1、概率論與數理統計復習提要第一章隨機事件與概率1 .事件的關系AuBA=BABA-BAQ*AB=*2 .運算規則(1)A=B=B=AAB=BA(2) (AB)C=A(B一C)(AB)C=A(BC)(3) (A一B)C=(AC)一(BC)(AB)一C=(A_C)(BC)(4) A_"B=ABAB=A_B3.概率P(A)滿足的三條公理及性質：(1)0<P(A)<1(2)P(Q)=1nn(3)對互不相容的事件A,A2,，An,有P(UAk)=£P(Ak)(口可以取電)k4k4(4)P=0(5)P(可=1P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB),若AuB,則P(B

2、_A)=P(B)_P(A),P(A)<P(B)P(AB);P(A)P(B)-P(AB)(8)P(A一BC)=P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)4 .古典概型：基本事件有限且等可能5 .幾何概率6 .條件概率(1) 定義：若P(B)>0,則P(A|B)=P(AB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B1,B2，Bn為完備事件組，P(Bj)>0,則有n(3) 全概率公式：P(A)=LP(Bi)P(A|Bi)i1(4) Bayes公式：P(Bk|A)='P(Bi)P(A|Bi)1 17.事件的獨立性：A,B獨立u

3、P(AB)=P(A)P(B)(注意獨立性的應用)第二章隨機變量與概率分布1 .離散隨機變量：取有限或可列個值，P(X=x)=Pi滿足(1)Pi>0,(2)zPi=1(3)對任意DuR,P(XwD)=£pii：Xi三D2 .連續隨機變量：具有概率密度函數f(x),滿足(1)f(x)>0,*f(x)dx=1；.一二二b(2)P(aEXWb)=f(x)dx；(3)對任意awR,P(X=a)=0a3.幾個常用隨機變量名稱與記號分布列或爸度數學期望力差兩點分布B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q=1pppq二項式分布B(n,p)P(X=k)=C：pkqn;k=0,1,2，

4、n,npnpqPoisson分布P(九)-kP(X=k)=eJk=0,1,2,k!九九幾何分布G(p)P(X=k)=qk，p,k=1,2,1pq2p均勻分布U(a,b)-1.f(x)=,aExWb,b-aatb2(b二a)F()=0,F(+*)=1;(2)單調非降；(3)右連續；(4)P(a<XMb)=F(b)-F(a),特另IJP(X>a)=1-F(a);(5)對離散隨機變量，F(x)=£Pi；ifax,(6)對連續隨機變量，F(x)=Jf(t)dt為連續函數，且在f(x)連續點上，F(x)=f(x)5.正態分布的概率計算以(x)記標準正態分布N(0,1)的分布函數，則

5、有2x-口、(1)牛(0)=0.5；(2)中(x)=1-6(x)；(3)若XN(匕。),則F(x)=中(一)；12指數分布E(A)f(x)=Xe，,x>01九1TT兒正態分布N(N,仃2)12f(x)-;一e2dJ2n仃2a4.分布函數F(x)=P(X<x),具有以下性質(4)以Ua記標準正態分布N(0,1)的上側a分位數，則P(X>%)=3=13(%)6.隨機變量的函數Y=g(X)(1)離散時，求Y的值，將相同的概率相加；(2)X連續，g(x)在X的取值范圍內嚴格單調，且有一階連續導數，則fY(y)=fx(g,(y)l(g,(y)'l,若不單調，先求分布函數，再求導

6、。第四章隨機變量的數字特征1.期望(1)離散時E(X)=SXiPi,E(g(X)=£g(Xi)pi；(2)連續時E(X)=1xf(x)dx,E(g(X)=*beQg(x)f(x)dx；二維時E(g(X,Y)=£g(x,yj)Pij,E(g(X,Y)=Jg(x,y)f(x,y)dxdy一心工i,j(4)E(C)=C;(5)E(CX)=CE(X);(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y)；(7) X,Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差D(X)=E(XE(X)2=E(X2)-(EX)2,標準差仃(X)=*,D(X);(2) D(C)=0,D(X+C)=D(

7、X)；(3) D(CX)=C2D(X)；(4) X,Y獨立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 .協方差(1) Cov(X,Y)=E(X-E(X)(YE(Y)=E(XY)-E(X)E(Y);(2) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)；(3) Cov(Xi+X2，Y)=Cov(Xi，Y)+Cov(X2,Y);(4) Cov(X,Y)=0時，稱X,Y不相關，獨立二不相關，反之不成立，但正態時等價；(5) D(XY)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y)4 .相關系數Pxy=C0V(X，Y);有|Pxy|<1,|Pxy|=1u三a,b,P(Y=aX+

8、b)=1二(X)二(Y)kk5 .k階原點矩Vk=E(X),k階中心矩叫=E(X-E(X)第五章大數定律與中心極限定理1 .Chebyshev不等式P|X-E(X)巨舒WD或P|X-E(X)|<m士1D2 .大數定律3 .中心極限定理n、Xi-n或N(°”(1)設隨機變量Xi,X2，Xn獨立同分布E(Xi)=tD(Xi)=。n1.nx-XXi,樣本k階中心矩Nk=一£(Xinimnid2.統計量：樣本的函數且不包含任何未知數3.三個常用分布(注意它們的密度函數形狀及分位點定義)(1)72分布X2=X；+X；+X272(n),其中X1,X2，Xn獨立同分布于標準正態分布

9、N(0,1),若X(n)Y/2(n2)且獨立，則X+Y工2(n1+n2)；,則Xio1n.c2.贏N(nN,n。2),或£Xi薪N”一)近似n.口近似n(2)設m是n次獨立重復試驗中A發生的次數，P(A)=p,則對任意x,有limPm72np<x=6(x)或理解為若XB(n,p),則XN(np,npq)T而q近似第六章樣本及抽樣分布1 .總體、樣本(1) 簡單隨機樣本：即獨立同分布于總體的分布(注意樣本分布的求法)(2) 樣本數字特征：,11/一77、H-仃2樣本均值X=-ZXi(E(X)=N,D(X)=);nyn_,_21Jn2樣本方差S=Z(Xi-X)n-1im(E(S2)

10、=。2)樣本標準差1,n-o樣本k階原點矩Vk-X)knlJXiFX.、，2,、（2） t分布t=-=t(n),其中XN(0,1),Y2(n)且獨立;,Y/n（3） F分布F="F（ni,n2）,其中X22（ni）,Y72（出）且獨立，有下面的Y/n211性質f(n2,ni),Fi(ni,n2)=F-F.(n2,ni)4.正態總體的抽樣分布oinoo(i)XN(N,b/n);(2)x(XiN)/(n)；i4(3)(n-i)S72(n_i)且與X獨立；(4)t=XXt(ni);二S/.n廠區一治一科一切/互陋+電通,sJnTSFxg2S.Ein2,nin2-2（6）F=S2竺F（n-In?-i）S2/02第七章參數估計1 .矩估計：（i）根據參數個數求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計2 .極大似然估計：（i）寫出極大似然函數；（2）求對數極大似然函數（3）求導數或偏導數；（4）令導數或偏導數為0,解出極大似然估計（如無解回到（i）直接求最大值，一般為minxi或maxxB）3 .估計量的評選原則