1、第八章相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】兩圓相交為圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理提供了用武之地，由此我們也可獲得相交兩圓的一系列有趣性質(zhì)性質(zhì)1相交兩圓的連心線垂直平分公共弦性質(zhì)2以相交兩圓的一交點(diǎn)為頂點(diǎn)，過另一交點(diǎn)的割線為對邊的三角形稱為兩相交圓的內(nèi)接三角形，相交兩圓的內(nèi)接三角形的三個(gè)內(nèi)角均為定值推論1在相交兩圓中，內(nèi)接三角形都相似如圖，均相似推論2在相交兩圓中，若公共弦與內(nèi)接三角形的一邊垂直，則另兩邊必分別為兩圓直徑，反之亦真如圖中，分別為，的直徑推論3在相交兩圓中，兩內(nèi)接三角形的割線段邊相等的充要條件是公共弦與這兩邊成相等的角推論4在相交兩圓中，內(nèi)接三角形的交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)）頂點(diǎn)，兩非交點(diǎn)頂

2、點(diǎn)以及兩非交點(diǎn)頂點(diǎn)處的兩切線交點(diǎn)，此四點(diǎn)共圓，或兩非交點(diǎn)頂點(diǎn)處的兩切線交點(diǎn)在內(nèi)接三角形的外接圓上性質(zhì)3兩相交圓的公共弦所在直線平分外公切線線段性質(zhì)4以相交兩圓的兩交點(diǎn)分別為視點(diǎn)，對同一外公切線線段的張角的和為性質(zhì)5兩相交圓為等圓的充要條件是下述條件之一成立：（1）公共弦對兩圓的張角相等；（2）過同一交點(diǎn)的兩條割線交兩圓所得兩弦相等；（3）內(nèi)接三角形以相交兩圓交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩邊相等（即為等腰三角形）事實(shí)上，如圖，與下相交于，（1）令，與為等圓（2）與為等圓（3）由正弦定理即證性質(zhì)6過相交兩圓的兩交點(diǎn)分別作割線，交兩圓于四點(diǎn)，同一圓上的兩點(diǎn)的弦互相平行事實(shí)上，如圖所示，即可證得 （證略）性質(zhì)7與相交

3、于、，是過的一條割線段，在上，在上，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)的充要條件是事實(shí)上，如圖 （a），設(shè)，分別為、在上的射影，由垂徑定理，知、分別為、的中點(diǎn)，由梯形中位線定理知為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則由為的中點(diǎn) （注意）注 特別地，當(dāng)與重合時(shí)，有【典型例題與基本方法】例1如圖，四邊形內(nèi)接于圓，對角線與相交于設(shè)三角形，和的外接圓圓心分別是，求證：，三直線共點(diǎn)（1990年全國高中聯(lián)賽題）證明連并兩方延長交于，交于在和中，以而，即利用相交兩圓的性質(zhì)1，知與的連心線公共弦，故同理，從而為平行四邊形，交于其中點(diǎn)同理，也交于其中點(diǎn)所以，三直線共點(diǎn)例2如圖，證明：若凸五邊形中，則（第21屆全俄中學(xué)生（10年級）奧林匹克題）

4、證明設(shè)對角線與相交于由，知，共圓因此，即，故，共圓此時(shí)，兩圓與相交于點(diǎn)，從而由相交兩圓性質(zhì)2的推論1，知，即，故例3如圖，兩圓，相交于，的弦交于，的弦交于證明：（）若，則；（）若，則（1979年全國高中聯(lián)賽題）證明（）對圖 （a），因，四點(diǎn)共圓，有，且，而么，故，于是又由相交兩圓性質(zhì)2的推論1，知注意到，則，故對圖 （b），由，及，分別四點(diǎn)共圓，有，又由，知，有，故（）由及（）中證明，可得，由此，可推證得注此例的第（）部分，1988年又作為第13屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題：兩圓相交于點(diǎn)，過點(diǎn)引直線，使它們分別與弦所構(gòu)成的角相等除點(diǎn)外，與兩圓的交點(diǎn)分別為，與兩圓的交點(diǎn)分別為，證明：例4如圖，已知與相

5、交于，直線垂直于且分別與，交于，為線段的中點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，求證：（1985年廣州、武漢、福州聯(lián)合初中競賽題）證明連，因，則由相交兩圓性質(zhì)2的推論2，知在上，在上連，則四邊形為平行四邊形，即于是，知為等腰梯形，從而，又，注意，便有故注此例實(shí)際上是由第3題改編而來：平面上兩圓相交，其中一交點(diǎn)為，兩邊點(diǎn)各以勻速自點(diǎn)出發(fā)在不同的圓周上依同向移動，這兩點(diǎn)經(jīng)移動一周后同時(shí)返回到點(diǎn)求證：平面上有一定點(diǎn)，它不論在何時(shí)皆和兩動點(diǎn)等距離例5如圖，平面上兩圓與相交，其中一交點(diǎn)為兩動點(diǎn)，各以勻速自點(diǎn)出發(fā)在不同的圓周上依同向移動，這兩點(diǎn)經(jīng)移動一周后可同時(shí)返回到點(diǎn)求證：過的任一割線交兩圓的兩交點(diǎn)，分別與對應(yīng)的移動中的

6、，的連線互相平行（試題改編）證明設(shè)兩動點(diǎn)，出發(fā)后，經(jīng)某一時(shí)段后分別到達(dá)和上的如圖所示位置不妨設(shè)兩動點(diǎn)是按逆時(shí)針方向移動，因移動一周的時(shí)間相同，故設(shè)為與的另一交點(diǎn)，連，因圓周角等于所對的同弧上的圓心角的一半，故，即，從而，三點(diǎn)共線于是由性質(zhì)6，知【解題思維策略分析】1發(fā)掘題給條件中的兩圓性質(zhì)例6如圖，與的半徑均為，過的兩頂點(diǎn)，過頂點(diǎn)，是，的另一個(gè)交點(diǎn)，求證：的外接圓半徑也是證明作，連，則四邊形也是平行四邊形記，由于與是等圓，由相交兩圓的性質(zhì)5（1）， 注意到，則知，由此，有，四點(diǎn)共圓，于是，又注意到，有，于是設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理有故這說明的外接圓半徑也是例7如圖，已知為平面上兩個(gè)半徑不

7、等的與的一個(gè)交點(diǎn)，兩圓的兩條外公切線分別為和，切點(diǎn)分別為，和分別為，的中點(diǎn)求證：（24試題）證明延長交于，延長交于，由性質(zhì)2的推論2，知，三點(diǎn)共線由于兩圓半徑不等，設(shè)直線與相交于，則點(diǎn)在所在直線上連并延長交于，交于，連，延長交于，則由性質(zhì)3知，所以線段與弦互相垂直平分于是，即，三點(diǎn)共線同理，三點(diǎn)共線故由性質(zhì)2的推論1，知，即有例8如圖，圓和圓相交于點(diǎn)和設(shè)是圓和圓的兩條公切線中距離較近的公切線，與切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)設(shè)過且與平行的直線與圓還相交于點(diǎn)，與圓還相交于點(diǎn)直線和交于點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)和求證：（41試題）證明連并延長交于，則由相交兩圓的性質(zhì)3，知為的中點(diǎn)在中，由又可得為的中點(diǎn)由及為的切線

8、，連，則推知，從而知 （在延長線上），故平分同理，連，知平分此時(shí)，即知，關(guān)于直線對稱，故于是，在中，有，從而2根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)作相交圓例9如圖，自的外接圓上任一點(diǎn)，引三邊或其延長線的垂線，分別交于，交于，交于，交分別于，求證：證明注意到西姆松定理，知，三點(diǎn)共線由，四點(diǎn)共圓，且此圓與的外接圓相交于，兩點(diǎn)，是過這兩相交圓交點(diǎn)的兩條割線，根據(jù)相交兩圓性質(zhì)5，知，同樣，也是過這兩相交圓交點(diǎn)的兩條割線，由性質(zhì)6有故又由，四點(diǎn)共圓，此時(shí)，是分別過與的交點(diǎn)，的兩條割線，由性質(zhì)6知，故例10如圖，等腰中，是延長線上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，交于，經(jīng)過，的圓交的外接圓于求證：證明由題設(shè)，知，及，分別四點(diǎn)共圓，連，有，從

9、而知，四點(diǎn)共圓此時(shí)，連，則，所以，四點(diǎn)共圓于是，是過兩相交圓與的交點(diǎn)的兩條割線由于，由兩相交圓性質(zhì)5（2），知與是等圓又由，共圓，有再注意到性質(zhì)5（2），知因，共圓，有而，故，即有此時(shí)，推知，有，故例11已知在凸四邊形中，直線與以為直徑的圓相切求證：直線與以為直徑的圓相切的充分必要條件是（25試題）證明必要性：如圖，將，的中點(diǎn)分別記為，切于，切于連，則，均為等腰三角形由，四點(diǎn)共圓，有，從而兩等腰三角形的底角相等，即么，由此有，四點(diǎn)共圓同理，四點(diǎn)共圓此兩圓相交于，而，是分別過這兩交點(diǎn)的割線，故由性質(zhì)6，知充分性：如圖8-15，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，作于以為直徑的圓切于，連，則于連，設(shè)與交于，連，過

10、作交于因，故由，則，而，四點(diǎn)共圓，有 其中是由與的兩對應(yīng)邊互相垂直推得設(shè)與的交點(diǎn)為，則，四點(diǎn)共圓又因，知，四點(diǎn)共圓，此時(shí)，有，五點(diǎn)共圓同理，四點(diǎn)共圓，且此圓與的公共弦為連，則連，則由相交兩圓的性質(zhì)2的推論1，知，故以為直徑的圓過點(diǎn)且切于點(diǎn)3仔細(xì)找出相交兩圓的內(nèi)接三角形例12凸四邊形的對角線交于點(diǎn)，、的外接圓交于、兩點(diǎn)，直線分別交、的外接圓于、兩點(diǎn)求證：是線段的中點(diǎn)（2006年全國女子奧林匹克題）證法1如圖，聯(lián)結(jié)、，則由推論1，有，從而,上述兩式相除，得又由，有于是，將上式代入前一式，得，即證證法2如圖，設(shè)、，的外心分別為、，則由性質(zhì)1知，從而同理即知為平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且由垂

11、直平分知于是，由性質(zhì)7知為的中點(diǎn)例13兩圓、交于點(diǎn)、，過點(diǎn)的一條直線分別交圓、于點(diǎn)、，過點(diǎn)的另一條直線分別交圓、于點(diǎn)、，直線分別交圓、于點(diǎn)、設(shè)，分別是弧、的中點(diǎn)，若，求證：、四點(diǎn)共圓（2010年試題）證明如圖，由推論3，知平分 （注意）又平分，平分于是，三線共點(diǎn)于的內(nèi)心從而，由相交弦定理，有故由相交弦定理的逆定理，知、四點(diǎn)共圓例14如圖，在圓內(nèi)接中，為最大角，不含點(diǎn)的弧上兩點(diǎn)、分別為弧、的中點(diǎn)記過且與相切的圓為，過點(diǎn)、且與相切的圓為與相交于、證明：平分（2012年試題）證明聯(lián)結(jié)，則由題設(shè)知于是，只需證為等腰三角形，即即可聯(lián)結(jié)、，延長至，延長交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)由于點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，有又是的切線，從而，所以

12、，、三點(diǎn)共線延長交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，由推論1，知，注意到 （為弧的中點(diǎn)），有從而又由推論1，有，于是故即知平分【模擬實(shí)戰(zhàn)】習(xí)題A1兩圓與相交于點(diǎn)和，過點(diǎn)作兩直線與兩圓的交點(diǎn)分別為，；，（，在上），且求證：為定值2兩等圓相交于，過作直線與兩圓分別交于，若為的中點(diǎn)，求證：3兩圓相交于，過任作直線被兩圓所截得的線段為，又過作的垂線，被兩圓所截得的線段為求證：4與相交于，兩點(diǎn)，割線，都過點(diǎn)（，在上）若，求證：習(xí)題B1梯形中，分別是腰，上的點(diǎn)，求證：2定長弦 （長度小于直徑）的兩端在半圓弧上滑動試證：不論在什么位置，從，分別向弦作垂線，其垂足，與中點(diǎn)所成三角形都相似（1981年福州市競賽題）3三圓兩兩相交，并過公共點(diǎn)，而另一交點(diǎn)分別為，過其中一圓的上（不含點(diǎn)）任取兩點(diǎn)與（，點(diǎn)除外），引直線，與其他