1、第六章第六章 剪切與扭轉剪切與扭轉學習目標學習目標： 熟悉剪切與擠壓桿件的受力和變性特征、剪切虎克定律與剪應力互等定理。 掌握圓軸扭轉時的內力及應力，能進行圓軸扭轉時的強度計算。第一節第一節 剪切與擠壓的概念剪切與擠壓的概念一、剪切一、剪切1、剪切的概念、剪切的概念 兩塊鋼板由一鉚釘連接的簡圖，如圖6-1所示 類似于鉚釘，桿件受到一對大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近并垂直桿軸的外力作用，兩力間的橫截面將沿外力的方向發生相對錯動，這種變形稱為剪切變形。剪切面上與截面相切的內力稱為剪力，如圖6-1（d）所示。 發生相對錯動的截面稱為剪切面。只有一個剪切面的情況為單剪；同時存在兩個剪切面的情

2、況稱為雙剪。2、剪切的計算、剪切的計算v 以圖6-1(a)所示兩鋼板中的鉚釘為研究對象，其受力情況如圖6-3(a)所示。v 首先用截面法求m-m截面的內力，將鉚釘沿m-m截面假想的截開，分為上下兩部分，如圖6-3(b)所示。取其中任一部分為研究對象，根據靜力平衡條件，在剪切面內必有一個與該截面相切的剪力 ，由平衡條件 得： 0XF QF0QFFQFFv 受剪面上的剪力是沿著截面作用的，因此在截面上各點處均引起相應的剪應力。通常剪應力在剪切面上的分布情況比較復雜，為便于工程計算，一般假設剪應力在剪切面上均勻分布，剪應力的計算公式為：v 為剪切面上的剪力；A為受剪面的面積。v 為了保證構件在工作中

3、不發生剪切破壞，必須使構件工作時產生的剪應力，不超過材料的許用剪應力，即：QFAQF QFA二、擠壓二、擠壓 1、擠壓的概念、擠壓的概念 螺栓、鉚釘和銷釘等聯接件，在承受剪切作用發生剪切變形的同時，還在聯接件和被聯接件的接觸面上相互壓緊，這種局部受壓的現象稱為擠壓。如圖6-4所示 作用在擠壓接觸面上的壓力稱為擠壓力。發生局部擠壓的接觸面稱為擠壓面。2、擠壓的計算、擠壓的計算 由擠壓力引起的應力稱為擠壓應力，用 表示 。擠壓應力的計算公式： 為擠壓面上的擠壓力； 為計算擠壓面積 為保證聯結件正常工作，應有足夠的擠壓強度，其強度條件為： bsbsbsbsFAbsFbsAbsbsbsbsFA 第二節

4、第二節 剪應力互等定理與剪切虎克定律剪應力互等定理與剪切虎克定律 一、一、剪應力互等定理剪應力互等定理v 在一薄壁圓筒表面上繪制多條等間距的圓周線和縱向水平線，使其表面形成許多大小相同的矩形網格，如圖6-5（a）所示。然后在該薄壁圓筒的兩端施加一對等值反向的外力偶，使其產生扭轉變形，如圖6-5（b）所示。結果顯示：在小變形情況下，各圓周線的大小和間距沒有變化，只是繞筒軸線作相對轉動；各縱向線仍為直線，但都傾斜了相同的角度，所有矩形都變成了同樣形狀和大小的平行四邊形。v 由實驗現象，可做出以下推斷：由于兩任意圓周線間的距離不變，故圓筒橫截面上沒有正應力存在；因垂直于半徑的小方格發生了相對錯動，所

5、以圓筒橫截面上必然存在剪應力，且其方向垂直于半徑；因圓筒壁很薄，可以認為沿壁厚剪應力及剪應變都是均勻分布的。 在單元體兩個互相垂直的平面上，同時存在垂直于公共棱邊且數值相等的剪應力，其方向均指向或背離兩平面的交線。這種關系稱為剪應力互等定理。 二、剪切胡克定律二、剪切胡克定律 如果單元體上只存在剪應力而無正應力，這種單元體的受力狀態稱為純剪應力狀態，如圖6-5（c）、（d）所示。當剪應力不超過材料的剪切比例極限時，剪應力與剪應變成正比。GGGPa上式稱為剪切胡克定律。式中 比例常數，稱材料的切變模量與材料性質有關，可用實驗的方法得出，常用單位為材料的切變模量與彈性模量、泊松比的關系為 )1 (

6、2EG第三節第三節 圓軸扭轉時的內力及應力圓軸扭轉時的內力及應力一、扭轉一、扭轉1、扭轉的概念：在外力作用下，桿件各橫截面均繞桿軸線相對轉動，桿軸線始終保持直線，這種變形形式稱為扭轉變形。 2、外力偶矩 工程中一般不直接給出作用于軸上的外力偶矩，只給出傳動軸的轉速及其所傳遞的功率。它們之間的關系為： 式中： 為作用在軸上的外力偶矩；P為傳動軸所傳遞的功率；n為傳動軸的轉速。 通常，輸入力偶矩為主動力偶矩，其轉向與軸的轉向相同；輸出力偶矩為阻力偶矩，其轉向與軸的轉向相反。 r/minkWmNn9549PMeeM 【例例6-1】如圖6-7所示傳動軸，功率由主動輪B輸入，輸入功率 ，通過從動輪A、C

7、輸出，輸出功率分別為 ， ，已知 轉速 ，試計算其外力偶距。kW60BPkW20APkW40CPminr300n【解】：【解】： A、B、C三輪上的外力偶矩，可由式（6-7）分別計算得出。e20kW95499549637N m0.64kN mr300minAAPMne60kW954995491910N m1.91kN mr300minBBPMnmkN27. 1mN1273300r/min40kW95499549enPMCC二、內力二、內力 1、扭矩 等截面圓桿AB，如圖6-8（a）所示。桿兩端作用一對方向相反，力偶矩均為Me的外力偶。采用截面法分析圓桿AB的內力。 在桿AB的任意橫截面m-m處

8、將桿假想地截成兩部分，取其左段為研究對象，如圖6-8（b）所示。因隔離體處于平衡狀態，則m-m橫截面上必存在一個內力偶矩，用Mt表示。內力偶矩Mt的矢量方向與所在橫截面垂直。 由平衡條件 ： 得 Mt-Me=0 即：Me =Mt 式中： Mt稱為m-m橫截面上的扭矩。 若取m-m截面右段為研究對象，則求得m-m截面上的扭矩與用左段為研究對象所求得的扭矩大小相等，方向相反，如圖6-8（c）所示。 0 xM 為使兩種算法所得到的同一截面上的扭矩不僅數值相等，而且正負號相同，對扭矩的正負號規定如下：按右手螺旋法則，讓四個手指與扭矩的轉向一致，大拇指伸出的方向與截面的外法線n方向一致時，為正，如圖6-

9、9（a）所示；反之為負，如圖6-9（b）所示。 注：用截面法計算扭矩時，通常先假設扭矩為正，然后根據計算結果的正負確定扭矩的實際方向。2、扭矩圖 一般情況下，沿桿件軸線各橫截面上的扭矩會隨外力偶矩的變化而變化，扭矩Mt是橫截面位置x的函數， ( )tMf x【例例6-2】試畫出如圖6-10（a）所示軸的扭矩圖。【解】：【解】：（1）計算扭矩如圖6-10（b）所示，將軸分為2段，逐段計算扭矩。對AB段：110,6kN m0ttMM16kN mtM對BC段：220,2kN m0ttMM22kN mtM（2）畫扭矩圖根據計算結果，按比例畫扭矩圖，如圖6-10（c）示。三、應力三、應力 1、變形現象與

10、假設 在圓截面直桿的表面上劃上許多等距離的平行于桿軸線方向的縱向線和垂直于桿軸線方向的圓周線，這些線條將圓桿表面分成多個矩形網格，如圖6-11（a）所示。在桿件兩端施加外力偶矩，圓桿產生扭轉變形，如圖6-11（b）所示。2、橫截面上的剪應力 用截面m-m和n-n從圖6-11（b）中圓軸上取出長為dx的一微段桿，如圖6-12（a）所示；再從此微段桿中取出一半徑為的圓柱體，如圖6-12（b）所示。若n-n截面相對于m-m截面轉動了一個角度d，稱d為dx段的扭轉角。 ppmaxmaxIrMIMttrIWpppmaxWMtpW由公式（6-9）可知，當剪應力達最大值。即令則圓軸扭轉時，橫截面上的最大剪應

11、力為： 式中注：上述公式均只適用于圓軸在線彈性范圍內的扭轉。等于橫截面半徑r時，稱為截面的扭轉截面系數，只與截面形狀、尺寸有關，常用單位為 33mmm 或2、圓截面極慣性矩 及截面扭轉系數 的計算 實心圓截面如圖6-15（a）所示，在距圓心為處，取寬度為d的環形面積作為面積元素， ，則實心圓截面極慣性矩為 ：PIddA2PIAddddAI20422P322pW式中d為實心圓截面的直徑實心圓截面的扭轉截面系數 為162/3PddIrIWPPpWPIpW均為正值 對如圖6-15（b）所示的空心圓桿，慣性矩 及扭轉截面系數 分別為：PIpW)1 (3232324444PDdDI)1 (162/43P

12、PDDIWDd /式中d為內徑；D為外徑，【例【例6-3】內徑d60，外徑D100的空心圓軸的橫截面，如圖6-16所示。在扭矩 6KN. m作用時，計算 40的A點處的剪應力及橫截面上的最大、最小剪應力。tM解：解：（1）計算截面的極慣性矩（2）計算剪應力444445474p10060mm()85.41 10 mm85.41 10 m3232DdI33A74p61 0 Nm4 01 0m2 8 .1 0 M P a8 5 .4 11 0mtMI最大剪應力發生在空心圓軸外表面，即:2D 處33max74p1610 N m10010m2235.12M Pa85.4110mtDMI最小剪應力發生在空

13、心圓軸內表面，即 處2d33min74p16 10 N m60 10m2221.07MPa85.41 10mtdMI第四節第四節 圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉時的強度計算 等截面圓軸的強度條件為整個圓軸截面上的最大剪應力 不超出材料的許用剪應力 ，有:maxpmax,maxWMt 式中：材料的許用剪應力 ，可通過扭轉試驗測得材料的極限剪應力后，除以安全系數得到。 【解解】（1）內力計算作圓軸的扭矩圖，如圖6-17（）所示。AB段扭矩 BC段扭矩 tAB5kN mM tBC3kN mM 注：由于AB、BC兩段的直徑、扭矩各不相同，無法直接確定整個軸最大剪應力所在的危險截面位置，應分段校核。（2）扭轉截面系數計算AB段軸的扭轉截面系數33353A BP A B(8010m )= 10.051