1、第5練如何讓“線性規劃”不失分題型分析·高考展望“線性規劃”是高考每年必考的內容，主要以選擇題、填空題的形式考查，題目難度大多數為低、中檔，在填空題中出現時難度稍高.二輪復習中，要注重常考題型的反復訓練，注意研究新題型的變化點，爭取在該題目上做到不誤時，不丟分.體驗高考1.(2015·天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數zx6y的最大值為()A.3 B.4 C.18 D.40答案C解析畫出約束條件的可行域如圖中陰影部分，作直線l：x6y0，平移直線l可知，直線l過點A時，目標函數zx6y取得最大值，易得A(0，3)，所以zmax06×318，選C.2.(201

2、5·陜西)某企業生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A3212B128A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元答案D解析設甲，乙的產量分別為x噸，y噸，由已知可得目標函數z3x4y，線性約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示：可得目標函數在點A處取到最大值.由得A(2，3).則zmax3×24×318(萬元).3.(2016·山東)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A.4 B.9

3、 C.10 D.12答案C解析滿足條件的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)，x2y2是可行域上動點(x，y)到原點(0，0)距離的平方，顯然，當x3，y1時，x2y2取最大值，最大值為10.故選C.4.(2016·浙江)若平面區域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A. B. C. D.答案B解析已知不等式組所表示的平面區域如圖所示的陰影部分，由解得A(1，2)，由解得B(2，1).由題意可知，當斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小，即|AB|.5.(2015·課標全國)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_.答案解析畫出

4、約束條件表示的可行域如圖中陰影部分(ABC)所示：作直線l0：xy0，平移l0到過點A的直線l時，可使直線yxz在y軸上的截距最大，即z最大，解得即A，故z最大1.高考必會題型題型一已知約束條件，求目標函數的最值例1(2016·北京)若x，y滿足則2xy的最大值為()A.0 B.3 C.4 D.5答案C解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.令z2xy，則y2xz，作直線2xy0并平移，當直線過點A時，截距最大，即z取得最大值，由得所以A點坐標為(1，2)，可得2xy的最大值為2×124.點評(1)確定平面區域的方法：“直線定界，特殊點定域”.(2)線性目標函數在線性可

5、行域中的最值，一般在可行域的頂點處取得，故可先求出可行域的頂點，然后代入比較目標函數的取值即可確定最值.變式訓練1已知實數x，y滿足則z|4x4y3|的取值范圍是()A.，15) B.，15 C.，5) D.(5，15)答案A解析根據題意畫出不等式所表示的可行域，如圖所示，z|4x4y3|×4表示的幾何意義是可行域內的點(x，y)到直線4x4y30的距離的4倍，結合圖象易知點A(2，1)，B(，)到直線4x4y30的距離分別為最大和最小，此時z分別取得最大值15與最小值，故z，15)，故選A.題型二解決參數問題例2已知變量x，y滿足約束條件若x2y5恒成立，則實數a的取值范圍為()A

6、.(，1 B.1，)C.1，1 D.1，1)答案C解析由題意作出不等式組所表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，則x2y5恒成立可轉化為圖中的陰影部分在直線x2y5的上方，由得由得則實數a的取值范圍為1，1.點評所求參數一般為對應直線的系數，最優解的取得可能在某點，也可能是可行域邊界上的所有點，要根據情況利用數形結合進行確定，有時還需分類討論.變式訓練2(2015·山東)已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a等于()A.3 B.2 C.2 D.3答案B解析不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，易知A(2，0)，由得B(1，1).由zaxy，得yaxz.當a2或a3時，z

7、axy在O(0，0)處取得最大值，最大值為zmax0，不滿足題意，排除C，D選項；當a2或3時，zaxy在A(2，0)處取得最大值，2a4，a2，排除A，故選B.題型三簡單線性規劃的綜合應用例3(1)(2016·浙江)在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影.由區域 中的點在直線xy20上的投影構成的線段記為AB，則|AB|等于()A.2 B.4 C.3 D.6(2)(2016·課標全國乙)某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材

8、料0.3 kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2 100元，生產一件產品B的利潤為900元.該企業現有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為_元.答案(1)C(2)216 000解析(1)已知不等式組表示的平面區域如圖中PMQ所示.因為l與直線xy0平行.所以區域內的點在直線xy2上的投影構成線段AB，則|AB|PQ|.由解得P(1，1)，由解得Q(2，2).所以|AB|PQ|3.(2)設生產A產品x件，B產品y件，根據所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為目標函數z2 100x900y.作出可行域為

9、圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)處取得最大值，zmax2 100×60900×100216 000(元).點評若變量的約束條件形成一個區域，如圓、三角形、帶狀圖形等，都可考慮用線性規劃的方法解決，解決問題的途徑是：集中變量的約束條件得到不等式組，畫出可行域，確定變量的取值范圍，解決具體問題.變式訓練3設點P(x，y)是不等式組所表示的平面區域內的任意一點，向量m(1，1)，n(2，1)，點O是坐標原點，若向量mn(，R)，則的取值范圍是()A.， B.6，2C.1， D.4，答案B解析畫出不等式組所

10、表示的可行域，如圖中陰影部分所示.由題意，可得(x，y)(1，1)(2，1)(2，)，故令z2(2)3()2x3y，變形得yx.當直線yx過點A(1，0)時，z取得最大值，且zmax2；當直線yx過點B(3，0)時，z取得最小值，且zmin6.故選B.高考題型精練1.(2015·安徽)已知x，y滿足約束條件則z2xy的最大值是()A.1 B.2 C.5 D.1答案A解析約束條件下的可行域如圖所示，由z2xy可知y2xz，當直線y2xz過點A(1，1)時，截距最大，此時z最大為1，故選A.2.(2016·四川)設p：實數x，y滿足(x1)2(y1)22，q：實數x，y滿足則p

11、是q的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析如圖，(x1)2(y1)22表示圓心為(1，1)，半徑為的圓內區域所有點(包括邊界)；表示ABC內部區域所有點(包括邊界).實數x，y滿足則必然滿足，反之不成立.則p是q的必要不充分條件.故選A.3.在平面直角坐標系中，點P是由不等式組所確定的平面區域內的動點，Q是直線2xy0上任意一點，O為坐標原點，則|的最小值為()A. B. C. D.1答案A解析在直線2xy0上取一點Q，使得，則|，其中P，B分別為點P，A在直線2xy0上的投影，如圖.因為|，因此|min，故選A.4.已知圓C：(xa)2(yb

12、)21，平面區域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為()A.5 B.29 C.37 D.49答案C解析由已知得平面區域為MNP內部及邊界.圓C與x軸相切，b1.顯然當圓心C位于直線y1與xy70的交點(6，1)處時，amax6.a2b2的最大值為621237.故選C.5.設x，y滿足約束條件若目標函數zaxby(a0，b0)的最大值為4，則ab的取值范圍是()A.(0，4) B.(0，4C.4，) D.(4，)答案B解析作出不等式組表示的區域如圖中陰影部分所示，由圖可知，zaxby(a0，b0)過點A(1，1)時取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0，4，故選B.6.已

13、知變量x，y滿足約束條件若zx2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2kx10在區間(b，a)上有兩個不同實數解，則實數k的取值范圍是()A.(6，2) B.(3，2)C.(，2) D.(，3)答案C解析作出可行域，如圖所示，則目標函數zx2y在點(1，0)處取得最大值1，在點(1，1)處取得最小值3，a1，b3，從而可知方程x2kx10在區間(3，1)上有兩個不同實數解.令f(x)x2kx1，則k2，故選C.7.已知實數x，y滿足若目標函數z2xy的最大值與最小值的差為2，則實數m的值為()A.4 B.3 C.2 D.答案C解析表示的可行域如圖中陰影部分所示.將直線l0：2xy0向上平移

14、至過點A，B時，z2xy分別取得最小值與最大值.由得A(m1，m)，由得B(4m，m)，所以zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以zmaxzmin8m(3m2)2，解得m2.8.設關于x，y的不等式組表示的平面區域內存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析當m0時，若平面區域存在，則平面區域內的點在第二象限，平面區域內不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區域.要使可行域內包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m.9.(2

15、016·江蘇)已知實數x，y滿足則x2y2的取值范圍是_.答案解析已知不等式組所表示的平面區域如下圖：x2y2表示原點到可行域內的點的距離的平方.解方程組得A(2，3).由圖可知(x2y2)min2，(x2y2)max|OA|2223213.10.4件A商品與5件B商品的價格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價格之和不大于24，則買3件A商品與9件B商品至少需要_元.答案22解析設1件A商品的價格為x元，1件B商品的價格為y元，買3件A商品與9件B商品需要z元，則z3x9y，其中x，y滿足不等式組作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，其中A(0，4)，B(0，8)，C(，).當yxz經過點C時，目標函數z取得最小值.所以zmin3×9×22.因此當1件A商品的價格為元，1件B商品的價格為元時，可使買3件A商品與9件B商品的費用最少，最少費用為22元.11.給定區域D：令點集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的點，則T中的點共確定_條不同的直線.答案6解析線性區域為圖中陰影部分，取得最小值時點為(0，1)，最大值時點為(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，