1、人教版八年級數學上冊多邊形的內角和情境引入學習目標1.能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式.（重點）2.學會運用多邊形的內角和與外角和公式解決問題.（難點）法國的建筑事務所atelierd將協調堅固的蜂窩與人類天馬行空的想象力結合，創造了這個“abeilles bee pavilion”.導入新課情景引入思考：你知道正六邊形的內角和是多少嗎？問題2 你知道長方形和正方形的內角和是多少 度？ 問題1 三角形內角和是多少度？三角形內角和 是180.都是360.問題3 猜想任意四邊形的內角和是多少度？ 講授新課多邊形的內角和一猜想：四邊形ABCD的內角和是360.問題4 你能用以前學過的知識

2、說明一下你的結論嗎？猜想與證明方法1：如圖，連接AC,所以四邊形被分為兩個三角形，所以四邊形ABCD內角和為1802=360.ABCDABCDE方法2：如圖，在CD邊上任取一點E，連接AE,DE，所以該四邊形被分成三個三角形，所以四邊形ABCD的內角和為1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.方法3：如圖，在四邊形ABCD內部取一點E，連接AE,BE,CE,DE，把四邊形分成四個三角形：ABE,ADE,CDE,CBE.所以四邊形ABCD內角和為：1804-(AEB+AED+CED+CEB)=1804-360=360.ABCDEABCDP方法4：如圖，在四邊形外任取一點P

3、,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.所以四邊形ABCD內角和為180 3 180 = 360.這四種方法都運用了轉化思想，把四邊形分割成三角形，轉化到已經學了的三角形內角和求解.結論： 四邊形的內角和為360.例1：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理由.解： 如圖，四邊形ABCD中，A+ C =180.A+B+C+D=(42) 180 = 360 ，因為 BD= 360（AC） = 360 180 =180.所以 ABCD如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.典例精析【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，A與C互補，BE平

4、分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求證：DCF為直角三角形證明：在四邊形ABCD中，A與C互補，ABC+ADC=180，BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90，BEDF，EBF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF為直角三角形運用了整體思想ACDEBABCDEF問題5 你能仿照求四邊形內角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內角和嗎? 內角和為180 3 = 540.內角和為180 4 = 720.n 邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內角和分割出三角形的個數從多邊形的一頂點引出的對角線條數圖形邊數0n -3 1231234 n -2 （ n -2 ）1801180=180

5、2180=360 3180=5404180=720由特殊到一般 分割多邊形三角形分割點與多邊形的位置關系頂點邊上內部外部轉化思想總結歸納多邊形的內角和公式n邊形內角和等于(n-2)180 .例2 一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720，并且這個多邊形的各內角都相等，這個多邊形的每個內角是多少度？解：設這個多邊形邊數為n，則 （n-2）180=360+720， 解得n=8， 這個多邊形的每個內角都相等， （8-2）180=1080， 它每一個內角的度數為10808=135典例精析例3 已知n邊形的內角和=（n-2）180（1）甲同學說，能取360；而乙同學說，也能取630甲、乙的說法對嗎？若

6、對，求出邊數n若不對，說明理由；解：360180=2， 630180=3.90， 甲的說法對，乙的說法不對， 360180+2=4 故甲同學說的邊數n是4；（2）若n邊形變為（n+x）邊形，發現內角和增加了360，用列方程的方法確定x解：依題意有（n+x-2）180-（n-2）180=360，解得x=2故x的值是2【變式題】一個同學在進行多邊形的內角和計算時，求得內角和為1125，當他發現錯了以后，重新檢查，發現少算了一個內角，問這個內角是多少度？他求的是幾邊形的內角和？解：設此多邊形的內角和為x，則有1125x1125180，即180645x180745，因為x為多邊形的內角和，所以它是18

7、0的倍數，所以x18071260.所以729，12601125135.因此，漏加的這個內角是135，這個多邊形是九邊形思路點撥：多邊形的內角的度數在0180之間.例4 如圖，在五邊形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度數解析：根據五邊形的內角和等于540，由C,D,E的度數可求EAB+ABC的度數，再根據角平分線的定義可得PAB與PBA的角度和，進一步求得P的度數可運用了整體思想解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-C-D-E=230.AP平分EAB,PAB EAB，同理可得ABP

8、ABC，P+PAB+PBA=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB+ABC)=180 230=65241324132413241324132413241324132413241324132413 用形狀、大小完全相同的任意四邊形可拼成一塊無空隙的地板，你知道這是為什么嗎？ 你知道嗎？多邊形的外角和二如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和問題1：任意一個外角和它相鄰的內角有什么關系？問題2：五個外角加上它們分別相鄰的五個內角和是多少？EBCD123 45A互補5180=900EBCD123 45A五邊形外角和=360 =5個平角五邊形內角和=5180

9、(52) 180結論：五邊形的外角和等于360.問題3：這五個平角和與五邊形的內角和、外角和有什么關系？在n邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和n邊形外角和n邊形的外角和等于360.(n2) 180=360 =n個平角-n邊形內角和= n180 AnA2A3A4123 4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？與邊數無關問題4：回想正多邊形的性質，你知道正多邊形的每個內角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？每個內角的度數是每個外角的度數是練一練：(1)若一個正多邊形的內角是120 ,那么這是正_邊形.(2)已知多邊形的每個外角都是45,則這個多邊形是 _邊形.六正八典例精析例

10、4 已知一個多邊形，它的內角和等于外角和的 2倍，求這個多邊形的邊數.解： 設多邊形的邊數為n. 它的內角和等于 (n2)180， 多邊形外角和等于360， (n2)180=2 360. 解得 n=6. 這個多邊形的邊數為6.例5 已知一個多邊形的每個內角與外角的比都 是7:2，求這個多邊形的邊數.解法一：設這個多邊形的內角為7x ,外角為2x,根據題意得7x+2x=180，解得x=20.即每個內角是140 ，每個外角是40 .360 40 =9.答：這個多邊形是九邊形.還有其他解法嗎？解法二：設這個多邊形的邊數為n ,根據題意得解得n=9.答：這個多邊形是九邊形.【變式題】一個正多邊形的一個

11、外角比一個內角大60，求這個多邊形的每個內角的度數及邊數解：設該正多邊形的內角是x，外角是y，則得到一個方程組 解得而任何多邊形的外角和是360，則該正多邊形的邊數為360120=3，故這個多邊形的每個內角的度數是60，邊數是三條例6 如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，求BED的度數解：由題意得AB=AE,所以AEB= (180-A)=36，所以BED=AED-AEB=108-36=72.當堂練習1.判斷(1)當多邊形邊數增加時，它的內角和也隨著增加.( )(2)當多邊形邊數增加時，它的外角和也隨著增加.( )(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等 ( ) 2.一個正多邊形的內角和為720，則這個正多邊形的 每一個內角等于_1203.如圖所示，小華從點A出發，沿直線前進10米后左轉24，再沿直線前進10米，又向左轉24，照這樣走下去，他第一次回到出發地點A時，走的路程一共是_米1504.一個多邊形的內角和不可能是（ ）A.1800 B.540 C.720 D.810 D5.一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形 內角和等于（ ）A.360 B.540 C.720 D.900 B6. 一個多邊形的內角和為1800，截去一個角后，求得到的多邊形的內角和.解：180018010，原多邊形邊數為10212.一個多邊形截去一個內角后，邊數可能減1，