1、1、玻爾、玻爾-索末菲模型：對玻爾的圓軌道模型作出了修正，索末菲模型：對玻爾的圓軌道模型作出了修正，提出了提出了橢圓軌道模型橢圓軌道模型，把電子繞核的運動由一維運動推廣，把電子繞核的運動由一維運動推廣為二維運動，并用兩個量子數為二維運動，并用兩個量子數 n，l 來描述這個系統。來描述這個系統。n 稱稱為主量子數為主量子數，且，且 n=1,2,3; l 稱稱角量子數角量子數，它決定運動系統軌道角動量的大小，它決定運動系統軌道角動量的大小，且且 n 取定后，取定后， l=0，1，2，n-1。 Review 原子的光譜決定于其原子的光譜決定于其最外層價電子最外層價電子，堿金屬元素堿金屬元素的的光譜可

2、以用與氫原子相同的公式來表述。光譜可以用與氫原子相同的公式來表述。堿金屬原子的基態：堿金屬原子的基態：-Li、Na、K、Rb、Cs、Fr的基態的基態依次為：依次為：2s、3s、4s、5s、6s、7s。堿金屬原子堿金屬原子：帶一個正電荷的帶一個正電荷的原子實原子實 + 一個價電子一個價電子22nRhcZEn *22nRhcZEn 氫原子和類氫離子的氫原子和類氫離子的能級能級里德伯里德伯給出的經驗公式：給出的經驗公式：2 2、堿金屬原子的光譜、堿金屬原子的光譜2222)(nRZnRnRZT2*2*nRhcRhcEnnZ 因為因為Z*1，所以，所以n*1.nmEEEhv22)(1)(1llmnRhc

3、所以堿金屬光譜的波數為所以堿金屬光譜的波數為22)(1)(1llmnRv根據根據玻爾理論玻爾理論，原子內部兩能級之間的躍遷產生該原子的譜線：，原子內部兩能級之間的躍遷產生該原子的譜線：)()(*nTnT實驗觀察表明實驗觀察表明，堿金屬元素的光譜主要分為，堿金屬元素的光譜主要分為四個線系四個線系 ：1l原子能級之間的躍遷原子能級之間的躍遷選擇規則選擇規則：主線系：主線系： 從從高高P P態態向向3S3S態態躍遷產生；躍遷產生；)()3 (nPTST), 5 , 4 , 3(n銳線系：銳線系： 從從高高S S態態向向3P3P態態躍遷產生；躍遷產生；（又稱第二輔線系）（又稱第二輔線系） )()3(n

4、STPT), 6 , 5 , 4(n漫線系：漫線系： 從從高高D D態態向向3P3P態態躍遷產生；躍遷產生；（又稱第一輔線系）（又稱第一輔線系）)()3(nDTPT), 5 , 4 , 3(n基線系基線系： 從從高高F F態態向向3D3D態態躍遷產生。躍遷產生。（又稱柏格曼系）（又稱柏格曼系）)()3 (nFTDT)6 , 5 , 4(n 比如對于鈉元素來說，它的四個線系分別是：比如對于鈉元素來說，它的四個線系分別是： 玻爾理論的局限性（困難）：玻爾理論的局限性（困難）：第三章：量子力學導論第三章：量子力學導論第一節第一節 波粒二象性及實驗驗證波粒二象性及實驗驗證第二節第二節 不確定關系（測不

5、準關系）不確定關系（測不準關系）第三節第三節 波函數及其物理意義波函數及其物理意義第四節第四節 薛定諤方程薛定諤方程第五節第五節 氫原子的量子力學處理氫原子的量子力學處理Atomic Physics 原子物理學原子物理學結束第三章第三章 量子力學導論量子力學導論New。物理學全明星夢之隊物理學全明星夢之隊-匯聚了物理學界智慧之腦的匯聚了物理學界智慧之腦的“明星照明星照”德布羅意 ,E Pv十九世紀初十九世紀初，在菲涅耳（，在菲涅耳（A. J. FresenelA. J. Fresenel）、夫瑯和費（）、夫瑯和費（J. FraunhoferJ. Fraunhofer）和楊氏（）和楊氏（T. Y

6、oungT. Young）等人證實光的）等人證實光的干涉、干涉、衍射衍射的實驗之后，光的波動說才為人們普遍承認。的實驗之后，光的波動說才為人們普遍承認。到了到了十九世紀末十九世紀末，麥克斯韋和赫茲肯定了光是電磁波，這，麥克斯韋和赫茲肯定了光是電磁波，這個時候，個時候，光的波動說似乎得到了決定性的勝利光的波動說似乎得到了決定性的勝利。hphE （1）光是粒子性和波動性的矛盾統一體。光是粒子性和波動性的矛盾統一體。在在干涉、衍射、偏振干涉、衍射、偏振這些現象上，光顯示出這些現象上，光顯示出波動性波動性；在在涉及能量的問題涉及能量的問題中，例如黑體輻射、光電效應等問題中，中，例如黑體輻射、光電效應等

7、問題中，光又顯示出光又顯示出粒子性粒子性。（1 1）式是光的）式是光的波粒二象性波粒二象性的數學表示式。的數學表示式。光的波粒二象性在光的波粒二象性在1923 年的年的康普頓散射康普頓散射實驗中直接得到實驗中直接得到驗證。將在第六章介紹這個實驗。驗證。將在第六章介紹這個實驗。hphE （1）法國物理學家法國物理學家 德布羅意德布羅意（Louis Victor de Broglie 1892 1987 )1924年在他的博士論文年在他的博士論文關于量子理關于量子理論的研究論的研究中提出把中提出把粒子性和波動粒子性和波動性性統一起來。統一起來。為量子力學為量子力學的建立提供的建立提供了物理基礎。了

8、物理基礎。 1923 年年，德布羅意德布羅意把愛因斯坦的光的波粒二象性的觀念推把愛因斯坦的光的波粒二象性的觀念推廣到所有的粒子，從而朝量子力學的建立邁開了革命性的一步。廣到所有的粒子，從而朝量子力學的建立邁開了革命性的一步。 路易路易.德布羅意德布羅意認為，如同過去對光的認識比較片面一認為，如同過去對光的認識比較片面一樣，對實物粒子的認識或許也是片面的，二象性并不只是光樣，對實物粒子的認識或許也是片面的，二象性并不只是光才具有的，實物粒子也具有二象性。才具有的，實物粒子也具有二象性。 德布羅意說道：德布羅意說道：“整個世紀（十九世紀）以來，在整個世紀（十九世紀）以來，在輻輻射理論（光學）射理論

9、（光學）中，比起波動的研究方法來，是過于中，比起波動的研究方法來，是過于忽視了忽視了粒子粒子的研究方法；在的研究方法；在實物粒子的理論上實物粒子的理論上，是否發生了相反的，是否發生了相反的錯誤呢？是不是我們把關于錯誤呢？是不是我們把關于“粒子粒子”的圖象想的太多，而的圖象想的太多，而過過分地忽視了波的圖象分地忽視了波的圖象？” 于是他大膽地提出假設：于是他大膽地提出假設：認為不只是輻射波具有波粒二象認為不只是輻射波具有波粒二象性，性，一切實物粒子一切實物粒子（如電子、原子、分子（如電子、原子、分子.）也具有波粒二也具有波粒二象性象性。并且把光子的。并且把光子的能量能量頻率頻率和和動量動量波長波

10、長的關系式，引申到的關系式，引申到實物粒子。實物粒子。 1924年德國年德國青年物理學家青年物理學家德布羅意提出德布羅意提出一切實物粒子一切實物粒子（電（電子，分子子，分子. ）都具有波粒二象性都具有波粒二象性。 一個質量為一個質量為 m，并以一定速度，并以一定速度 v 運動的實物粒子（其動量運動的實物粒子（其動量為為 mv） ，就有一定的波長就有一定的波長和頻率和頻率的波與之相對應，這種與的波與之相對應，這種與實物粒子相對應的波叫實物粒子相對應的波叫物質波物質波（或德布羅意波），這些量之間（或德布羅意波），這些量之間的關系與光波相類似為：的關系與光波相類似為： 德布羅意波波長德布羅意波波長

11、PhmvhPh 著名的德布羅意關系式。著名的德布羅意關系式。（1）德布羅意波：）德布羅意波：hE hP 粒子性粒子性波動性波動性（b） 電子經加速電勢差電子經加速電勢差 U 加速后，其速度由下式決定：加速后，其速度由下式決定：代入德布羅意公式得到電子的德布羅意波波長為：代入德布羅意公式得到電子的德布羅意波波長為：（2）德布羅意波長的計算）德布羅意波長的計算:（a）若）若cv 則有則有vmh02021mveU v c 時時)1(20Uemh將將 e， m0 ，h 等代入得到：等代入得到：AU2.12電子衍射實驗電子衍射實驗證實了實物粒子（電子）的波動性。證實了實物粒子（電子）的波動性。（c）當）

12、當 v 與與 c （或（或 Ek E0） 可以可以相比擬相比擬時，要按相對論計算時，要按相對論計算）（22110cvvmhmvhPhhP)(22022202EEcpEEEhcPhkk或或 ( (d) ) 宏觀物體的德布羅意波長小到實驗難以測量的程度，宏觀物體的德布羅意波長小到實驗難以測量的程度， 因此宏觀物體僅表現出粒子性。因此宏觀物體僅表現出粒子性。 例例1 在一束在一束電子電子中，電子的動能為中，電子的動能為200eV，求此電子，求此電子的德布羅意波長的德布羅意波長 ？解解20k21,vvmEc0k2mEv1 -613119sm104 . 8sm101 . 9106 . 12002vnm1

13、067.82nm104 . 8101 . 91063. 6631340vmhcv此波長的數量級與此波長的數量級與 X 射線波長的數量級相當。射線波長的數量級相當。例例 2、計算質量、計算質量 m= 0.01kg ，速率，速率 v=300m/s的的子彈子彈的德布的德布 羅意羅意 波波長波波長 。 mvh30001. 01063. 634m341021. 2解解 ：例例 3、己知：、己知：質子質子的德布羅意波波長的德布羅意波波長 =110 -13 m，求求 (1)質子的速度質子的速度 ； (2)應通過多大電壓使質子加速到以上速度應通過多大電壓使質子加速到以上速度 ？ 解解 ( 1)mvhmhv 1

14、61096. 3sm1327341011067. 11063. 6221mveU (2)emvU22192627106 . 121096. 31067. 1V41018. 8例例4、一個光子的德布羅意波長與一個電子的德布羅意波長、一個光子的德布羅意波長與一個電子的德布羅意波長皆為皆為5.0埃，此光子的動量與電子的動量之比為埃，此光子的動量與電子的動量之比為；光子；光子的動能與電子的動能之比為的動能與電子的動能之比為。1:1:eopphp解：解：埃0 .5eo電子的動能：電子的動能：)(20222242220EcpEcmcmcpEEEeeek321085. 4eeeeeecmhcmpcmcp說明

15、說明Ek很小很小eeekempvmE22122光子的動能即為總能量：光子的動能即為總能量：cpcmEooo22101 . 42222hcmpcmmpcpEEeeeeeeoeo將弦逐漸彎曲成圓（半徑為將弦逐漸彎曲成圓（半徑為 r）時，則弦上時，則弦上仍是仍是一穩定的駐波一穩定的駐波（b）、（）、（c）例例5 從從德布羅意波導出氫原子玻爾理論中德布羅意波導出氫原子玻爾理論中角動量量子化條件角動量量子化條件。nr 2, 4 , 3 , 2 , 1n 解解 兩端固定的弦上引起波動，若其長度等于波長則可形成兩端固定的弦上引起波動，若其長度等于波長則可形成穩定的駐波（穩定的駐波（a）.r2此時滿足：此時滿

16、足：只要半徑為只要半徑為 r 的周長等于波長的整的周長等于波長的整數倍是，都可以在弦上形成穩定的數倍是，都可以在弦上形成穩定的駐波，即有：駐波，即有：（a）（b）（c）n=8nhrmv2vmhnr2電子繞核運動其德布羅意波長為電子繞核運動其德布羅意波長為:2hnrmLv角動量量子化條件角動量量子化條件:nr 2,4, 3 ,2, 1n 19251927 年間，年間，戴維孫戴維孫(（G.J.Davisson）和革末和革末（L.H.Germer）做了電子在晶體中的衍射實驗，實驗結果有力的）做了電子在晶體中的衍射實驗，實驗結果有力的證明了電子的證明了電子的波動性波動性，并且證明了電子的德布羅意波的公

17、式的正確（，并且證明了電子的德布羅意波的公式的正確（1929 年年，德，德布羅意獲得諾貝爾物理學獎；布羅意獲得諾貝爾物理學獎；1937 年年，戴維孫和喬治，戴維孫和喬治佩杰特佩杰特湯姆生因湯姆生因發現電子在晶體中的衍射現象而獲得諾貝爾物理學獎發現電子在晶體中的衍射現象而獲得諾貝爾物理學獎）。）。 20 世紀世紀30 年代年代以后，實驗進一步發現，不但電子，而且以后，實驗進一步發現，不但電子，而且一切實一切實物粒子物粒子，如中子、質子、氦原子和氫分子，甚至大到像，如中子、質子、氦原子和氫分子，甚至大到像C-60 和和C-70 這樣的大分子的波動性都得到證實，它們的波長都由德布羅意這樣的大分子的波

18、動性都得到證實，它們的波長都由德布羅意公式決定，從而進一步公式決定，從而進一步證實了德布羅意假設的正確證實了德布羅意假設的正確。1961 年，人們第一次在實驗室中實現了年，人們第一次在實驗室中實現了電子電子的雙縫干涉實驗，的雙縫干涉實驗，實驗原理類似光的楊氏雙縫干涉實驗。實驗原理類似光的楊氏雙縫干涉實驗。（1） 戴維孫戴維孫 - 革末電子衍射實驗（革末電子衍射實驗（1927年）年）I35 54 75V/U50 當散射角當散射角 時時 電流與加速電壓曲線電流與加速電壓曲線50檢測器檢測器電子束電子束散散射射線線電子被電子被鎳晶體鎳晶體衍射實驗衍射實驗MUKG電子槍電子槍電子探測器電子探測器sin

19、,1, 2,dnn50d54 eVek1.672hm E2.15d 151n 電子束在單晶晶體上反射的實驗結果符合電子束在單晶晶體上反射的實驗結果符合X射線衍射射線衍射中的布拉格公式中的布拉格公式.相鄰晶面（布拉格面）電子束反射射線干涉加強條件相鄰晶面（布拉格面）電子束反射射線干涉加強條件: kd2cos2sin2kdsin50, 1k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d2222sindm1015. 210d鎳晶體晶格常數鎳晶體晶格常數m1065. 1sin10d電子波的波長電子波的波長 eUmkhde21sinU=54V，Ek=54eVm1

20、067. 122. 1210keeUAEmhmhv理論計算：理論計算：k777. 0sin當當 時，時， 與實驗結與實驗結果相近果相近.51777. 0arcsin1kemUdkh21sinemUkhd21sinUMDP電子束透過多晶鋁箔的衍射電子束透過多晶鋁箔的衍射K（2 ） G . P . 湯姆孫電子衍射實驗湯姆孫電子衍射實驗 ( 1927年年 ) 電子束穿越多晶薄片時出現類似電子束穿越多晶薄片時出現類似X射線在多射線在多晶上衍射的圖樣晶上衍射的圖樣.X X射射線線（3） 應用舉例應用舉例 1932年魯斯卡成功研制了電子顯微鏡年魯斯卡成功研制了電子顯微鏡 ; 1981年賓尼希和羅雷爾制成了

21、掃描隧道顯微鏡年賓尼希和羅雷爾制成了掃描隧道顯微鏡. 經典經典粒子粒子 不被分割的整體，有確定位置和不被分割的整體，有確定位置和運動軌道運動軌道 . 經典經典的波的波 某種實際的物理量的空間分布作周某種實際的物理量的空間分布作周期性的變化，波具有相干疊加性期性的變化，波具有相干疊加性 . 二二 象象 性性 要求將波和粒子兩種對立的屬性要求將波和粒子兩種對立的屬性統一到同一物體上統一到同一物體上 .5 德布羅意波的統計解釋德布羅意波的統計解釋 單個粒子在何處出現具有偶然性；大量粒子單個粒子在何處出現具有偶然性；大量粒子在某處出現的多少具有規律性。在某處出現的多少具有規律性。 粒子在各處出現粒子在

22、各處出現的概率不同。的概率不同。（1） 從從粒子性粒子性方面解釋方面解釋 電子束電子束狹縫狹縫電子的單縫衍射電子的單縫衍射 電子密集處，波的強度大；電子稀疏處，電子密集處，波的強度大；電子稀疏處，波的強度小波的強度小.（2） 從從波動性波動性方面解釋方面解釋 電子束電子束狹縫狹縫電子的單縫衍射電子的單縫衍射 在某處德布羅意波的強度與粒子在該處附近在某處德布羅意波的強度與粒子在該處附近出現的概率。出現的概率。（3） 結論結論( (統計解釋統計解釋) ) 1926 年玻恩提出，德布羅意波為年玻恩提出，德布羅意波為概率波。概率波。例例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子彈的子彈3434

23、6.63 102.21 100.01 300mhhPmh 太小了使得太小了使得宏觀物宏觀物體的波長小得體的波長小得難以測難以測量，宏觀物體只表現量，宏觀物體只表現出粒子性出粒子性波粒二象性是普遍的結論波粒二象性是普遍的結論: 宏觀粒子也具有波動性宏觀粒子也具有波動性 m 大大 0或說或說 h 0 0 量子物理過渡到量子物理過渡到經典物理經典物理其波長之短已無法測量其波長之短已無法測量 。 經典粒子可忽略其波動性。經典粒子可忽略其波動性。3.2 不確定關系不確定關系（測不準關系）（測不準關系） 海森堡（海森堡（Heisenberg）在）在1927年從理論上得到：年從理論上得到： 22xPxtE0

24、 xxp/ 2xxph 大部分大部分電子落在電子落在中央明紋中央明紋dx sinppxppxsinxdsinxppxhppxxhpxx又 hpxxsindhp 22xPxtE第第1個式子說明個式子說明:粒子在客觀上不粒子在客觀上不能同時具有確定能同時具有確定的坐標位置的坐標位置 和相和相應的動量應的動量(坐標坐標-動量測不準關系）動量測不準關系）第第2個式子說明個式子說明:粒子在客觀上粒子在客觀上不能同時在確不能同時在確定的時間具有定的時間具有相應確定的能相應確定的能量量（時間（時間-能量能量測不準關系）測不準關系）海森伯（海森伯（1901-1976），量子力學創立），量子力學創立者之一，者之

25、一，1932年諾貝爾物理學獎年諾貝爾物理學獎精確推導精確推導物理意義物理意義 1、測不準關系是粒子波粒二象性的反映、測不準關系是粒子波粒二象性的反映 。在推導公式時在推導公式時 應用了單縫衍射公式和德布羅意公式應用了單縫衍射公式和德布羅意公式 。 2、粒子的位置和動量不能、粒子的位置和動量不能同時同時精確測量精確測量 ，因此粒子的，因此粒子的 經典軌道經典軌道已已沒有意義沒有意義 。 3、測不準關系式可以用來判別對于實物粒子其行為、測不準關系式可以用來判別對于實物粒子其行為究竟應該用經典力學來描寫還是用量子力學來描寫。究竟應該用經典力學來描寫還是用量子力學來描寫。 原子處于激發態的平均壽命一般

26、為原子處于激發態的平均壽命一般為 t=10-8s 于是激發態于是激發態能級的寬度為：能級的寬度為： E th 10 -26 J這說明原子光譜有一定寬度，實驗已經證實這一點。這說明原子光譜有一定寬度，實驗已經證實這一點。 4、對于微觀粒子的、對于微觀粒子的能量能量 E 及它在能態上停留的平均及它在能態上停留的平均時間時間 t 之間也有下面的測不準關系：之間也有下面的測不準關系：htE例例 1、己知、己知 子彈質量子彈質量 m =0.1kg，測得其位置不確，測得其位置不確定量定量 x為為 10 -6 m ，求速率，求速率 v 的不確定量。的不確定量。 解解 由由hpx127101 .01063.6

27、1063.6634smvxmh例例 2、巳知、巳知 電子速度電子速度 v= 300 ms -1，測得動量的不，測得動量的不確定量確定量 p =0.01p，求位置不確定量，求位置不確定量 x。 解解 12831107 . 2300101 . 9smkgmvp132107.20001.0smkgppcmxph4.23234107.21063.6而電子的大小的數量級約為而電子的大小的數量級約為 cm15131010 當普朗克常數當普朗克常數 h 的數量級與被測粒子質量的數量級與被測粒子質量 m 相比微不足道時相比微不足道時，可不考慮測不準關系可不考慮測不準關系，粒子服從，粒子服從經典力學定律；當粒子

28、本身的質量經典力學定律；當粒子本身的質量 m 與與 h 可以相可以相比擬時比擬時，粒子的位置和動量不能同時確定粒子的位置和動量不能同時確定，粒子服，粒子服從量子力學規律。從量子力學規律。結論：結論：例例 3、氦氖激光器發出光的波長、氦氖激光器發出光的波長 =632.8 nm，譜線，譜線寬度寬度 =10 -9 nm，當此光沿，當此光沿 x方向傳播時方向傳播時 ，求它的，求它的x坐標的不確坐標的不確 定量定量 x。 解解 光子具有二象性光子具有二象性 ，由，由 hxp2hxp2xphxkm40018910108.632普朗克常數普朗克常數 h 當當 0h時時 ，則回到經典粒子情況，則回到經典粒子情

29、況 。 h是微觀與是微觀與 宏觀的界碑宏觀的界碑 。 2、微觀粒子物理量量子化的數量級、微觀粒子物理量量子化的數量級 。 1、聯系微觀粒子波粒二象性的橋梁、聯系微觀粒子波粒二象性的橋梁 ； h 的作用的作用 能量子能量子 h愛因斯坦方程愛因斯坦方程 221mvh波粒二象性波粒二象性 hphE,康普頓效應康普頓效應 cos10cmh德布羅意波德布羅意波 mvhph不確定關系不確定關系 hpx（一）波函數（一）波函數微觀粒子具有波粒二象性微觀粒子具有波粒二象性 /,hphE 微觀粒子具有波動性，其運動狀態不能用坐標和微觀粒子具有波動性，其運動狀態不能用坐標和動量來描述，而應該用波函數動量來描述，而

30、應該用波函數 來描寫。來描寫。( , )r t自由粒子自由粒子的波函數的波函數 考慮沿考慮沿x軸正向傳播的頻率為軸正向傳播的頻率為v 、波長為、波長為的平面簡諧波，的平面簡諧波，其波函數可表示為其波函數可表示為 機械波機械波( , )cos2 ()xy x tAvt 考慮到考慮到量子力學（和光學）中一般用量子力學（和光學）中一般用復數形式復數形式表示表示波函波函數數，因而可將機械波的波函數寫成復數形式：，因而可將機械波的波函數寫成復數形式：2()( , )xivty x tAe其實部就是可觀測的波動方程。其實部就是可觀測的波動方程。不受外力場不受外力場作用的粒子作用的粒子2()RexivtAe

31、Re*表示取實部表示取實部自由粒子自由粒子動量和能量為常量動量和能量為常量，且滿足德布羅意關系，且滿足德布羅意關系Evhhp v, 為常量，為常量，因而可視為一個單色平面波。類似于平面簡諧波，因而可視為一個單色平面波。類似于平面簡諧波，其其波函數波函數可表示為：可表示為：2()0( , )eiEtpxhx t 2 ()( , )xivty x tAe 一維空間中自由粒子的波函數一維空間中自由粒子的波函數2()0( , ) e iEtp rhr t ( , , )rr x y z( , , )pp x y z 三維空間中自由粒子的波函數三維空間中自由粒子的波函數)(0)(0),(trkiEtrP

32、ieetr由德布羅意波的統計解釋：由德布羅意波的統計解釋：德布羅意波的德布羅意波的振幅的平方振幅的平方與粒子在該處附近出現的與粒子在該處附近出現的幾率幾率成正比成正比 。 0 xpxihe2xtx,Etihe2振幅函數振幅函數2()0( , )eiEtpxhx t 注意到，注意到，02= (x, t) *(x, t) = |(x, t) |2 *(x, t)是是(x, t) 的共軛復數。的共軛復數。 2( , , , )x y z t概率密度概率密度, 也稱為也稱為概率分布函數概率分布函數，用，用P(x, y, z, t)表示。表示。 則則 t 時刻在點時刻在點(x , y, z)附近附近dV

33、 = dxdydz 體積內發現粒子的體積內發現粒子的概率為概率為 P(x, y, z, t)dV = |(x, y, z, t) |2 dV說明：說明：使用（使用（1）式的前提條件是）式的前提條件是(x, y, z, t) 進行了進行了歸一化歸一化處理。處理。否則，應寫成否則，應寫成P(x, y, z, t) |(x, y, z, t) |2即：即：概率密度與波函數模方成正比概率密度與波函數模方成正比。P(x, y, z, t) =|(x, y, z, t) |2（1） (1) (1) 不可測，無直接物理意義，不可測，無直接物理意義， | | | |2 2才可測，且有物理意義；才可測，且有物理

34、意義； (2) (2) 和和 C 描述描述相同的相同的概率分布概率分布 ( (C是常數是常數) )。經典波函數經典波函數: 可測，有直接物理意義可測，有直接物理意義(2) 和和 C 不同不同物質波波函數：物質波波函數：比較比較1). 波函數的波函數的單值、單值、有限性有限性、連續、連續以上要求稱為以上要求稱為波函數的標準化條件波函數的標準化條件因為，粒子的幾率在任何地方因為，粒子的幾率在任何地方 只能有一個值；只能有一個值； 不可能無限大；不可能無限大； 不可能在某處發生突變。不可能在某處發生突變。 根據波函數統計解釋，在空間任何有限體積元中找到根據波函數統計解釋，在空間任何有限體積元中找到粒

35、子的幾率必須為粒子的幾率必須為單值、有限、連續的單值、有限、連續的。波函數的特點：波函數的特點： = C (C為任意常數為任意常數) 與函數與函數 描述的是描述的是粒子的同一狀態。粒子的同一狀態。 原因：原因：| |2 給出的幾率比給出的幾率比| |2增大了增大了C2倍，但粒子倍，但粒子在在空間各點的幾率分布空間各點的幾率分布并不會變化。并不會變化。 對經典波而言，則振幅放大對經典波而言，則振幅放大C倍后，強度就增大了倍后，強度就增大了C2倍，倍，因而成為完全不同的另一種波動狀態。因而成為完全不同的另一種波動狀態。 由于由于 和和C 描述同一狀態，因而描述同一狀態，因而C可任意選擇。為方可任意

36、選擇。為方便，便，采用統一的波函數描述粒子的同一狀態采用統一的波函數描述粒子的同一狀態是比較好的。是比較好的。為什么要歸一化？為什么要歸一化？2). 波函數的歸一性波函數的歸一性粒子必定要在空間中的某一點出現，所以任意時刻，在整粒子必定要在空間中的某一點出現，所以任意時刻，在整個空間發現粒子的總幾率應是個空間發現粒子的總幾率應是1，即，即2|1VdV將歸一化條件寫成重積分的形式：將歸一化條件寫成重積分的形式：2, , ,1x y z tdxdydz 歸一化條件歸一化條件2, ,1x y tdxdy 2,1x tdx 三維空間三維空間 二維空間二維空間 一維空間一維空間若若 23dArrA1/

37、A歸一化因子歸一化因子電子雙縫干涉實驗電子雙縫干涉實驗電子的狀態用波函數電子的狀態用波函數 描述描述只開上縫時只開上縫時 電子有一定的幾率通過上縫電子有一定的幾率通過上縫 其狀態用其狀態用 1 描述描述只開下縫時只開下縫時 電子有一定的幾率通過下縫電子有一定的幾率通過下縫其狀態用其狀態用 2描述描述 用電子雙縫干涉實驗說明幾率波的含義用電子雙縫干涉實驗說明幾率波的含義雙縫齊開時雙縫齊開時電子可通過上縫電子可通過上縫 也可通過下縫也可通過下縫通過上通過上 、下縫各有一定的幾、下縫各有一定的幾 率率總幾率振幅總幾率振幅121222121212|P總幾率密度總幾率密度22121221 干涉項干涉項出

38、現出現干涉干涉19331933年與狄拉年與狄拉克分享諾獎克分享諾獎 應該明確，薛定諤方程是應該明確，薛定諤方程是量子力學量子力學的最基本方程，也的最基本方程，也是量子力學的一個是量子力學的一個基本假設基本假設。我們并不能從一個更基本的。我們并不能從一個更基本的假設來推導或證明它，其正確性只能靠實踐來檢驗。假設來推導或證明它，其正確性只能靠實踐來檢驗。1、一維一維運動運動自由粒子自由粒子含含 t 的薛方程的薛方程 設質量為設質量為 m、動量為、動量為 p、能量為、能量為 E的自由粒子沿的自由粒子沿 x軸運動軸運動 ，其，其波函數為波函數為 ： xtx,Etihe2(1)0 xpxihe2(2)將

39、將 (1)式對式對 x 取二階偏導數取二階偏導數 ，有，有 ex2=ph222e（3）因為因為代入上兩式得到：代入上兩式得到：Ek = P2 /2m ,xh222m=2hiteeee將將 (1)式對式對 t 取一階偏導數取一階偏導數 ，有，有 一維一維運動運動自由粒子自由粒子含時間含時間 t 的薛方程的薛方程 xtx,Etihe2(1)eet=ihE（4）ex2=ph222e（3）這是這是勢場中勢場中一維一維運動粒子的一般薛定諤方程運動粒子的一般薛定諤方程將（將（3）和（）和（4）式代入，得）式代入，得2、一維一維運動運動勢場勢場中中含含 t 的薛方程的薛方程 則：則：VmPE22如果粒子在勢

40、場中運動，則粒子的能量為：如果粒子在勢場中運動，則粒子的能量為：VmPE22tiVxm2222-對于在勢場中作三維運動粒子薛定諤方程為：對于在勢場中作三維運動粒子薛定諤方程為：3、三維三維運動運動勢場勢場中含中含 t 的薛方程的薛方程 一般薛方程一般薛方程 令：令：2稱稱為拉普拉斯算符，引入算符后薛定諤方為拉普拉斯算符，引入算符后薛定諤方程可表示為：程可表示為：2222222zyxtiVzyxm）（22222222-tiVm222-則有：則有：tihH一般薛方程一般薛方程),(222tzyxVmhH令：令：哈密頓算符哈密頓算符titzyxVm),(2-22EVm222-)()(),(tftrr

41、2( )( )( )2rrrVEm波函數具有形式（定態波函數）波函數具有形式（定態波函數）:/)(),(iEtetrr Ux 無限深勢阱無限深勢阱 （infinite potential well）例例1 1 一維無限深勢阱中運動粒子的能量和波函數一維無限深勢阱中運動粒子的能量和波函數在勢阱內在勢阱內: :受力為零受力為零, ,自由運動自由運動, ,勢能為零勢能為零在勢阱外在勢阱外: :勢勢能為無窮大能為無窮大0,0( ),0,xaV xxxa在勢阱內在勢阱內(0 x0，令，令/2222mEkmkE或方程化為方程化為0222kdxd它類似于諧振方程它類似于諧振方程, ,其一般解是其一般解是式中

42、式中A和和B為待定常數。在勢阱外為待定常數。在勢阱外(x0，xa)由于勢壁無限高，由于勢壁無限高，從物理上考慮，粒子是不會出現在該區域內的。按照從物理上考慮，粒子是不會出現在該區域內的。按照波函數的波函數的標準條件標準條件(連續性條件連續性條件)，阱壁上和阱外的波函數應為零。，阱壁上和阱外的波函數應為零。( )sincosxAKxBKx0A0sinKanKa 3 , 2 , 1n0n，( ？)( )sinnxAxa。 ax ( )sin0aAKa0 x(0)cos00B0B( )0 x0n( )sincosxAKxBKx228hmEk aA2122aA22201sinandxAxdxa2sin

43、( )0nxxaaaxxax, 00 能量是量子化的能量是量子化的 最低能量不為零最低能量不為零n 趨于無窮時趨于無窮時 能量趨于連續能量趨于連續22mEank)3 , 2 , 1(2282nnEmahn一維無限深方勢阱中粒子的波函數和幾率密度一維無限深方勢阱中粒子的波函數和幾率密度 x4 x3 x2 x1 )(x o4E3E2E1Ea 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa21 2a 323a 24a 例、粒子在一維矩形無限深勢阱中運動，其波函數為例、粒子在一維矩形無限深勢阱中運動，其波函數為 xxanansin2( 0 x a )若粒子處于若粒子處于n=1的狀

44、態，的狀態，求：在求：在0 a /4 區間發現該粒子的幾率區間發現該粒子的幾率解：解： 幾率密度幾率密度axnaxxnnn2sin2)()(*2當當 n=1時，粒子在時，粒子在0 a /4 區間發現該粒子的幾率：區間發現該粒子的幾率：422sin22sin412140402402axnaxnaaannaadxaxnadxaxnaxxnnn2sin2)()(*23.5 一一. 氫原子的定態薛定諤方程氫原子的定態薛定諤方程氫原子中電子的電勢能氫原子中電子的電勢能 204 eUr U和方向無關，為中心力場和方向無關，為中心力場U( r ) 22( )2( )( )U rrErm xyz）r電子電子原

45、子核原子核x = rsin cos cosz =ry = rsin sin( r：電子到核的距離電子到核的距離）球坐標系球坐標系球坐標球坐標的的定態定態薛定諤方程薛定諤方程222222222011()(sin)sin12()0sin4rrrrrmeErr 用分離變量法解此方程，設解為：用分離變量法解此方程，設解為：代入方程分別得三個微分方程：代入方程分別得三個微分方程：（1）（3）（2）0222lmdtd0sin) 1()(sinsin122lmlldddd02) 1(42)(12202222RmrllreEmdrdRrdrdr, ,()( ) ( ) ( )rR r 4122013.6eV2

46、 4( )meE 主量子數主量子數主量子數主量子數 n 和能量有關和能量有關 n = 1 ，2 ，3 ，41222201()8nEmeEnhn 二二 、三個量子數、三個量子數 1、能量量子化和主量子數、能量量子化和主量子數 求解波函數的徑向部分方程求解波函數的徑向部分方程(3) ，得到，得到 這說明角動量只能取由這說明角動量只能取由l 決定的一系列分立值，即角動量決定的一系列分立值，即角動量也是量子化的。也是量子化的。 稱稱l 為副量子數，或角量子數為副量子數，或角量子數 。2、角動量量子化和角量子數、角動量量子化和角量子數 求解波函數的角函數方程求解波函數的角函數方程(2)和徑向方程和徑向方

47、程 (3) ，得到，得到 1Ll l0,1,2,() 1ln角量子數角量子數 l決定電子的軌道角動量決定電子的軌道角動量 的大小的大小 L3. 角動量的空間量子化和磁量子數角動量的空間量子化和磁量子數 解方程得出電子的軌道角動量在解方程得出電子的軌道角動量在Z方向的分量是方向的分量是磁量子數磁量子數ml 決定軌道角動量在決定軌道角動量在Z Z方向投影方向投影zlLm0,1,2,lml對同一個對同一個 l 角動量角動量Z方向分量可能有方向分量可能有 2l+1個不同值個不同值l = 2 2, 0 Lz對對 z 軸旋轉對稱軸旋轉對稱例例：Lz02 2 z0,1,2 lm zlLm6 L角動量大小為角

48、動量大小為2(21)6 L Z方向分量有方向分量有5種取值種取值磁量子數有磁量子數有5種取值種取值即角動量在即角動量在z 軸上僅能軸上僅能取分立的取分立的5種取值種取值晶體中電子狀態與能帶晶體中電子狀態與能帶 自由電子自由電子孤立原子中的電子孤立原子中的電子晶體中的電子晶體中的電子不受任何電荷作用不受任何電荷作用 （勢場為零）（勢場為零）本身原子核及其他本身原子核及其他 電子的作用電子的作用嚴格周期性勢場嚴格周期性勢場（周期排列的原子核（周期排列的原子核勢場及大量電子的平勢場及大量電子的平均勢場）均勢場）按量子力學計算的結果，原子中的電子并不是沿著一定軌按量子力學計算的結果，原子中的電子并不是

49、沿著一定軌道運動，而是按一定的幾率分布在原子核周圍而被發現，道運動，而是按一定的幾率分布在原子核周圍而被發現，人們形象地將這個幾率分布叫做人們形象地將這個幾率分布叫做“幾率云幾率云”。有時還將電。有時還將電子電荷在原子內的幾率分布子電荷在原子內的幾率分布 稱為稱為“電子云電子云”。因。因此只要給出氫原子定態波函數此只要給出氫原子定態波函數 的具體形式，的具體形式，就可計算在此狀態下的就可計算在此狀態下的幾率云密度幾率云密度。2e( , , )nlmr P137量子力學與玻爾理論對氫原子處理的分析比較量子力學與玻爾理論對氫原子處理的分析比較1）理論出發點不同）理論出發點不同玻爾理論從實驗上得到玻

50、爾理論從實驗上得到的的原子的線狀光譜和原原子的線狀光譜和原子的穩定性子的穩定性出發出發量子力學則量子力學則從實物粒子從實物粒子的波粒二象性的波粒二象性出發出發這些實驗事實都反映了微觀體系的性這些實驗事實都反映了微觀體系的性質，但物質的二象性更反映微觀體系質，但物質的二象性更反映微觀體系的本質的本質2）處理問題的方式不同）處理問題的方式不同玻爾理論雖然由實驗事實玻爾理論雖然由實驗事實看出了微觀規律與宏觀規看出了微觀規律與宏觀規律有區別，但仍采用了經律有區別，但仍采用了經典理論，而為了同實驗事典理論，而為了同實驗事實一致才機械地加入了量實一致才機械地加入了量子化條件。子化條件。量子力學采用解動力學

51、量子力學采用解動力學方程的方法，用波函數方程的方法，用波函數描述體系的狀態。描述體系的狀態。The endThe end最外層電子數最外層電子數是決定是決定元素化學性質元素化學性質的重要依據。的重要依據。如果是如果是主族元素主族元素，則主族數，則主族數=最外層電子數（最外層電子數（He除外）除外） 最外最外層電子數少于層電子數少于3個，個，如如堿金屬、堿土金屬元素堿金屬、堿土金屬元素，容易失去最容易失去最外層電子外層電子，達到最外層，達到最外層8個電子的穩定結構，使得它有個電子的穩定結構，使得它有很強很強金屬性與還原性金屬性與還原性。 最外層電子數多于最外層電子數多于5個個，如鹵族、氧族元素，

52、容易如鹵族、氧族元素，容易得到電子得到電子達到最外層達到最外層8個電子的穩定結構，使得它個電子的穩定結構，使得它有很強非金屬性與有很強非金屬性與氧化性氧化性。 當原子電子層當原子電子層最外層電子為最外層電子為4時時，如碳族，如碳族，既易失去最外層既易失去最外層電子，又易得到電子電子，又易得到電子，所以，所以與別的原子以共價鍵化合與別的原子以共價鍵化合。 當當原子電子層最外層電子為原子電子層最外層電子為8時時，如稀有氣體，已經達到穩，如稀有氣體，已經達到穩定結構，所以幾乎不與別的元素化合。定結構，所以幾乎不與別的元素化合。返回返回t =x/ vx 這里這里vx 是散射前粒子的速度是散射前粒子的速度。由粒子的能量由粒子的能量E=px2/2m ，粒子能量的不確定量為粒子能量的不確定量為 E = v x p x設電子沿設電子沿 x 方向運動，由于粒子在方向運動，由于粒子在x 方向的位置有一個不確方向的位置有一個不確定量，用光照射的辦法確定其位置時，發生散射的時間也就定量，用光照射的辦法確定其位置時，發生散射的時間