1、利用回歸方法進行建模時，各回歸元都是經濟變量，它們多數都是非平穩的時序過程。這與經典假設中各回歸元都是平穩的前提條件相矛盾。所以在非平穩時序建模時，一定要進行協整分析，即在避免產生偽回歸現象的同時，尋找非平穩現象間的長期均衡。一、偽回歸與協整回歸二、協整回歸方程的建立與檢驗三、長期均衡與誤差修正模型非平穩時序的長期均衡分析一、偽回歸與協整回歸 偽回歸的含義及后果偽回歸的含義在回歸模型中有一個重要的基本假設，就各變量都是平穩的，而在非平穩的時序間建立回歸模型，很可能將本來與被解釋變量沒有因果關系的現象納入到回歸方程的解釋變量中，且通過t檢驗認為是顯著的，這種情況就是偽回歸。它是由格蘭杰Grang

2、er和紐博爾德Newbold在1974年提出的，對其理論解釋與完善是由菲利浦斯Phillips在1986年完成的。Granger和Newbold所做的實驗是將回歸方程：Yt01Xtt的數據由隨機游走系統生成如下：Xt = Xt-1 + ut , X0 = 0, ut IN(0, 1)Yt = Yt-1 + vt , Y0 = 0, vt IN(0, 1)其中：E(ui vj) = 0， i, j表示ui和vj服從相互獨立的標準正態分布，由此可知Xt和Yt為相互獨立的I(1)變量。我們知道基于兩個獨立的隨機游走變量建立的回歸方程，應該是毫無意義的，即它們所體現的任何關系都具有欺騙性。更令人驚奇的

3、是在5%的顯著性水平上，有近 75% 的可能性會拒絕1=0的原假設。且回歸的R2值通常很大，其殘差也呈現出高度的自相關性。這一點可以通過如下試驗來證實：利用計算機反復生成樣本容量為T=100的兩個時序X和Y各10000次，并對每次生成的序列相應作如下一元線性回歸：Yt = b0 + b1Xt + et 計算t(b1)的值，進而可以得到1萬個t(b1)值的分布見下圖，同時給出了自由度為98的t分布曲線。三條試驗分布曲線疊加示意圖t(98)分布和虛假回歸條件下的t分布圖通過上圖中的兩條曲線可以看出t(b1)分布的方差遠遠大于正常t分布的方差。當時間序列非平穩時，若仍然使用t檢驗，則拒絕1=0的概率

4、大大增加。此外上述條件下，隨著樣本容量T，t(b1)的分布將是發散的，所以拒絕1= 0的概率將會越來越大，從而將不相關的現象視為因果關系而建立了回歸模型，即造成了虛假回歸問題。 偽回歸的后果偽回歸的后果在違背古典回歸分析的平穩前提時，如果仍然使用最小二乘回歸方法建立模型，則易產生偽回歸現象，其后果如下： 回歸的殘差e將不平穩，回歸沒有任何意義； 由于殘差序列含有隨機趨勢，使任何殘差都不會衰減，以至于模型中的離差是永久的，而具有永久性離差的經濟模型是不妥當的，不能進行預測等任何用處。 當殘差序列非平穩時，由于方差會變得無窮大，使自相關系數趨近于1。所以，任何 t檢驗、F檢驗和R2等統計檢驗都是不

5、可信的。 Phillips在1986年證明了，即使在大樣本的情況下，由于Y是I(1)過程，而殘差e也是I(1)過程，即誤差具有單位根，若采用OLS法仍然可以得到 10 的錯誤結論。 協整與長期均衡 協整協整【協整(co-integration)的定義】假定(n1)階向量Y的每個分量序列都是d階單整過程，即YiI(d)。如果存在(n1)階向量，使得線性組合序列YI(d-b)，則我們稱Yi的各分量之間是d、b階協整的，并簡記為YCI(d,b)；其中向量就叫協整向量，中的元素叫做協整參數。在現實的經濟變量中協整關系表明，變量間存在著長期的平衡關系，這是EngleGranger(1987)提出的，對協

6、整理解的概念。 協整舉例：協整舉例：若Xt I(d)，Yt I(c)，則有：Zt = (a Xt + bYt) I (maxd, c) 因為：Zt=(aXt+bYt)=(aXt+bYt)-(aXt-1+bYt-1)=(aXt+bYt)所以當 c d 時，Zt只有差分c次才能平穩。一般來說，若Xt I (c)，Yt I (c)，則：Zt = (aXt + bYt) I (c) 而當Zt的單整階數小于c的情形時，往往是Xt與Yt之間存在協整關系。均衡指現象在其內在機制作用下達到的相對穩定的一種平穩狀態，即當系統受到干擾后會偏離均衡點，而內在均衡機制將努力使系統重新回到均衡狀態，如市場中看不見的手作

7、用下的價格機制等。協整關系是對非平穩經濟變量長期均衡關系的統計描述。即現象間的內在均衡機制的存在狀態：如果經濟變量X和Y之間永遠處于均衡狀態，則對該均衡的描繪誤差將永遠為零；如果因某因素的干擾使系統偏離了均衡點，則會表現為誤差非零；而平均來說系統將在下一時期開始逐漸移回到均衡狀態。均衡均衡 我們將非隨機性的干擾產生的作用看作是均衡的結果，而將隨機性干擾產生的偏差叫做非均衡誤差，其作用是逐期衰減的。這同時也說明一個具有均衡機制的系統中，均衡機制能夠始終維持系統不斷的排除非均衡誤差的干擾，使經濟系統保持相對均衡的狀態。而具有這種機制的經濟系統我們可以稱之為經濟的協整系統。協整系統協整回歸古典回歸分

8、析的前提條件是各回歸元是平穩的，而非平穩的各回歸元，只有在協整系統中才是有效的。對協整回歸的觀察可以分為如下兩個情況：各回歸元是同階單整時，例如：Y, XCI(1,1)，即XI(1)，YI(1)。則在一元線性回歸關系中，協整向量為：=(1,-b)；這時只有e=Y-bXI(0)，才能說明該回歸模型是有效的，如果殘差e不平穩，則回歸沒意義。 協整系統與回歸的關系 如果多個變量間的單整階數不等，則回歸關系的成立需要有分階協整關系的存在。如在兩個解釋變量的回歸模型YbX中；X1I(2)，X2I(2)，YI(1)；要想使回歸有效，就必須使：u= Y,XI(0)成立，而其成立的條件就是X的協整階數為1，即

9、：X=X1,X2CI(2,1)這說明Xb1X1+b2X2I(1)；同時還要有：Y,XCI(1,1)成立，即uY-b1X1-b2X2I(0)。這時的協整向量為：=(1,-b1,-b2)協整回歸的特性協整回歸的特性對非平穩變量進行回歸，如果協整關系存在，則該回歸方程為協整回歸方程，它將具備如下特征：第一，殘差系列的平穩性，是最基本的特征要求；第二，殘差系列符合基本假設仍然是必備的條件；第三，Stock (1987) 年證明了：如果該長期均衡存在，即存在協整回歸時，則協整系數bi將是超一致的估計量，即協整回歸的OLS 估計量要比一般平穩變量OLS估計量收斂得更快。對非平穩時序進行回歸時，如果協整關系

10、不存在，則其結果就是偽回歸，它多出現在如下幾類情況下：第一，各回歸元非平穩，且其各自的單整階數不等的時候；第二，回歸的殘差時序中，仍然包含著明顯的隨機性趨勢的時候；第三，當各回歸元中有的變量存在確定趨勢，而有的變量同時存在隨機性趨勢的時候。偽回歸及其可能的情況偽回歸及其可能的情況二、協整回歸方程的建立與檢驗對經濟系統是否存在協整關系的判斷就是協整檢驗，其檢驗方法大致上可以分為如下兩類：一類是基于回歸系數進行的檢驗，將在多方程模型中介紹和使用；另一類是通過回歸方程的建立過程，結合對其殘差平穩性的檢驗所進行的一系列檢驗方法。這是單方程協整性檢驗的規范內容，具體分為如下三個主要環節。在進行變量間協整

11、性檢驗時，首先要使用DF、ADF、PP等方法對經濟變量的單整階數做初步判斷，并注意如下幾個方面的情況： 一元回歸對變量單整階數的要求在雙變量的回歸模型中，由于只含有一個解釋變量和一個被解釋變量，則其間的單整階數應該相同。例如Y與X都是I(d)的時候，才有可能CI(d,d)存在； 對經濟變量間均衡可能性的判斷對經濟變量間均衡可能性的判斷 一元回歸對變量單整階數的要求多元回歸模型對變量單整階數的要求在多元回歸模型中，各變量的的單整階數可以是不同的。但是是符合的基本要求有如下幾點：被解釋變量的單整階數不能高于任意一個解釋變量的單整階數；解釋變量的單整階數高于被解釋變量時，最高階的解釋變量個數必須有兩

12、個及以上；變量間存在著多重協整的可能。即當YI(N), XiI(K),XjI(K)時，只要KN，X=(XiXj)CI(K,K-N)；則協整回歸可能為：Y=f(X)CI(N,N)。多元回歸模型對變量單整階數的要求格蘭杰對因果關系的判斷格蘭杰因果關系檢驗(Granger test of causality)的基本方法是利用變量X和Y建立如下兩個方程：Yt = 0 + iYt-i + jXt-jXt = 0 + kXt-k + lYt-l對上述兩個方程各參數的整體顯著性進行結束與無約束的F檢驗，可以得到如下四個方面的結論：X對Y有單向影響：表現為Y方程中的X各滯后項的參數整體不為零，而X方程中的Y各

13、滯后項的參數整體為零；格蘭杰對因果關系的判斷 Y對X有單向影響：表現為X方程中的Y各滯后項的參數整體不為零，而Y方程中的X各滯后項的參數整體為零； Y與X間存在雙向影響：表現為Y和X的各滯后項的參數都整體不為零； Y與X間不存在影響：表現為Y和X的各滯后項的參數都整體為零。這里的檢驗對滯后期長度很敏感，所有要對不同的滯后期進行選擇，以殘差無自相關為準。對長期均衡方程的估計對長期均衡方程的估計在對各變量的單整階數進行判斷的基礎上，再通過因果關系的初步分析，求得可能存在協整關系的變量，并就變量間的回歸模型進行OLS估計。在回歸估計的基礎上，可以求得非均衡誤差i的估計值和協整參數的估計值，即殘差ei

14、和各參數估計值 b0 , b1 ,bk等，以用于進一步的協整檢驗。 對殘差項進行平穩性檢驗對殘差項進行平穩性檢驗因經濟時序數列只有存在協整關系時，才能使非均衡誤差平穩，所以為了確定變量間是否真正存在協整關系，還要通過對非均衡誤差的平穩性檢驗，來進一步確認經濟變量間是否存在協整的關系。初步的經驗判斷初步的經驗判斷對非均衡誤差(即模型的殘差)進行平穩性檢驗時，可以采用DW、DF、ADF、PP等很多方法進行檢驗。經驗判斷。即在估計回歸方程后，如果存在較低的DW統計量與較高的R2，則可能存在偽回歸。DW檢驗方法。這是對殘差是否為隨機游走的判斷，即H0：DW=0；若e為隨機游走，則DW接近于0，反之存在

15、協整關系。Sargan和Bhargana最早編制了用于檢驗協整的DW顯著性水平臨界值表，如相對于1%、5%、10%各顯著性水平的DW臨界值分別為：0.511、0.386、0.322。如果DW值大于臨界值時否定原假設，認為回歸是協整的。 Engle 和 Granger 在1987年提出的EG檢驗，是協整檢驗的最常規方法，其檢驗的基本模型有如下兩類：一是EG檢驗的模型：即利用如下回歸方程式：et=et-1+t 或 D(et) = et-1 + t二是增廣的EG檢驗模型，即AEG檢驗式為：D(et) = et-1 + ki=1iD(et-i) + t因為在原回歸模型中一般都加載了截距項和趨勢項，所以

16、在殘差et 序列的檢驗模型中就沒有必要再加載截距項和趨勢項了。具體的檢驗步驟如下： 精確的精確的EG和和AEG檢驗法檢驗法H0： = -1= 0，即殘差模型是隨機游走的非平穩過程。如果我們不能拒絕原假設，則說明存在單位根，由此認為被解釋變量Y與解釋變量Z陣不是協整關系。如果能夠拒絕原假設，則意味著殘差是平穩的，若 Y 和 Z 都是 I(d) 的，則 Y 與 Z 是 CI(d.d)。檢驗時的原假設檢驗時的原假設由于OLS估計是使殘差平方和最小，協整回歸OLS估計所產生的殘差序列很容易是平穩序列。由于協整時的估計量是超一致的，所以殘差的方差也可能極小，這將導致殘差序列的平穩，進而使檢驗中拒絕原假設

17、的比率比實際情況要大。因此以殘差et為基礎的EG或AEG檢驗的臨界值條件要比DF或ADF檢驗的臨界值條件更加苛刻(即更負一些)，才能敏感的拒絕零假設，反映出在非長期均衡的回歸過程中，被破壞了的真實的誤差屬性。檢驗統計量的分布及其臨界值檢驗統計量的分布及其臨界值可見協整性檢驗所依據的分布不應該是正態分布或t分布，也不能是DF分布，即對其檢驗時所用的臨界值是不能借助 t 或DF的。為此，兩位學者利用蒙特卡羅模擬，其結果顯示協整檢驗的臨界值與協整回歸式中的非平穩變量的個數有關，即隨著單整變量個數的增多，臨界值將更向左移動。具體成果是：Engle和Granger給出了兩個變量，樣本容量為100的EG和

18、AEG檢驗的臨界值表；Engle和姚(Engle & yoo,1987)給出了25個變量，不同樣本容量的EG和AEG臨界值表； 麥金農(Mackinnon，1991)將協整與單整檢驗結合起來，即把 ADF 和 AEG 結合起來，給出了響應面函數的臨界值表，見附表所示。根據臨界值表可計算協整檢驗的臨界值，其計算公式為：C 1T-1 2T-2其中：表示檢驗水平，T為樣本容量，表中的N為協整回歸式中的變量個數，即當N=1時AEG檢驗將是ADF 單整檢驗，當N1時是AEG協整檢驗；其他各項內容都在Mackinnon提供的臨界值表中(見附頁)。協整關系的判斷協整關系的判斷首先，在殘差序列非平穩假設前提下

19、，計算其檢驗統計量EG，其計算方法與t或DF統計量相同；然后，根據麥金農(Mackinnon)的臨界值計算方法求得檢驗臨界值C；最后，判斷如下：當EG C 時，不能否定原假設，認為是偽回歸；當EG C 時，否定原假設，認為模型的變量間存在協整關系。協整向量的多樣性在雙變量的協整關系分析中，如果協整關系存在，則其變量必是同階單整的，且協整關系的唯一的；在多變量的協整關系分析中，如果協整關系存在，則可能不止一個。例如：在X、Y、Z、W四個變量之間有如下協整關系：u = X-0-1Z I(0)；v = Y-0-1W I(0)則u與v的線性綜合u+v=也將是一種協整關系。即：= X-0-1Z + Y-

20、0-1W I(0)由此可知，下式也將是協整關系式： = Y - 0 - 1X - 2Z - 3W I(0)誤差修正一詞最早由Sargen(1964)提出的，但是誤差修正模型是1978年由大衛德森Davidson、亨格瑞Hendry、斯巴Srba和耶Yeo四人提出的，因此又簡稱為DHSY模型。設協整變量Y與X之間的長期均衡關系為Ytf(Xt)，它常表現為靜態的均衡關系。但是由于非均衡的干擾的作用，往往使這種關系產生非均衡的偏差，而長期的均衡機制又會在動態上對此偏差進行修正。將該修正過程以模型的形式反映就是誤差修正模型(Error correction model)。 建模前提在現實的回歸分析過程

21、中，多數非平穩變量的線性組合都不是協整的，只有少數情況下才存在協整關系。根據格蘭杰定理(1987)，具有協整關系的單整變量之間一定可以建立起誤差修正模型ECM。一般情況下：如果單整變量間不是協整的，則經差分變換后其經濟意義合理，可以建立差分后的經典回歸模型。如果單整變量間是協整的，則用差分轉換就不恰當了，往往違反經濟理論和靜態均衡等事實，這時要建立誤差修正模型。建立誤差修正模型的主要方法有兩種：EG兩步法；及從一般到特殊的建模方法。EG兩步法EG兩步法是在EG或AEG協整檢驗的基礎上，分為如下兩步進行誤差修正模型ECM的建立：第一步，進行協整回歸，估計長期均衡關系：Yf = BX并獲得其殘差序列為：et=Yt-Yft = Y-BX 建立誤差修正模型的方法EG兩步法第二步，估計誤差修正模型。直接利用協整變量長期均衡的殘差來估計誤差修正模型。基本形式為：Yt = Xt + (Yt-1 - BXt-1) + vt可運用OLS估計參數、，檢驗過程中要注意：ECt-1=Yt-1-BXt-1為誤差修正項，屬于最大滯后期；若vt出現自相關，可以通過增加Y、X的滯后期來消除；若增加了Y、X的滯后項，則要同時調整模型中誤差修正項的滯后期，如：Yt = 1 Xt + Yt-1 + (Yt-2 - BXt-2) + vt從一般到特殊的建模方法這是亨德里(Hendry)提