1、計算機科學與工程系計算機科學與工程系本章要點：1.科學計算的意義： 數值計算方法的研究對象、基本內容和特點數值計算方法的研究對象、基本內容和特點2.誤差基礎知識： 討論誤差的基本理論討論誤差的基本理論3.數值計算中應注意的幾個問題： 數值算法設計的原則數值算法設計的原則計算機科學與工程系計算機科學與工程系用計算機解決科學計算問題的過程用計算機解決科學計算問題的過程：實際問題實際問題數學模型數學模型數值計算方法數值計算方法（應用數學）（應用數學）（計算數學）（計算數學）程序設計程序設計上機計算求解上機計算求解 是用計算機求解各種數學問題的是用計算機求解各種數學問題的數值方法的設計、分析及相關數學

2、理論與軟件實現，是數值方法的設計、分析及相關數學理論與軟件實現，是數學的一個重要分支，也稱為數值方法、數值分析。數學的一個重要分支，也稱為數值方法、數值分析。 數值計算的基本內容：數值計算的基本內容：計算機科學與工程系計算機科學與工程系數值計算的數值計算的特點特點： 面向計算機面向計算機，根據計算機的特點提供切實可行的有，根據計算機的特點提供切實可行的有效算法；（加、減、乘、除、邏輯）效算法；（加、減、乘、除、邏輯） 有可靠的理論分析有可靠的理論分析，能任意逼近并達到精度要求，能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證對近似算法要保證和和，并進行，并進行； 需要有需要有好的計算復雜性好的計算復

3、雜性（時間和空間的計算量要適（時間和空間的計算量要適當）；當）； 需要進行需要進行數值試驗數值試驗，以證明算法是行之有效的。，以證明算法是行之有效的。計算機科學與工程系計算機科學與工程系（1 1）模型誤差）模型誤差(Model Error)(Model Error)誤差來源：誤差來源：（2 2）觀測誤差（測量誤差）觀測誤差（測量誤差,Observation Error,Observation Error）（3 3）截斷誤差（方法誤差）截斷誤差（方法誤差,Method Error),Method Error)（4 4）舍入誤差）舍入誤差(Round-off Error)(Round-off Er

4、ror)【注注】 數值分析中主要關心數值分析中主要關心截斷誤差截斷誤差和和舍入誤差舍入誤差。舍入誤差舍入誤差數學問題數學問題程序設計程序設計上機計算求解上機計算求解數學模型數學模型數值計算方法數值計算方法（應用數學）（應用數學）（計算數學）（計算數學）模型誤差模型誤差截斷誤差截斷誤差觀測誤差觀測誤差計算機科學與工程系計算機科學與工程系例例1 1由由TaylorTaylor公式公式求求 ex 的近似值。的近似值。12)!1(!21nxnxxnenxxxe取取n項近似項近似: :!212nxxxenx1)!1(nxxne截斷誤差截斷誤差:計算機科學與工程系計算機科學與工程系例例2 2用用0.333

5、30.3333近似代替近似代替1/3.1/3.誤差誤差:1/3-0.3333=0.000033.:1/3-0.3333=0.000033.計算機浮點數系：計算機浮點數系：其中其中 為整數。為整數。0,1,2,9(1,2,3,),iaic十進制浮點數：十進制浮點數：其中其中 0,1,2,1(1,2,3,).iai進制浮點數：進制浮點數：123100.cxa a a 1230.cxa a a 計算機科學與工程系計算機科學與工程系其中其中 是正整數，是計算是正整數，是計算機的機的字長，字長，c為整數，稱為為整數，稱為階碼階碼，滿足，滿足LcU, L和和U為固定整數，為固定整數，對不同的計算機，對不同

6、的計算機，t, L, U是不同的。是不同的。 稱為稱為尾數。尾數。0,1,2,1(1,2,3, ),iait t1230.ta a aa若若 稱稱 x 為為規格化浮點數規格化浮點數。10,a 計算機中，由于存儲位數的限制，一般實數表示為計算機中，由于存儲位數的限制，一般實數表示為1230.ctxa a aa 計算機科學與工程系計算機科學與工程系稱這樣一些數的全體稱這樣一些數的全體為為機器數系機器數系。通常，。通常，1 2( , , , )0.0,1,2,1(1,2, ),ctiFt LUaaa ait L c U 2,8,10,16.機器數系機器數系F是離散的有限實數集，分布不均勻。是離散的有

7、限實數集，分布不均勻。 中，最大數為中，最大數為 ,最小數為最小數為 .(10,4, 99,99)F若一個非零實數的絕對值大于若一個非零實數的絕對值大于M，則計算機產生，則計算機產生上溢錯誤上溢錯誤，若絕對值小于若絕對值小于m，則產生，則產生下溢錯誤下溢錯誤，統稱為，統稱為溢出錯誤溢出錯誤。99100.9999M 99100.0001m計算機科學與工程系計算機科學與工程系上溢時，計算機將此數視為無窮大，中斷程序處理；上溢時，計算機將此數視為無窮大，中斷程序處理；下溢時，計算機將此數視為零，繼續執行程序。下溢時，計算機將此數視為零，繼續執行程序。計算機的計算歸結為加減運算，兩個浮點數相加減，小數

8、會計算機的計算歸結為加減運算，兩個浮點數相加減，小數會向大數向大數對階對階，這時小數可能會，這時小數可能會溢出溢出，例如在四位浮點機上，例如在四位浮點機上103（0.8961）+10-3（0.4688） 103（0.8961）+103（0.0000）004688 103（0.8961）計算機科學與工程系計算機科學與工程系誤差的概念：誤差的概念：一、絕對誤差一、絕對誤差定義：定義：設設x為準確值，為準確值， x*為為x的近似值，稱的近似值，稱 為為x*的的絕對誤差絕對誤差(absolute error)，簡稱，簡稱誤差誤差(error).*exx定義：定義：稱根據測量工具或計算情況可以估計出的絕

9、對誤差的稱根據測量工具或計算情況可以估計出的絕對誤差的上界上界 為為x*的的絕對誤差限（界）絕對誤差限（界）或或誤差限（界）誤差限（界）(limit of error), 即即 或或*| | |exx*,.xxxxx【注注】絕對誤差（或誤差限）不能充分說明近似數的絕對誤差（或誤差限）不能充分說明近似數的精確程度。精確程度。計算機科學與工程系計算機科學與工程系問題：問題：測量測量100m跑道的長度和測跑道的長度和測量一個人的身高，若它們的絕對量一個人的身高，若它們的絕對誤差都是誤差都是1cm，那么哪一個更準，那么哪一個更準確呢？確呢？計算機科學與工程系計算機科學與工程系定義：定義：稱絕對誤差與精

10、確值的比值為稱絕對誤差與精確值的比值為相對誤差相對誤差(relative error)即：即： , 記為記為定義：定義：如果存在正數如果存在正數 使使則稱正數則稱正數 為為 x 的的相對誤差限。相對誤差限。*,rrxxeexx,rr.reex*xxx注：注：實際計算時，取實際計算時，取*.rx二、相對誤差二、相對誤差計算機科學與工程系計算機科學與工程系例例3 3解：解：計算機科學與工程系計算機科學與工程系例例4 4解：解：計算機科學與工程系計算機科學與工程系 計算機只能處理有限位字長的數，對字長較長的數要作計算機只能處理有限位字長的數，對字長較長的數要作舍入處理，以得到一個有限字長的近似數。舍

11、入處理，以得到一個有限字長的近似數。 常用常用四舍五入法四舍五入法得到數得到數x的前幾位近似值的前幾位近似值 x*, 例如例如3.1415926,x取三位得取三位得 *3.14,x 取五位得取五位得 *3.1416,x 0.00220.5 1040.5 100.00001計算機科學與工程系計算機科學與工程系定義定義：設近似數設近似數 , m為整數，如果為整數，如果則稱近似數則稱近似數 有有n位有效數字位有效數字，其中每，其中每 一位數字一位數字 都都是是 的的有效數字有效數字，也稱，也稱 為為有有n位有效數字的近似數位有效數字的近似數或或有效數有效數。*1| | |10,2m nexx三、有效

12、數字三、有效數字*110.10 (0)mnxaaa 12,na aa定義：設定義：設 為準確值，為準確值， 為為 的一個近似值，如果的一個近似值，如果 的的誤差的絕對值不超過它的某一數位的半個單位，并且從誤差的絕對值不超過它的某一數位的半個單位，并且從 左起第一個非零數字到該數位共有左起第一個非零數字到該數位共有n n位，則稱這位，則稱這n n個數字個數字為為 的有限數字。的有限數字。計算機科學與工程系計算機科學與工程系例例5 若下列近似數的絕對誤差限都是若下列近似數的絕對誤差限都是0.0005，它們，它們各種具有幾位有限數字？各種具有幾位有限數字？（1） ；（；（2） ； （3） ;(4)【

13、注注】 近似數的有效數字不但給出了近似值的大小近似數的有效數字不但給出了近似值的大小, , 而且還指出了它的絕對誤差限。而且還指出了它的絕對誤差限。解：因為解：因為 是小數點后第三位是小數點后第三位的半個單位，的半個單位， 所以所以 有有6 6位有效數字；位有效數字； 有有3 3位位有效數字；有效數字； 有有1 1位有限數字；位有限數字； 沒有有效數字沒有有效數字. .計算機科學與工程系計算機科學與工程系四、有效數字與相對誤差的關系四、有效數字與相對誤差的關系 近似值的近似值的有效數字有效數字與與相對誤差相對誤差密切相關。密切相關。反之亦然。反之亦然。 有效數字的位數是有效數字的位數是n，相對

14、誤差約為相對誤差約為10-n , 設設x的近似數為的近似數為或或證明證明則則x*的相對誤差限為的相對誤差限為 如果如果x*具有具有n位有效數字，位有效數字，*(1)111510102nnrxxxaa110.10(0.0.1) 10mmaxa111110(1) 10mmaxa【定理定理1 1】*110.10 (0)mnxaaa 計算機科學與工程系計算機科學與工程系*(1)111111151010102102m nnnrmxxxaaa的相對誤差的相對誤差【注】【注】 的的有效數字有效數字位數位數越多越多， 的相對誤差的相對誤差越小越小。也可以從也可以從 的的相對誤差限相對誤差限估計估計 有效數字的

15、位數。有效數字的位數。*x*x*x*x*x計算機科學與工程系計算機科學與工程系解解例例6：要使要使 的近似數的相對誤差限的近似數的相對誤差限 要取幾位有效數要取幾位有效數字？字？200.1%,設取設取n位有效數字，位有效數字，1204.40.4410 ,由題意得由題意得11100.1%,8nr 解得解得104lg8,n 故只要取故只要取 n=4位有效數字，可滿足要求，即位有效數字，可滿足要求，即 14,1.am由定理由定理1知知111102nra 由于由于204.472.計算機科學與工程系計算機科學與工程系解解例例7：已知數已知數 如果要求它的絕對誤差限如果要求它的絕對誤差限 那么它應該至少有

16、幾位有效數字？那么它應該至少有幾位有效數字？1.2345,a 0.00083,設有設有n位有效數字，則有位有效數字，則有1| | 0.5 100.5 100.00083,m nne因為因為30.5 100.00050.00083,所以所以13,n 解得解得 n=4.計算機科學與工程系計算機科學與工程系思考：思考： 相對誤差限與絕對誤差限并不唯一，但我相對誤差限與絕對誤差限并不唯一，但我們總希望找到們總希望找到 的誤差限；的誤差限； 為了方便取有效數，可以把絕對誤差限放為了方便取有效數，可以把絕對誤差限放大為大為 的形式；的形式；盡量小且方便描述盡量小且方便描述0.510m-n計算機科學與工程系

17、計算機科學與工程系 對于一個算法，如果輸入數據有誤差對于一個算法，如果輸入數據有誤差,而在計算過程中而在計算過程中舍入舍入誤差誤差不增長，則稱此算法是不增長，則稱此算法是穩定穩定的；否則的；否則,稱為稱為不穩定不穩定的。的。定義：定義： 由基本運算和運算順序的規則所構成的完整的解題步驟由基本運算和運算順序的規則所構成的完整的解題步驟稱為稱為算法算法（Algorithm）計算機科學與工程系計算機科學與工程系一、避免兩相近的數相減一、避免兩相近的數相減例例8 8計算計算只有只有一位一位有效數字有效數字 利用三角恒等式利用三角恒等式 具有具有三位三位有效數字有效數字2cos12sin2cos12xx

18、 0006. 09994. 012cos1000613. 01sin22cos12改進方法：改進方法：增加字長增加字長或或改變公式改變公式，例如：，例如：11()1xxxxx很大計算機科學與工程系計算機科學與工程系二、注意簡化計算步驟，減少運算次數二、注意簡化計算步驟，減少運算次數計算多項式計算多項式例例9 9(1)(1)若直接計算若直接計算 ak xk 再逐項相加再逐項相加 (2)(2)秦九韶秦九韶算法算法 乘法：乘法：加法：加法：n加法：加法：n次次0111)(axaxaxaxPnnnnn2) 1(12) 1(nnnn011)()(axaxaxaxPnnn的值。的值。乘法：乘法：n次次計算

19、機科學與工程系計算機科學與工程系三、三、避免分子的絕對值遠遠大于分母的絕對值的除法如果如果 和和 分別是準確值分別是準確值 和和 的近似值，則的近似值，則 是是 的近似值，此時的近似值，此時 的絕對誤差滿足的絕對誤差滿足改進方法：改進方法：多取幾位有效數字多取幾位有效數字或或改變公式改變公式計算機科學與工程系計算機科學與工程系四、兩數相加要防止大數四、兩數相加要防止大數“吃吃”掉小數掉小數由于計算機的位數有限，當參加數值計算的兩個數的量由于計算機的位數有限，當參加數值計算的兩個數的量級相差很大時，如果不主要運算次序，就有可能出現絕級相差很大時，如果不主要運算次序，就有可能出現絕對值很小的數在加

20、減運算中被絕對值較大的數對值很小的數在加減運算中被絕對值較大的數“吃掉吃掉”的現象，嚴重影響計算結果的可靠性。的現象，嚴重影響計算結果的可靠性。改進方法：改進方法： 增加字長；增加字長； 多個數相加減時，應按照絕對值從小到大的順序計算。多個數相加減時，應按照絕對值從小到大的順序計算。計算機科學與工程系計算機科學與工程系小結：小結：避免誤差危害的若干原則避免誤差危害的若干原則 避免兩個相近的數相減，可通過多取幾位有效數字或避免兩個相近的數相減，可通過多取幾位有效數字或改變公式來解決；改變公式來解決； 注意簡化計算步驟，減少運算次數注意簡化計算步驟，減少運算次數 避免分子的絕對值遠遠大于分母的絕對

21、值的除法避免分子的絕對值遠遠大于分母的絕對值的除法 避免大數避免大數“吃吃”小數，多個數相加減時，按照絕對值小數，多個數相加減時，按照絕對值從小到大的順序進行。從小到大的順序進行。作作 業業P34：習題一：習題一：1、3計算機科學與工程系計算機科學與工程系習題：習題：(1)(1)若其近似值取若其近似值取6 6位有效數字，則該近似值是多位有效數字，則該近似值是多少？其絕對誤差限是多少？少？其絕對誤差限是多少？(2)(2)若精確到小數點后若精確到小數點后4 4位，則該近似值是多少？位，則該近似值是多少？其絕對誤差限是多少？其絕對誤差限是多少？(3)(3)若其近似值的絕對誤差限為若其近似值的絕對誤差限為 ，則，則該近似值有哪幾個有效數字？該近似值有哪幾個有效數字？計算機科學與工程系計算機科學與工程系答案：答案：(1)2.71828;0.00000183(1)2.71828;0.00000183(2)2.7183;0.000018