1、課時29二、三階行列式（基礎題）一、單選題1. （2020上海黃浦高三一模）方程:"=5的解集是（）3 xA. 2B. 2, - 2C. 1, - 1D. /, - /【答案】B【分析】利用二階行列式的運算規則進行求解.2x 1【詳解】_=2x2-3 = 5,解得x = ±2.3 x故選：B.【點睛】本題主要考查行列式的計算，明確行列式的運算規則是求解的關鍵.2. （2020上海松江高三模擬預測）已知實數。>0">0,且必=2,則行列式、:的A.最小值是2B.最小值是2立C.最大值是2 D.最大值是2應【答案】Ba b【分析】根據, =。+ 6,再由訪

2、=2,利用基本不等式求解.【詳解】.實數a>0,b>0,且曲=2,ci h/=a + h>2yjab = 2l2,1 1當且僅當a = b時，取等號，行列式:'的最小值是2拉.1 1故選：B.【點睛】本題主要考查行列式的運算及基本不等式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.3. （2018上海普陀高三一模）若數列,（" N*）是等比數列，則矩陣產 生 ""所表示方程組的解的個數是（）A. 0個B. 1個C.無數個D.不確定【答案】C【分析】根據題意,分析矩陣所表示的方程組為="，二%進而由等比數列的性質可得f吟吟=%進 而

3、分析可得方程組的解的個數,即可得答案.【詳解】解：根據題意，矩陣七所表示方程組為：Ci,又由數列a.（"eN）是等比數列，m,| , - «1 _«2 _«4 _ 1則有不/丁丁，則方程組的解有無數個；故選：c【點睛】本題考查等比數列的性質，涉及矩陣表示的方程組的方法，關鍵是掌握等比數列的定義.°ll ai2 a!34. （2020上海奉賢高三一模）由9個互不相等的正數組成的矩陣% % a”中，每行中的三個數成等 。32。33）差數列，且知+&+3、%+%+%、+%+須成等比數列，下列判斷正確的有第2列中的%、%、。32必成等比數列；第

4、1列中的陶、不一定成等比數列；。12 + /2 。21 +。23 ；A. 1個B. 2個C. 3個D. 0個【答案】C【分析】根據每行中的三個數成等差數列，可以把原來的矩陣變形，最后根據等比的數列的性質、基本不 等式，舉特例對三種說法逐一判斷即可.，a a + d a + 2dy【詳解】因為每行中的三個數成等差數列，所以有b b + m h + 2m .、c c+n c + 2n?aH +a12+al3, %+%+%、%+旬+43分別為:3(a + d),3(b + m),3(c+)，它們成等比數歹i,因此有:(b + m)2 =(a + d)(c + )，因此說法正確;(a+d) + (c+

5、)>2"(a + d),(c+)=2S+/n)題中己知可知這九個數都不互相相等,故不取等號)，因此說法 正確；'1 2 3、當2.5 4 5.5顯然符合已知條件，所以說法正確.、6.5 8 9.5,故選：C【點睛】本題考杳了等差數列的性質、等比數列的性質，考查了基本不等式的應用.二、填空題,sin a sin a-cosa5. (2020上海虹口)行列式的值等于.cos a sin a+cos a【答案】1【分析】根據行列式的值的計算方法直接列式計算出結果.sin a sin acos a.、,.22【詳解】行列式的值為：sintz(sina + cosa)-cosa(

6、sina-cosa) = sin a + cos- a = 1.cos a sin a+cos a故答案為：1.6.(2020上海徐匯高三一模)不等式;° >0的解集為-Z2【答案】 【分析】根據二階行列式的公式，直接列式求解.1 x2【詳解】，=lx(-2)-3x(-x)>0,解得：x>-,3 -2S所以不等式的解集是1(，+s)故答案為：住引2 -17. (2020上海)行列式3的值為-【答案】7【分析】直接展開二階行列式得答案.2 -1【詳解】解：3 =2x3-1x(-1) = 7.故答案為：7.【點睛】本題考查行列式的運算，是基礎題1 2 08. (2020

7、上海楊浦)行列式2 3 5 =.5 8 0【答案】1。【分析】根據行列式定義宜接計算.1203525【詳解】235 =lxgq-2x5o=(O-4O)-2x(O-25) = 1O.580-故答案為：10.【點睛】本題考查三階行列式的計算，掌握行列式計算公式即可屬于基礎題f x 2 y 5 = 09. (2021寶山上海交大附中高三模擬預測)方程組。：的增廣矩陣是n -2 5、【答案】屋J【分析】理解方程增廣矩陣的涵義，即可由二元線性方程組，寫出增廣矩陣.【詳解】由題意，方程組的增廣矩陣為其系數以及常數項構成的矩陣.,fx-2y-5 = 0 '、x-2y = 5故方程組2' 八等

8、價于2'0'3x+y-8 = 03x+y = 8故二元方程組的增廣矩陣為（;-2故答案為1； I2 s【點睛】本題主要考查二元一次方程組的增廣矩陣的定義，需理解并熟記二元一次方程組增廣矩陣的定義, 屬于基礎題，x 5 810. （2019上海黃浦格致中學高三一模）若行列式I 4 3中（xxl）,元素1的代數余子式大于0,則x滿足 7x9的條件是.45【答案】 O5 8【分析】由代數余子式的概念，得到元素1的代數余子式為（-I）'*?,、=8x-45,列出不等式，進而可求出x 9結果.,-1+? 5 8【詳解】由題意，元素1的代數余子式為（-I）"?c=8x-4

9、5,x 945又元素1的代數余子式大于0,即8x-45>0,所以工>高. O45故答案為：x > O【點睛】本題主要考查代數余子式的相關計算，熟記概念即可，屬于基礎題型.11. （2019上海奉賢高三二模）計算行列式7tCOS 3sin/r,2乃 sin3TCcos 2【答案】【分析】直接利用行列式的公式計算即得解.【詳解】由題得原行列式=、0-03=0.22故答案為：0【點睛】本題主要考查行列式的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.12. （2019浦東新上海市浦東復旦附中分校）已知2sin- 2COS。2c-2則 tan(9 =【答案】3或一：【分析】根據行列式的定

10、義列方程求解即可.【詳解】2s*2cos。28 sg 2= 4sin 紇。s*os” 叵222即 2sin 0-cos0 = , 又 sin? 04-cos2 6 = 1,2解得.八 3 sin u = f=Vio ,、I或. cos 0 = -j= 由sin 0 = -=Vio3cos 0 =；=710. =普3或T【點睛】本題主要考查行列式的計算，是基礎題.13. （2020上海高三模擬預測）已知行列式=6,則行列式【答案】2【分析】利用余子式可求行列式的值.【詳解】因為CI d0=1x-2x+ 3x=6=2.故答案為：2【點睛】本題考查三階行列式的計算，一般地,a2i“123332a2a

11、22“23或者+ a3當然，也可以按照其他的行或列展開計算.14. （2021上海黃浦高三一模）若關于X、y的二元一次線性方程組a.x + b, y = c.1'的增廣矩陣是a2x+b2y = c2I x = l且I是該線性方程組的解，則三階行列式-1 0 10 3 nz2 n 1中第3行第2列的元素的代數余子式的值是【答案】4x = 1mx y = 3【分析】由題點可知 是二兀療程組。 的解，求事加、的侑，根據代數余廠,式的y = 72y = n定義可求得結果.x = lf nix + y = 3f /n -1 = 3/n = 4【詳解】山題意可知 ，是：元一次線性方程組C 的解，所

12、以， c ，解得 y = -12y = n = -2n = -2-101所以，三階行列式o34中第3行第2列的元素的代數余子式的值為；=-lx(-4)= 4.2-21故答案為：4.r 415. (2020上海嘉定高三一模)不等式,4 0的解為.1 x【答案】-24XW2【分析】根據行列式定義變形后求解.x 4【詳解】不等式 40為片一440,解得一24x42.1 x故答案為：-2<x<2.16. (2020上海普陀高三三模)滿足sm* "一 =0的實數x的取值范圍是.COSX 17T【答案】x = k7t + ,keZ試題分析：sinx-石cosx = 0,即 2sin(

13、x-g) = 0 , 0x = k7r+,k eZ .考點：行列式2X 117. (2020上海金山高三二模)已知函數/*)=，則廣|(0)=【答案】0 【分析】由題意可得f(x) = 2"-l ,由反函數的概念可得廣'(x) = log/x+l),代入即可得解.?" 1【詳解】由題意f(x)= I =2、-1,則廣(x) = log«+l),所以廣(0) = logj = 0.故答案為：0.【點睛】本題考查了行列式的計算與反函數的求解，屬于基礎題.18. (2020上海閔行高三一模)設函數f(x)=：,一。 :，則方程/(力=1的解為【答案】x = 2【

14、分析】轉化條件得了曰心評-力，即可得解.【詳解】由題意得/(乂) = 1082(萬-1) + 1082* = 10842-力=1,即Y-x = 2,解得x = 2或x = -l,由函數定義域可知x = 2.故答案為：x = 2.【點睛】本題考查了二階行列式的計算和對數的運算性質，屬于基礎題.3-5 119. (2017上海浦東新高三一模)三階行列式23-6中元素-5的代數余子式的值為.-724【答案】34【分析】根據行列式的代數余子式的定義進行計算.【詳解】由題意，可知:2-6(-1) 1+2 =- (2x4 - (-6) x (-7) 1 = 34.-7 4故答案為34.【點睛】本題主要考查

15、行列式的代數余子式的概念及根據行列式的代數余子式的定義進行計算.本題屬基礎題.技能專題練J(能力題)一、單選題1.(2020上海高三專題練習)已知行列式尸=1 02 13 -1=k 2 (kwR)”是"P = 0"的(A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【答案】A【分析】利用行列式展開法則推導" 2/wK)是尸二0”的充分條件，舉反例說明"與2 (kwR)”O/不是"P = 0"的必要條件，由此能求出結果.x 1 0【詳解】行列式= y 2 i z 3 -1/. P = -2x + z-3x+ y

16、= -5x+ y + z = -5k + 2攵 + 3% = 0 ,y=A 2 (&/?)是 p =。”的充分條件,5當 P = -5x+y+z = 0 時，有可能 y = z = ±x,k 2 ,eR)"不是"P = 0"的必要條件,=k 2j(£eR)"是"尸=0的充分不必要條件.【點睛】本題考查行列式以及充分條件、必要條件的概念，行列式展開法則等基礎知識，考查運算求解能 力，是基礎題.二、填空題a b2. (2016上海金山)行列式 Ja、b、c、de-l,l,2)所有可能的值中，最小值為. c a【答案】-6

17、；a b【分析】計算=ad-hcf當d最小，兒最大時有最小值，代入數據計算得到答案.c aa h【詳解】行列式=ad-bc t當ad最小，最大時有最小值.c a故當a = -1,d = 2或a = 2,d = -1, h = c = 2時有最小值為一6故答案為：-6【點睛】本題考查了行列式的計算，意在考查學生的計算能力.3. (2016上海市第二中學高三月考)已知。、”0,函數/(x)=“ '八的最小正周期為“r,將/(x) 1 cos cox的圖象向左平移r個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，貝打的最小值為.【答案】？6【分析】先利用輔助角公式將函數y = /(x)的解析式化簡為/1

18、(x) = -2sin(0x-?),利用周期公式求出。=1,然后求出平移后所得函數的解析式，結合所得為偶函數得出r的表達式，進而可得出正數的最小值.【詳解】v/(x) =V3 sin cox1 cos cox=cos coxsini»x = -2sin (oxI 3'則 0=1,/. /(x) =-2sin將函數y = /(x)的圖象向左平移，個單位，所得函數解析式為g(x) = -2sin由于函數g(x) =為偶函數，則= + k/(&eZ),所以，t = -eZ), 657r"'M = 0時，取得最小值6故答案為：苧 6【點睛】本題考查利用正弦型

19、三角函數的奇偶性求參數的最值，同時也涉及了二階行列式的計算、正弦型三角函數周期的應用以及函數圖象的平移變換，考查計算能力，屬于中等題.4. (2017上海市向明中學)若行列式cosx 2 x 2.x sin 2x cos 2中元素4的代數余子式的值為;，則實數x的取值集合為.jr【答案】x|x = 2±y,A:eZ)x . x cossin(xX1TT【解析】根據題意有，X)=I z " hcost-sirHCOSXj,故解出x = 2A乃土g,&eZ,則實數X的 sin cos 22取值集合為x|x = 2七r±(,&wz).T 7 4X5. (

20、2019上海楊浦)在行列式4 -3 4中，第3行第2列的元素的代數余子式記作f(x),則y = l + /(x) 6 5-1的零點是.【答案】x = -l【分析】根據余子式定義得到/(x) = Tx2,+4x41換元2*=(>0),得到方程4/-4，= -1,計算得到答案.2t 41【詳解】/。) = -4 4 =Tx2"+4x4*,則y = l + /(x)的零點等于與方程/(x) = -l的解.設2、=r(r>0)則4產一4r = -l.1= g 故x=-l故答案為x = -l【點睛】本題考查了行列式的余子式，函數零點問題，換元可以簡化運算，是解題的關鍵.12 46.

21、 (2019上海市建平中學高三月考)若行列式cos(;r + x) 2。中的元素4的代數余子式的值等于|，則-11 62實數x的取值集合為.【答案】xx = 2br±g,*ez【分析】根據余子式的定義求出元素4的代數余子式的表達式，列出關于x的方程化簡，利用余弦函數的性 質求出實數x的取值集合.【詳解】由題意得f(x)=l葉.13=cos(乃 + x) x 1 - 2 x (-1) = -cos x + 2 =一,解得cosx = ；,則 = ±? + 2&4,2 wZ ,所以實數X的取值集合是x|x = ±? + 2X:;r,AeZ,故答案為:xk=2t

22、e±jeZ）.【點睛】本題考查了三階矩陣的代數余子式的定義，余弦函數的性質，屬于基礎題.cos oti7. （2021上海市七寶中學高三月考）設復數z= ' r（/為虛數單位），若|z| = 0,則tan2a =sin a V2 + z1 1【答案】1【分析】先利用行列式化簡復數，再根據復數的模求解.cos a i r【詳解】因為z= . r = v2costz + （cosa-sina）/, sin a V2 + /又目=0,所以（0cosa） +（cosa-sina）2 = 2 .所以 2cos2 a -1 - sin 2a = 0,即 cos 2a-sin 2a = 0

23、,所以 tan 2a = 1.故答案為：1【點睛】本題主要考查二階行列式以及復數的模，三角恒等變換，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.x -18. （2020寶山上海交大附中高三模擬預測）已知方程， =0的一個根是a + 2i （其中aeR, i是虛b x2數單位），則實數.【答案】5【分析】由行列式的計算法則可知V-2x + = 0,結合a + 2i是方程的一個根，可得a2-2a + b-4+（4a-4）i = 0,進而可列出關于a,人的方程，即可求出從【詳解】解：:工二；=«一2)+人人2- =。，因為42,是方程的一個根,所以(4 + 2，)22(。+ 2，) + = 0,即

24、/- 2 + b-4 + (4a-4)i = 0,a? - 2。+力-4 = 04a-4 = 0解得。二1故答案為5【點睛】本題考查了行列式的計算，考杳了復數的乘法運算，考查了由復數為零求解參數.本題的關鍵是由 方程的根列參數的方程.三、解答題9. (2021上海高三專題練習)設函數,/'(x)=|2x-7| + ar + l為實數).(1)若。=-1,解不等式f(x)20；(2)若當丁匚>0時，關于x的不等式/(x)21成立，求。的取值范圍； 1 -X2 r + 1(3)設g(x)=_a卜_若存在X使不等式“X)4 g(X)成立，求。的取值范圍.Q【答案】x|x丐或xN6；(2

25、)-5,y)J3)-4,x)【分析】代入a = T直接解不等式即可;由 4>°解得°<x<l，故可將x)21化為(a-2)x + 720,從而求出。的范圍；1-X化簡g(x),故可將題設條件變為:存在X使a-lK2x-7|-|2x-2|成立，因此求出|2x-7|_|2x-2|的最小值即可得出結論.【詳解】若a = -l,則/(x) = |2x-7|-x+l由 f(x)20得|2x-7住x-1,f2x-7>0, 2x-7<0即"7>或 7">一，2x-/> x-7-2x>x-lQ解得x2 6或Q故不等式

26、的解集為xlxvg或x2 6； x(2)由；一>0 解得 0<x<l, -xEl/(x)>l|2x-7|+ar>0,當0<x<l時,該不等式即為3-2)x + 720,尸(0) = 7>0設小)32)”則蚱35對解得心-5,因此實數的取值范圍為1-5, w)；2x+1 g(x)= d =2|x-l|+a(x+l)-a |x-l|若存在X使不等式/(x) < g(x)成立，即存在 x 便|2x-7| + or + l V2|x-l|+a(x+l)成立，即存在 x 使"-12|2x-7|一|2x-2|成立，X|2x-7|-|2x-2|

27、<|2x-7-(2x-2)| = 5,所以-54|2x-7|-|2x-2 區 5,所以。一12-5,即 °2-4,所以的取位范圍為:I,依)【點睛】本題主要考查了絕對值不等式，結合了恒成立,能成立等問題，屬于綜合應用題.解決恒成立，能成立問 題時，常將其轉化為最值問題求解.核心素養練J（真題/新題）一、單選題1. （2021上海市建平中學高三三模）關于x、y的方程組卜'+? = '"有無窮多組解，則下列說法錯誤的 = c2O=+ 一44aA + a2B.a2 aC.ai a a2 b21 1D. aq 4 c2 b2 q h d-f bC|4C2 b2

28、【答案】D【分析】根據二元一次方程組有無窮多組解的等價條件及行列式的運算法則，對各選項逐一判斷即可.【詳解】解：,.,x、y的方程組a.x + bt y = c,窮多組解，aAb2 - a2bl -byc2 - b2cl = ac2 - a2cl = 0 ,對選項A：=（6 + %）C2 （G + C?）=弓g -= Q成立，故選項 A iI j,ijij；對選項S：（01十見）（么一白卜斜一4）（仇+4）=。也一岫+ 02b01b02bl -01bl +日打=2（qd ）=。成立故選項8正確;對選項c：a4qa2b2c2111h2一a2 h21 1=q （a -。2）一"|（。2

29、。2）+ 0（% 白）=。也 一 4。2 b、 +4。2- C也=0 成 '/.，故選項 C 正確;對選項。：:=cyb2 - c2bl = 0 ,C1" c2 b2 4瓦 «2 Ac2 b2=0,所以選項。不定成立，故選項D錯誤;故選：D.2. （2017上海高考真題）關于x、）'的二元一次方程組x+5y=02x+3y = 4的系數行列式。為A.B.C.D.【答案】C【詳解】關于蒼丁的二元一次方程組x+5y = 0 , _ , 2X+T。的系數行列式入故選c.二、填空題3. （2021上海青浦高三二模）已知三階行列式x-3的值為0,【答案】2； 【分析】由

30、三階行列式的計算方法列方程可求出x的值1 2 4【詳解】解：因為的值為0,1 x 41 -3 9IU1x9x+2x4x1 + 1x(-3)x4-1x4a-1x2x9-(-3)x4x1=0,即5x-10 = 0,解得x = 2,故答案為：21 3 74. (2021上海楊浦高三二模)在行列式。=2 5 -2中，元素3的代數余子式的值為1 2 4【答案】-10【分析】根據代數余子式的定義可得其值.2 一2【詳解】元素3的代數余子式的值為(-1)"2 4 =-10'故答案為：-10.1 0 -15. (2021上海市七寶中學高三模擬預測)計算行列式()2 1的值為.2 1 -3【答案】-3【分析】根據三階行列式的定義計算.1 0 -1【詳解】0 2 1 =-6