1、作 業2.11 p,q:0 r,s:1 (p (q r) (r s)(p r) ( q s)( p q r) (p q r)( p q r s) (p q r s)12.2 命題邏輯等值演算2.2.1 等值式與等值演算等值式與等值演算等值式與基本等值式等值式與基本等值式真值表法與等值演算法真值表法與等值演算法2.2.2 聯結詞完備集聯結詞完備集真值函數真值函數聯結詞完備集聯結詞完備集與非聯結詞和或非聯結詞與非聯結詞和或非聯結詞2等值式3定義定義2.11 若等價式若等價式AB是重言式是重言式, 則稱則稱A與與B等值等值, 記作記作AB, 并稱并稱AB是是等值式等值式說明說明: (1) 是是元語言

2、符號元語言符號, 不要混同于不要混同于和和=(2) A與與B等值當且僅當等值當且僅當A與與B在所有可能賦值下的真值都相在所有可能賦值下的真值都相同同, 即即A與與B有相同的真值表有相同的真值表(3) n個命題變項的真值表共有個命題變項的真值表共有 個個, 故每個命題公式都有故每個命題公式都有無窮多個等值的命題公式無窮多個等值的命題公式(4) 可能有啞元出現可能有啞元出現. 在在B中出現中出現, 但不在但不在A中出現的命題變中出現的命題變項稱作項稱作A的的啞元啞元. 同樣同樣,在在A中出現中出現, 但不在但不在B中出現的命題變中出現的命題變項稱作項稱作B的啞元的啞元. 啞元的值不影響命題公式的真

3、值啞元的值不影響命題公式的真值.n22真值表法例例1 判斷判斷 (p q) 與與 p q 是否等值是否等值解解4結論結論: (p q) ( p q) p q p q p q (p q) p q (p q)( p q) 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1真值表法(續)例例2 判斷下述判斷下述3個公式之間的等值關系個公式之間的等值關系: p(qr), (pq)r, (p q)r解解5 p q r p(qr) (pq)r (p q)r 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0

4、 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 p(qr)與與(p q)r等值等值, 但與但與(pq)r不等值不等值基本等值式雙重否定律雙重否定律 AA冪等律冪等律 A AA, A AA交換律交換律 A BB A, A BB A結合律結合律 (A B) CA (B C) (A B) CA (B C)分配律分配律 A (B C)(A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)德摩根律德摩根律 (A B)AB (A B)AB吸收律吸收律 A (A B)A, A (A B)A6基本等值式(續)零律零律 A 11, A

5、 00 同一律同一律 A 0A, A 1A排中律排中律 AA1矛盾律矛盾律 AA0蘊涵等值式蘊涵等值式 ABA B等價等值式等價等值式 AB(AB) (BA)假言易位假言易位 ABBA等價否定等值式等價否定等值式 ABAB歸謬論歸謬論 (AB) (AB) A7等值演算等值演算等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的過程由已知的等值式推演出新的等值式的過程置換規則置換規則: 若若AB, 則則 (B) (A) 例例3 證明證明 p(qr) (p q)rp49,例例2.12(1)證證 p(qr) p ( q r) （蘊涵等值式）蘊涵等值式） ( pq) r （結合律）結合律） (p q) r （

6、德摩根律）德摩根律） (p q) r （蘊涵等值式）蘊涵等值式）8實例9等值演算不能直接證明兩個公式不等值等值演算不能直接證明兩個公式不等值. 證明兩個公式不證明兩個公式不等值的基本思想是找到一個賦值使一個成真等值的基本思想是找到一個賦值使一個成真, 另一個成假另一個成假.例例4 證明證明: p(qr) (pq) r p52方法一方法一 真值表法（見例真值表法（見例2）方法二方法二 觀察法觀察法. 容易看出容易看出000使左邊成真使左邊成真, 使右邊成假使右邊成假.方法三方法三 先用等值演算化簡公式先用等值演算化簡公式, 再觀察再觀察.實例例例5 用等值演算法判斷下列公式的類型用等值演算法判斷

7、下列公式的類型(1) q(pq) 解解 q(pq) q( p q) （蘊涵等值式）蘊涵等值式） q (pq) （德摩根律）德摩根律） p (qq) （交換律，結合律）交換律，結合律） p 0 （矛盾律）矛盾律） 0 （零律）（零律）該式為矛盾式該式為矛盾式.10實例(續)(2) (pq)( qp) 解解 (pq)( qp) ( p q)(qp) （蘊涵等值式）蘊涵等值式） ( p q)( p q) （交換律）交換律） 1該式為重言式該式為重言式.11實例(續)(3) (p q) (pq) r) 解解 (p q) (pq) r) (p (qq) r （分配律）分配律） p 1 r （排中律）排中

8、律） p r （同一律）同一律）非重言式的可滿足式非重言式的可滿足式. .如如101是它的成真賦值是它的成真賦值, ,000是它的是它的成假賦值成假賦值.12總結總結:A為矛盾式當且僅當為矛盾式當且僅當A0; A為重言式當且僅當為重言式當且僅當A1說明說明:演算步驟不惟一演算步驟不惟一, ,應盡量使演算短些應盡量使演算短些真值函數定義定義2.12 稱稱F:0,1n0,1為為n元元真值函數真值函數13n元真值函數共有元真值函數共有 個個每一個命題公式對應于一個真值函數每一個命題公式對應于一個真值函數每一個真值函數對應無窮多個命題公式每一個真值函數對應無窮多個命題公式n221元真值函數元真值函數

9、p 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 )1(3)1(2)1(1)1(0FFFF142元真值函數元真值函數 p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 p q 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1)2(7)2(6)2(5)2(4)2(3)2(2)2(1)2(0FFFFFFFF)2(15)2(14)2(13)2(12)2(11)2(10)2(9)2(

10、8FFFFFFFF聯結詞完備集定義定義2.13 設設S是一個聯結詞集合是一個聯結詞集合, 如果任何如果任何n(n 1) 元真值元真值函數都可以由僅含函數都可以由僅含S中的聯結詞構成的公式表示中的聯結詞構成的公式表示, ,則稱則稱S是是聯結詞完備集聯結詞完備集定理定理2.1 下述聯結詞集合都是完備集下述聯結詞集合都是完備集:(1) S1= , , , , (2) S2= , , , (3) S3= , , (4) S4= , (5) S5= , (6) S6= , 15AB (AB) (BA)AB A BA B (A B) ( AB)A B ( AB)A B ( A) B AB復合聯結詞與非式與

11、非式: p q(p q), 稱作稱作與非聯結詞與非聯結詞或非式或非式: p q(p q), 稱作稱作或非聯結詞或非聯結詞p q為真當且僅當為真當且僅當p,q不同時為真不同時為真p q為真當且僅當為真當且僅當p,q同時為假同時為假定理定理2.2 , 是聯結詞完備集是聯結詞完備集證證 p (p p) p p p q (p q) (p q) (p q) (p q)得證得證 是聯結詞完備集是聯結詞完備集. 對于對于 可類似證明可類似證明.162.3 范式2.3.1 析取范式與合取范式析取范式與合取范式簡單析取式與簡單合取式簡單析取式與簡單合取式析取范式與合取范式析取范式與合取范式2.3.2 主析取范式

12、與主合取范式主析取范式與主合取范式極小項與極大項極小項與極大項主析取范式與主合取范式主析取范式與主合取范式主范式的用途主范式的用途17簡單析取式與簡單合取式文字文字: :命題變項及其否定的統稱命題變項及其否定的統稱簡單析取式簡單析取式: :有限個文字構成的析取式有限個文字構成的析取式如如 p, q, pq, p q r, 簡單合取式簡單合取式: :有限個文字構成的合取式有限個文字構成的合取式如如 p, q, pq, p q r, 定理定理2.3 (1) 一個簡單析取式是重言式當且僅當它同時含一個簡單析取式是重言式當且僅當它同時含某個命題變項和它的否定某個命題變項和它的否定(2) 一個簡單合取式

13、是矛盾式當且僅當它同時含某個命題一個簡單合取式是矛盾式當且僅當它同時含某個命題變項和它的否定變項和它的否定18析取范式與合取范式析取范式析取范式: :由有限個簡單合取式組成的析取式由有限個簡單合取式組成的析取式 A1 A2Ar, 其中其中A1,A2,Ar是是簡單合取式簡單合取式合取范式合取范式: :由有限個簡單析取式組成的合取式由有限個簡單析取式組成的合取式 A1 A2Ar , 其中其中A1,A2,Ar是是簡單析取式簡單析取式范式范式: :析取范式與合取范式的統稱析取范式與合取范式的統稱 定理定理2.4 (1) 一個析取范式是矛盾式當且僅當它的每一個一個析取范式是矛盾式當且僅當它的每一個簡單合

14、取式都是矛盾式簡單合取式都是矛盾式(2) 一個合取范式是重言式當且僅當它的每一個簡單析取一個合取范式是重言式當且僅當它的每一個簡單析取式都是重言式式都是重言式19范式存在定理定理定理2.5 任何命題公式都存在著與之等值的析取范式與合任何命題公式都存在著與之等值的析取范式與合取范式取范式. .證證 求公求公式式A的范式的步驟：的范式的步驟：(1) 消去消去A中的中的, ABA B AB( A B) (AB)(2) 否定聯結詞否定聯結詞 的內移或消去的內移或消去 A A (A B)AB (A B)AB20范式存在定理(續)(3) 使用分配律使用分配律 A (B C)(A B) (A C) 求合取范

15、式求合取范式 A (B C) (A B) (A C) 求析取范式求析取范式例例1 1 求求 (pq)r 的析取范式與合取范式的析取范式與合取范式解解 (pq)r ( p q)r (pq)r 析取范式析取范式 (pr) ( qr) 合取范式合取范式注意注意: 公式的析取范式與合取范式不惟一公式的析取范式與合取范式不惟一.21極小項與極大項定義定義2.17 在含有在含有n個命題變項的簡單合取式個命題變項的簡單合取式( (簡單析取式簡單析取式) )中中, ,若每個命題變項均以文字的形式出現且僅出現一次，若每個命題變項均以文字的形式出現且僅出現一次，而且第而且第i( (1 i n) )個文字個文字(

16、(按下標或字母順序排列按下標或字母順序排列) )出現在左出現在左起第起第i位上位上, ,稱這樣的簡單合取式稱這樣的簡單合取式( (簡單析取式簡單析取式) )為為極小項極小項( (極大項極大項) )說明說明: :(1) n個命題變項產生個命題變項產生2n個極小項和個極小項和2n個極大項個極大項(2) 2n個極小項個極小項( (極大項極大項) )均互不等值均互不等值(3) 用用mi表示第表示第i個極小項個極小項, ,其中其中i是該極小項成真賦值的十是該極小項成真賦值的十進制表示進制表示. 用用Mi表示第表示第i個極大項個極大項, ,其中其中i是該極大項成假賦是該極大項成假賦值的十進制表示值的十進制

17、表示, mi( (Mi) )稱為極小項稱為極小項( (極大項極大項) )的名稱的名稱. 22極小項與極大項(續)定理定理2.6 設設mi 與與Mi是由同一組命題變項形成的極小項和極是由同一組命題變項形成的極小項和極大項大項, 則則 mi Mi , Mi mi23 極小項極小項 極大項極大項 公式公式 成真賦值成真賦值 名稱名稱 公式公式 成假賦值成假賦值 名稱名稱 pq 0 0 m0 p q 0 0 M0 p q 0 1 m1 pq 0 1 M1 pq 1 0 m2 p q 1 0 M2 p q 1 1 m3 pq 1 1 M3 p,q形成的極小項與極大項形成的極小項與極大項主析取范式與主合取

18、范式主析取范式主析取范式: :由極小項構成的析取范式由極小項構成的析取范式主合取范式主合取范式: :由極大項構成的合取范式由極大項構成的合取范式例如，例如，n=3, 命題變項為命題變項為p, q, r時，時， ( pq r) ( p q r) m1 m3 是是主析取范式主析取范式 (p qr) ( p qr) M1 M5 是是主合取范式主合取范式定理定理2.7 任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式和任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式和主合取范式主合取范式, 并且是惟一的并且是惟一的. .24求主析取范式的步驟設公式設公式A含命題變項含命題變項p1,p2,pn(1) 求求A的析取范式的

19、析取范式A =B1 B2 Bs, 其中其中Bj是簡單合取是簡單合取式式 j=1,2, ,s (2) 若某個若某個Bj既不含既不含pi, 又不含又不含 pi, 則將則將Bj展開成展開成 Bj Bj (pipi) (Bj pi) (Bjpi)重復這個過程重復這個過程, 直到所有簡單合取式都是長度為直到所有簡單合取式都是長度為n的極小的極小項為止項為止(3) 消去重復出現的極小項消去重復出現的極小項, 即用即用mi代替代替mi mi(4) 將極小項按下標從小到大排列將極小項按下標從小到大排列25求主合取范式的步驟設公式設公式A含命題變項含命題變項p1,p2,pn(1) 求求A的合取范式的合取范式A

20、=B1 B2 Bs, 其中其中Bj是簡單析取是簡單析取式式 j=1,2, ,s (2) 若某個若某個Bj既不含既不含pi, 又不含又不含 pi, 則將則將Bj展開成展開成 Bj Bj (pipi) (Bj pi) (Bjpi)重復這個過程重復這個過程, 直到所有簡單析取式都是長度為直到所有簡單析取式都是長度為n的極大的極大項為止項為止(3) 消去重復出現的極大項消去重復出現的極大項, 即用即用Mi代替代替Mi Mi(4) 將極大項按下標從小到大排列將極大項按下標從小到大排列26實例例例1(1(續續) ) 求求 (pq)r 的主析取范式與主合取范式的主析取范式與主合取范式解解 (1) (1) (

21、pq)r (pq)r pq (pq) 1 同一律同一律 (pq) ( r r) 排中律排中律 (pqr) (pq r) 分配律分配律 m4 m5 r ( p p) ( q q)r 同一律同一律, 排中律排中律 ( pqr) ( p qr) (pqr) (p qr) m0 m2 m4 m6 分配律分配律得得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6可記作可記作 (0,2,4,5,6)27實例(續)(2) (pq)r (pr) ( qr) pr p 0r 同一律同一律 p (qq)r 矛盾律矛盾律 (p qr) (pqr) 分配律分配律 M1 M3 qr (pp)qr 同一律同一律, 矛盾律矛盾律

22、 (pqr) ( pqr) 分配律分配律 M3 M7得得 (pq)r M1 M3 M7可記作可記作 (1,3,7)28快速求法設公式含有設公式含有n個命題變項個命題變項, 則則長度為長度為k的簡單合取式可展開成的簡單合取式可展開成2n-k個極小項的析取個極小項的析取例如例如 公式含公式含p,q,r q ( p qr) ( p q r) (p qr) (p q r) m2 m3 m6 m7長度為長度為k的簡單析取式可展開成的簡單析取式可展開成2n-k個極大項的合取個極大項的合取例如例如 pr (p qr) (pqr) M1 M329實例例例2 (1) 求求 A ( p q) ( pq r) r的

23、主析取范式的主析取范式解解 用快速求法用快速求法(1) p q ( p qr) ( p q r) m2 m3 pq r m1 r ( pq r) ( p q r) (pq r) (p q r) m1 m3 m5 m7得得 A m1 m2 m3 m5 m7 (1,2,3,5,7)30實例(續)(2) 求求 B p (p qr)的主合取范式的主合取范式解解 p ( p q r) ( p qr) ( pq r) ( pqr) M4 M5 M6 M7 p qr M1得得 B M1 M4 M5 M6 M7 (1,4,5,6,7)31主析取范式的用途(1) 求公式的成真賦值和成假賦值求公式的成真賦值和成假

24、賦值設公式設公式A含含n個命題變項個命題變項, A的主析取范式有的主析取范式有s個極小項個極小項, 則則A有有s個成真賦值個成真賦值, 它們是極小項下標的二進制表示它們是極小項下標的二進制表示, 其余其余2n-s個賦值都是成假賦值個賦值都是成假賦值 例如例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真賦值成真賦值: 000,010,100,101,110; 成假賦值成假賦值: 001,011,11132主析取范式的用途(續)(2) 判斷公式的類型判斷公式的類型 設設A含含n個命題變項，則個命題變項，則 A為重言式當且僅當為重言式當且僅當A的主析取范式含的主析取范式含2n個極小項個極小項A為

25、矛盾式當且僅當為矛盾式當且僅當 A的主析取范式不含任何極小項的主析取范式不含任何極小項, ,記作記作0 A為可滿足式當且僅當為可滿足式當且僅當A的主析取范式中至少含一個極小項的主析取范式中至少含一個極小項33實例例例3 用主析取范式判斷公式的類型用主析取范式判斷公式的類型:(1) A (pq) q (2) B p(p q) (3) C (p q)r解解 (1) A ( p q) q ( pq) q 0 矛盾式矛盾式(2) B p (p q) 1 m0 m1 m2 m3 重言式重言式(3) C (p q) r ( pq) r ( pq r) ( pqr) ( pq r) ( p q r) (pq

26、 r) (p q r) m0 m1 m3 m5 m7 非重言式的可滿足式非重言式的可滿足式34主析取范式的用途(續)(3) 判斷兩個公式是否等值判斷兩個公式是否等值例例4 用主析取范式判斷下面用主析取范式判斷下面2組公式是否等值組公式是否等值:(1) p與與( p q)(p q)解解 p p ( q q) (pq) (p q) m2 m3 ( p q)(p q) ( p q) (p q) (pq) (p q) m2 m3故故 p ( p q)(p q)35實例(續)36(2) (p q) r 與與 p (q r)解解 (p q) r (p qr) (p q r) ( pq r) ( p q r) (pq r) (p q r) m1 m