x+m=0與x2-10 x+n=0的四個根適當排列后,恰好組成一個首項為

4、1的等比數列,則mn的值是()A.4B.2C.12D.1412.對于數列an,若存在常數M,對任意nN+,都有|an|M成立,則稱數列an是有界的.若數列an滿足a1=1,則下列條件中,能使an有界的是()A.an+an+1=1+nB.an+1-an=1-1nC.anan+1=1+2nD.an+1an=1+1n2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.已知數列an滿足a1=-1,an+1=an+1n(n+1),nN+,則其通項公式為an=.14.已知數列an的前n項和Sn=n2+3n(nN+),則其通項公式為an=.15.數列an中,Sn為數列an的前n

5、項和,且a1=1,an=2Sn22Sn-1(n2),則這個數列的前n項和Sn=.16.已知數列an的前n項和是Sn,且an+Sn=3n-1,則數列an的通項公式為an=.三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知等差數列an的公差d為2,且a1,a3,a4成等比數列.(1)求an的通項公式;(2)設an的前n項和為Sn,求S20的值.18.(本小題滿分12分)已知正項等比數列an的前n項和為Sn,且2a2=S2+12,a3=2.(1)求數列an的通項公式;(2)若bn=log2an+3,數列1bnbn+1的前n項和為Tn,

6、求滿足Tn13的正整數n的最小值.19.(本小題滿分12分)已知數列an的前n項和為Sn,對任意的正整數n,都有2Sn=3an+n-2成立.(1)求證:數列an-12為等比數列;(2)記bn=3n-1anan+1,求數列bn的前n項和Tn.20.(本小題滿分12分)已知數列an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數列,且an=bn+bn+1.(1)求數列bn的通項公式;(2)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n,求數列cn的前n項和Tn.21.(本小題滿分12分)已知數列an的首項為2,前n項和為Sn,且1an-1an+1=24Sn-1(nN+).(1)求a2的值;(2)設bn=ana

7、n+1-an,求數列bn的通項公式;(3)求數列an的通項公式.22.(本小題滿分12分)已知數列an是公比不為1的等比數列,且a1=1,a2,2a3,3a4成等差數列.(1)求數列an的通項公式和前n項和Sn;(2)設數列bn滿足b1=a1,對任意的nN+,bn+1an+1-bnan=5.(i)求數列bn的最大項;(ii)是否存在等差數列cn,使得對任意nN+,都有2Sncn5-bn?若存在,求出所有符合題意的等差數列cn;若不存在,請說明理由.答案全解全析本章達標檢測一、選擇題1.C由題意可得a52=a3a8,公差d0,a1=2,(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d),代入數據可得

8、(2+4d)2=(2+2d)(2+7d),解得d=1,S18=18a1+18172d=189.故選C.2.A由題意,數列an為等差數列,結合等差數列的性質得,a3+a5+a7=3a5=12,則a5=4,所以a1+a9=2a5=8.故選A.3.C數列an和bn均為等差數列,且其前n項和An和Bn滿足AnBn=7n+45n+3,anbn=2an2bn=n(a1+a2n-1)2n(b1+b2n-1)2=A2n-1B2n-1=14n+382n+2=7(2n+2)+242n+2=7+242n+2=7+12n+1.經驗證知,當n=1,2,3,5,11時,anbn為整數.故選C.4.A由已知得an+1-an

9、=12,nN+,所以an是首項為2,公差為12的等差數列.所以由等差數列的通項公式得a101=2+10012=52.故選A.5.B設等比數列an的公比為q.解法一:當n=1時,a1=S1=3+r;當n2時,an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=832n-3=832n-23-1=839n-1.因為n=1時滿足通項公式an=839n-1,所以3+r=83,所以r=-13.故選B.解法二:由題意知公比q1,由Sn=a1(1-qn)1-q,得Sn=a11-q-a11-qqn,令a11-q=A,則Sn=A-Aqn.由題知Sn=32n-1+r=139n+r,所以r=-13.

10、故選B.6.D由已知得a1=2,a2=1-21+2=13,a3=1-21+13=-12,a4=1-21-12=-3,a5=1-21-3=2,可以判斷出數列an是以4為周期的周期數列,故a2020=a5054=a4=-3,故選D.7.答案D信息提取龍門石窟的某處“浮雕像”共有7層,每一層的個數是它下一層的2倍;該處共有1016個“浮雕像”;求正中間那層的“浮雕像”的個數.數學建模本題以數學文化為背景,構建等比數列模型,應用等比數列模型解題.由題意可知,從最下層往上,每層“浮雕像”的個數構成一個公比為2的等比數列,且已知其和為1016,故可利用等比數列的通項公式和前n項和公式直接求解.解析根據題意

11、,可知從最下層往上每層“浮雕像”的個數構成一個公比為2的等比數列an,設最下層“浮雕像”的個數為a1,數列an的前n項和為Sn,1n7,nN+,則由S7=(1-27)a11-2=1016,解得a1=8.正中間那層為第4層,所以其“浮雕像”的個數為823=64.8.C根據等差數列an的前n項和公式Sn=n(a1+an)2,因為S130,所以a1+a130,由a1+a13=2a7,a1+a12=a6+a7得a70,所以數列an中絕對值最小的項為第7項.9.B2an2=an-12+an+12(n2),數列an2是首項為1,公差為22-12=3的等差數列,an2=1+3(n-1)=3n-2.又an0,

12、an=3n-2,bn=1an+an+1=13n-2+3n+1=13(3n+1-3n-2),數列bn的前n項和Sn=13(4-1)+(7-4)+(3n+1-3n-2)=13(3n+1-1),由Sn=13(3n+1-1)=3,解得n=33,故選B.10.D由n+1an+1=nan+2n,得n+1an+1-nan=2n,則當n2時,nan-n-1an-1=2n-1,n-1an-1-n-2an-2=2n-2,2a2-1a1=21,將各式左右分別相加得nan-1a1=21+22+2n-1=2n-2,又a1=12,所以an=n12n(n2),當n=1時,a1=12也符合此式,因此得S100=112+212

13、2+10012100,由12得,12S100=1122+2123+9912100+10012101,-,得12S100=12+122+123+12100-10012101,所以S100=2-1299-10012100=2-51299.故選D.11.D由題意可知1是方程的一個根,若1是方程x2-5x+m=0的根,則m=4,另一根為4,設x3,x4是方程x2-10 x+n=0的兩個根,且x3x4,則x3+x4=10,這四個數的排列順序只能為1,x3,4,x4,則公比為2,x3=2,x4=8,n=16,mn=14;若1是方程x2-10 x+n=0的根,則n=9,另一根為9,設x1,x2是方程x2-5

14、x+m=0的兩個根,則x1+x2=5,無論怎么排列均不符合題意.綜上可知,mn=14.12.D對于A,假設an有界,即存在常數M,對任意nN+,都有an+1M,anM,則1+n=an+1+anM+M=2M.因為左邊1+n遞增到無窮大,而右邊為常數,所以anM不恒成立,故A錯誤.同理,對于C,an+1an=1+2nM2也不恒成立,故C錯誤.對于B,當n2時,an+1-an=1-1n12,累加可得an-a212(n-2),a2=1,ann2,當n=1時,此式也成立,顯然an不是有界的,故B錯誤.對于D,a2=2,an+1an=1+1n2=n2+1n2n2n2-1=n2(n+1)(n-1)=nn+1

15、nn-1,當n2時,累乘可得anan-1an-1an-2a3a2n-1nn-2n-123n-1n-2n-2n-321,即ana22n(n-1)2,從而an4,n=1時,a1=10),a3=2,2q=2q2+12,化簡得q2-4q+4=0,解得q=2,(3分)an=a3qn-3=22n-3=2n-2.(4分)(2)由(1)知,bn=log2an+3=log22n-2+3=n-2+3=n+1,1bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(6分)Tn=1b1b2+1b2b3+1bnbn+1=12-13+13-14+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).(9分)令Tn13

16、,得n2(n+2)13,解得n4,滿足Tn13的正整數n的最小值是5.(12分)19.解析(1)證明:對任意的正整數n,都有2Sn=3an+n-2成立,當n=1時,a1=S1=32a1-12,解得a1=1;(1分)當n2時,2an=2Sn-2Sn-1=(3an+n-2)-(3an-1+n-3),整理得an=3an-1-1,an-12=3an-1-12(n2),(3分)又a1-12=120,數列an-12是首項為12,公比為3的等比數列.(4分)(2)由(1)可得,an-12=123n-1,an=12(3n-1+1),(6分)bn=3n-1anan+1=43n-1(3n-1+1)(3n+1)=2

17、13n-1+1-13n+1,(8分)Tn=211+1-13+1+13+1-132+1+13n-1+1-13n+1=212-13n+1=3n-13n+1.(12分)20.解析(1)由題意可得,當n2時,an=Sn-Sn-1=6n+5;(1分)當n=1時,a1=S1=11,經檢驗符合上式,所以an=6n+5.(2分)設等差數列bn的公差為d.由a1=b1+b2,a2=b2+b3,得11=2b1+d,17=2b1+3d,(3分)解得b1=4,d=3,所以bn=3n+1.(4分)(2)由(1)知,cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)2n+1.(6分)又Tn=c1+c2+cn,所以Tn=

18、3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+n2n+1+(n+1)2n+2,(9分)-,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=-3n2n+2,所以Tn=3n2n+2.(12分)21.解析(1)a1=2,且1a1-1a2=24S1-1,12-1a2=242-1=27,解得a2=143.(2分)(2)由1an-1an+1=24Sn-1(nN+),可得4Sn-1=2anan+1an+1-an,4Sn-1-1=2an-1anan-an-1,n2,(4分)(4Sn-1)-(4Sn-1-1)=4an=2anan+1an+1-an-2an-1anan-an-1,易

19、知an0,an+1an+1-an-an-1an-an-1=2,an+1-an+anan+1-an-an-1an-an-1=2,化簡得anan+1-an-an-1an-an-1=1,即bn-bn-1=1(n2),(6分)又b1=a1a2-a1=2143-2=34,數列bn是首項為34,公差為1的等差數列,bn=34+(n-1)=4n-14.(8分)(3)由(2)可得anan+1-an=4n-14,an+1-anan=44n-1,即an+1an-1=44n-1,an+1an=4n+34n-1,anan-1=4n-14n-5(n2),(10分)an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=4n-14n-54n-54n-9117732=8n-23(n2),又a1=2滿足上式,an=8n-23