1、直線的傾斜角和斜率（第一課時）教學設計教學內容分析本節課是全日制普通高級中學教科書（必修）教學第二冊（上）（人教版）第七章第1節課7.1直線的傾斜角和斜率根據實際情況，這是第一課時。本節教學是高中解析幾何內容的開始。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素和代數表示，是平面直角坐標系內以解析法（坐標法）的方式來研究直線及其幾何性質（如直線的位置關系、夾角、點到直線的距離等）的基礎。通過本節內容的學習，幫助學生初步了解直角坐標系內幾何要素代數化的過程和意義，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法，進一步培養學生對函數、數形結合、分類討論思想的應用知識。本課有著開

2、啟全章，奠定基調，滲透方法的作用。用坐標法解決幾何問題是解析幾何的主要目標，其本質是抽象的代數語言和直觀的集合語言之間的數學對話。教材解析對直線的方程和方程的直線的概念的理解需要一個過程。在本節教學中，將一次函數與其圖象的對應關系，直接轉換成直線方程與直線的對應關系，只需學生對其有一個初步的了解，為今后學習曲線和方程的概念作準備。直線的傾斜角和斜率都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的。傾斜角是直接用幾何要素反映這種傾斜程度的。斜率等于傾斜角的正切值，是用函數刻畫直線傾斜程度的代數表示，定義本身從“數”和“形”兩方面溝通了表示直線傾斜程度的內在聯系，將直線的傾斜度和實數之間建立對應關系，使幾

3、何問題的研究具有了普遍性。由于在解析幾何中，通過過兩點的直線的斜率公式，把斜率坐標化，在研究直線時比使用傾斜角更方便。因此，它是研究直線問題的重要工具。正確理解斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，是學習直線方程，研究直線的位置關系等許多問題的關鍵。目標與目標解析目標：了解直線的方程和方程的直線概念，理解直線的傾斜角和斜率概念，掌握過兩點的直線的斜率公式。目標解析：通過斜率概念的構建和斜率公式的探究，經厲幾何問題代數化的過程，滲透數形結合、分類討論的思想方法，強化函數的應用意識，訓練學生的逆向思維能力。通過師生的雙邊活動使學生進一步獲得分類討論、抽象概括等研究數學的規律和方法，培養學生周密思

4、考，主動學習、合作交流的意識和勇于探索的良好品質。1、兩點確定一條直線，這是學生知道的，但就已知一點再需要增加什么量才能確定直線，以教及如何來刻畫這個量，對學生來說有點困難，所以在教學過程中，通過逐個給出的三個問題，讓學學生在討論后形成傾斜角的概念。問2、斜率概念的學習是本節的難點，學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線題的而傾斜角是唯一的，而斜率卻不這樣，另外，為什么要用傾斜角的正切定義斜率對學生也有一診定的困難，教學中從計算具體的直線的傾斜角入手，通過師生對話探究，從學習斜率的必要性、斷合理性、完備性三個角度進行突破。分3、過兩點的斜率概念的建立是本節又一難點，受思維定勢影響，

5、在坐標系中，學生應用幾何析法探究斜率公式是必然，應重視這一方法，除此之外，要積極引導學生應用向量法，把幾何要素用點的坐標來刻畫描述，使幾何問題代數化。教1、教學上應用新課標理念，以啟發式為主。亞里士多德講“思維從問題，驚訝從開始”。通法過問題驅動法，采用師生對話的方式，能使學生在討論探究中激發學習新知識的興趣和欲望，也特可加深對得到概念的理解。點2、本節課采用學導式，改變了以往研究斜率的方法，讓學生從數、形兩個不同的角度對斜率及公式進行一個全方位的研究，不僅僅是通過對比總結得到斜率的計算公式，更重要的預期是向學預生滲透坐標法，體會向法的優越性，教師可以真正做到"授之以漁”期3、應用多

6、媒體教具的電教手段彌補在直觀感、立體感和動態感方面的不足，增大了教學內容效增強了學生的思維訓練密度。果4、通過合作學習，上臺展示，讓學生在活動中感受教學思想方法之和諧優美。分析重點難點教學重點：直線的傾斜角和斜率概念，過兩點的直線的斜率公式。教學難點：斜率概念的學習和過兩點的直線的斜率公式的建立。教學程序教學情境學情預設設計意圖情幫助學生境師：在初中不與坐標軸平行的直線可以用回憶初中平面由函數的創一次幾何中的相關概念引入解設引概念。可指出前析幾何，顯得引面研究問題的比較自然，學出函數來表示，開口向上或向下的拋物線可以用方法稱為“幾何生并不陌生。課二次函數來表示，這樣就把對圖形的研究轉化法”，并

7、提示同同時為日后題為對函數的研究，這里溝通數形關系的橋梁是學們注意它與體會“坐標約坐標系。這種以坐標系為橋梁，把幾何問題轉今后研究問題法”解決問題3化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性所用的“坐標的一般性埋分質的方法，叫坐標法。用坐標法研究幾何的學法”有何異同。下伏筆。鐘科稱為解析幾何。探究一：直線的方程和方程的直線(約3分鐘)(1)個別學生有可能畫出1.直線方程的概念通過一次函數師形如“y=a”或的解析式與生“x=a”的圖像，第一步：作：請冋學們在直角坐標系中任圖像的對應互應及時指出它意畫一個一次函數的圖像，并任取一點標上坐關系引入比動丄一們雖不是一次標。較自然。函數，但仍是直第二步：想

8、：所畫一次函數的解析式是否探線，可引導同學是方程？如果是，是何方程？2直線方究們考慮其中方第三步：探討：方程的解和直線上的點有程的概念學新程的解和直線何對應關系？習需要一個知上的點的關系。過程,直線的為后面分類討方程和方程當學生歸納出方程的解和直線上的點存論作準備。的直線概念在對應關系時，師生共冋總結出直線的方(2)學生準的描述中體約確說出方程的程和方程的直線(幻燈片)：現出來的逆22解和直線上的以一個方程的解為坐標的點都是某條直向思維與本分點的對應關系線上的點；反之，這條直線上點的坐標都是這節學習重點鐘個方程的解。這時，這個方程就叫做這條直線有一定的困難，直線的傾斜可積極引導學的方程，這條直

9、線叫做這個方程的直線。角和斜率的生應用逆向思關系中的逆維。向思維一致。對于問題探究二：直線的傾斜角(約5分鐘)(2)，學生如果從研究直問題逐個給出：回答''再加一個線方程的需14、大家觀察剛才所畫的圖像，對于表示傾斜程度要出發，引入平面直角坐標系內的一條直線L,它的位置由的量”就順勢引直線在平面哪些條件確定？出傾斜角的概直角坐標系(2)點能確定一條直線嗎？再加一個什念。如果學生已中的傾斜角么條件就可以確定一條直線？經看到課本上和斜率的概(3)什么是直線的傾斜角？如何定義？范傾斜角的概念，念，符合學生師生互動探究新知圍是什么？在學生討論的同時，師板書(為了加深對概念的理解)，畫出

10、下圖直線的傾斜角。(2師：確定平面直角坐標系中一條直線位置關系的幾何要素是定點和傾斜角。師生共同幻燈片歸納總結：(1) 在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把X軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小角正角記為a,那么a就叫做直線的傾斜角。(2) 當直線和x軸平行或重合時，規定直線的傾斜角為0。故傾斜角的范圍是0o<a<180o就直接讓學生討論問題(3)。關于問題(3)，學生可能說出直線向上的方向與y軸，正向之間所成L2的角是傾斜角。此時應立即點撥學生，為什么這樣定義不合適。在總結出直線的傾斜角概4念后可根據學生理解的實際情況做詳釋：直線的傾斜角是一個幾何概

11、念，它直觀地描述和表現了直線向上的方向和X軸正方向所成的最小正角。可簡記為“上”，“正”，“正”。的認知特點。通過環環相扣的三個問題,讓學生在討論后得出傾斜角的概念,使學生有成就感，亦可加深學生對得到概念的理解。對于直線和X軸平行或重合的認識理解，可培養學生周密的思維能力，強化應用分類討論思想的意識。“上”，“正”，“正”是將傾斜角概念做出的精煉概述，可加強記憶。互動探究三：讓學生討論給出直線的斜率的定義有的同學預習了課本，已1.通過（約6分鐘）。見到斜率的概師生對話，引探1你能求出下圖中直線的傾斜角嗎？念，可以問為什出用斜率表究y么米用tana，示直線傾斜新t/y/3x+1；3i/B而不是別

12、的三程度的必要知旦/B3角函數。在學生性。/aOx經過思考討論/后，讓學生明2.讓學同學們經過計算回答60o確：生自己定義師：說說你們的算法！可能出現的方法是：平面內的斜率的概念，OB生1：在RtAVOB中，由tana=得出。OA任意一條直線可增強成就OB都有且只有一感，激發學習生2：在RtAVOB中，由sina=得出。AB個傾斜角，傾斜興趣,有利于生3：應用y=cota和y二cosa也可以。角的大小確定該難點的突了，直線的方向破。2同學們還能定義別的表示直線傾斜程度也就確定了，傾3.函數的量嗎？斜角不同，直線的應用應與的傾斜程度也實際研究問3應用哪一個三角函數更能合理地表示直不同。那么所用題

13、的需要相線的傾斜程度？函數盡可能是結合。只有這映射且單樣直線的傾借住師生、生生間的辨析得出斜率的概念：調性一致才更斜角與斜率定義：（1）傾斜角不是90o的直線，它的加合理。分析各兩個概念才傾斜角的正切叫做直線的斜率。用k表示，即種三角函數，采能“和諧”共k=tana。用k=tana，存，都能表示（2）傾斜角是90。的直線沒有斜率。只需補充直線的傾斜師a=90o時斜程度,體現數教師可以接著問：傾斜角為60o和120。的生學中的“和率不存在即可。直線的斜率為多少？互諧”美。4.可加動探究新知師生互動用幻燈片出示第36頁例1，板書解的過程。4師：有了傾斜角的概念，為什么還用斜率來表示直線的傾斜程度？

14、僅用傾斜角這個幾何概念來刻畫直線的方向是不符合解析思想的（即用代數思想研究幾何問題）由此想到三角函數，因為tanaeR可設k=tana，這樣就可以從代數的角度去刻畫直線對x軸的傾斜程度。對于定義（2），可通過師生對話明確1.當傾斜角是90。時，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，此直線垂直于X軸2.所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率。深對分類討論思想的應用意識。亦可完善對斜率概念的理解。5采用數形結合，將直線的傾斜度和實數之間建立對應關系,使幾何問題的研究具有了普遍性，充分體現“坐標法”在數學研究中劃時代的歷史意義。探究四：直線的斜率公式（8分鐘）師：在坐標平面內，已知兩點P1（

15、x1,y1）,P2（x2,y2）,就能確定一條直線，當傾斜角不等于90。時，這條直線的斜率也是唯一確定的，那么，如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率呢？第一步：提出兩個問題在探究中應向學生指出：（1）斜率公式與兩點的順序無關，即橫縱坐標在公式中的前后次序可以用時顛倒；（2）斜率公式表明，直線對于X軸的傾斜程度可以通過問題（1）讓學生復習斜率概念可起到承上啟下的作用。問題（2）引導學生從不同的角度計算斜率，并探(1)如何求斜率K?直線上任意兩對學生進行究(當J豐一時，由k=tanaag0,兀)點的坐標表示，數形結合、分新(2)計算tana可以從什么角度計算？用而不需要求出類討論、一般知什么方

16、法？斜角，使用時比f特殊f一對邊(可以構造直角二角形由tana二入手，鄰邊較方便；般等數學思當X1=X2想方法的有還可以根據定義，將角平移使始邊與x正半軸時，a=90°，機滲透。重合，頂點與坐標原點重合，在終邊上取一點斜率不存在。yP（x，y）用tana=來計算）x在坐標系中，學生應用幾通過合作何法探究斜率學習，讓學生第二步：分組活動，合作學習公式是必然，應充當學習的師重視這一方法。主體,體會用生師：下面就從這兩個不同角度來計算斜學生有可能對“坐標法”研互率。傾斜角為鈍角究幾何問題動的情況不太注的一般方意，應要求學生法和對得到探(1)讓學生分兩大組，一組從構造直角三取不同的傾斜結論的

17、理解。究角形入手計算斜率，另一組通過向量來計算斜角進行分析，并讓學生上臺新率。給予適時的點展示可訓練知(2)每一大組再分幾個合作小組，直線的撥和幫助。分析和表達傾斜角取不同的值。應用向量問題的能力。法探究斜率公第三步：交流，總結式的學生，可能對過兩點教師在巡視中關注各組研究情況適時給予點撥、指導。條件成熟時，要求學生分析，除了公式是否還可得到一些有價值的副產品PP取12向上的方向不太注意，將PP平移至起12的直線的斜率公式的建立是本節難(如對直線的方向向量的感性認識)。點，讓學生在交流中從兩可選一些有代表性的小組上臺展示成果，點與坐標頂點得出斜率公式:jy-yk二t1xx21第四步：歸納向量法

18、推導斜率公式的要點，定義直線的方向向量：直線上的向量pp2及與它平行的向量都稱為直線的方向向量，其坐標是：心2-X1，y2-"“0，當X2豐X時,a=(1，k)也是它的方向向量。師：求經過A(-2,0),B(-5,3)兩點的直線的斜率和傾斜角。解:k=_5-乙）=-1，即tana=-l,0o<180oa=135o直線的斜率是-1，傾斜角是135。師：在平面直角坐標系中，畫出經過原點,L2,且斜率分別為1,-1，-2,-3的直線.，L，L。34分析：要畫經過原點的直線，只需再找一L3.y0個點，若設L上A（x,y）則由1=；的x01x1二人，只需取滿足x1二人的任意點均可,如(1

19、,1)。類似可畫出其它直線。yA3（1,2）重合時，結合三方面進行探角函數的定義究解決使該是思維上的障難點的突破礙，考慮到學生顯得自然。同的個體差異，教時讓學生在師應從向量的探究中逐步定義、三角函數意識到向量的定義等方面是處理直線對個別小組方程中許多進行適時的點問題的重要評、指導。工具。本題考查通過典公式的直接應例分析，訓練用問題，學生估斜率公式的計能做的很好！正用與逆用可找二同學板問題,培養學演，其他同學除生的逆向思做本題外，還做書中P37練習維能力。1,3。學生畫出圖后，可增強“坐標法”本題屬斜率與數形結合公式的逆用問的意識。題，學生有可能讓學生對L丄求出體會用“特例傾斜角畫直線。法”解題

20、帶來的方便。4A(1,1).I'xOa2(1,-1)A4(-1,-3)鞏畫固師：練習P39中4。出對練習的進練y=tana步思考，可習請2位同學板演4。（aw0,兀）且以讓學生深入的研究直a）的函數延師：做書上P39頁練習2,并進一步討論2線的傾斜角圖像來討論a伸斜率與傾斜角的取值范圍。與斜率的內與k之間的關探可酌情給出：在聯系，完善系，可加深對直究30o<a<60o對直線的傾線的傾斜角和斜角和斜率(2)30o<a<120o斜率概念的理約認識的系統7(3)120o<a<145o解，強化函數的性和深刻性。分時討論k范圍。條件成熟時問，反之，給應用意識，

21、為下將學生的思節內容打下基鐘出k的范圍，如何求以的范圍。維引領向更礎。高的層次。梳理歸納拓展升華約2分鐘小結回顧：通過本節的學習，你學到了哪些知識？這些知識是從什么角度研究的？你又掌握了哪些學習數學的方法？用坐標法探究了直線的傾斜角的概念。從函數的角度定義了直線的斜率。用向量法（坐標法）和幾何法研究了斜率公式。學生可能僅僅把直線的傾斜角和斜率的概念、公式總結一下，要引導學生談談如何應用坐標法，在數形結合，分類討論思想的關照下，研究幾何問題的。不僅僅小結本節學到的知識，更重要的是讓學生感知研究數學問題的一般方法,以便將其遷移到以后研究直線的位置關系中去。作業：習題7.11.2.3.4.5補充作業

22、：求經過兩點A（2，-1）和B（a,-2）的直線L的傾斜角。習題7.11.2.3.4.5估計問題不大，根據實際情況可對補充題作一些提示。補充題意在增強分類討論的意識，為以后研究直線的位置關系做準備。7.1直線的傾斜角和斜率（第一課時）教學設計說明一、教學內容分析本節課是全日制普通高級中學教科書（必修）教學第二冊（上）（人教版）第七章第1節課7.1直線的傾斜角和斜率。根據實際情況，這是第一課時。本節教學是高中解析幾何內容的開始。直線的傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素和代數表示，是平面直角坐標系內以解析法的方式來研究直線及其幾何性質的基礎。通過本節內容的學習，幫助

23、學生初步了解直角坐標系內幾何要素代數化的過程和意義，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法，進一步培養學生對函數、數形結合、分類討論思想的應用意識。本課有著開啟全章，奠定基調，滲透方法的作用二、教學目標分析了解直線的方程和方程的直線概念，理解直線的傾斜角和斜率概念，掌握過兩點的直線的斜率公式。經厲幾何問題代數化的過程，培養學生周密思考，主動學習、合作交流的意識和勇于探索的良好品質三、教學問題診斷分析1、兩點確定一條直線，這是學生知道的，但就已知一點再需要增加什么量才能確定直線，以及如何來刻畫這個量，對學生來說有點困難，所以在教學過程中，通過逐個給出的三個問題，讓學生在討論后形成傾斜角的概念。

24、2、斜率概念的學習是本節的難點，學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的而傾斜角是唯一的，而斜率卻不這樣，另外，為什么要用傾斜角的正切定義斜率對學生也有一定的困難，教學中從計算具體的直線的傾斜角入手，通過師生對話探究，從學習斜率的必要性、合理性、完備性三個角度進行突破。3、過兩點的斜率概念的建立是本節又一難點，受思維定勢影響，在坐標系中，學生應用幾何法探究斜率公式是必然，應重視這一方法，除此之外，要積極引導學生應用向量法，把幾何要素用點的坐標來刻畫描述，使幾何問題代數化。四、教法特點及預期效果分析1、教學上應用新課標理念，以啟發式為主。亞里士多德講：“思維從問題，驚訝從開始”。通過

25、問題驅動法，采用師生對話的方式，能使學生在討論探究中激發學習新知識的興趣和欲望，也可加深對得到概念的理解。2、本節課采用學導式，改變了以往研究斜率的方法，讓學生從數、形兩個不同的角度對斜率公式進行一個全方位的研究，不僅僅是通過對比總結得到斜率的計算公式，更重要的預期是向學生滲透坐標法，體會向量法的優越性，教師可以真正做到“授之以漁”。3、應用多媒體教具的電教手段彌補在直觀感、立體感和動態感方面的不足，增大了教學內容，增強了學生的思維訓練密度。4、通過合作學習，上臺展示，讓學生在活動中感受數學思想方法之和諧優美。五、教學過程及設計意圖（一）情境創設，引出課題（約3分鐘）（二）師生互動，探究新知（約22分鐘）探究一：直線的方程和方程的直線通過作、問、想三步曲，師生共同總結出直線的方程和方程的直線的概念。探究二：直線的傾斜角逐個明確問題：（1）對于平面直角坐標系內的一條直線L,它的位置由哪些條件確定？（2）一點能確定一條直線嗎？再加一個什么條件就可以確定一條直線？（3）什么是直線的傾斜角？如何定義？范圍是什么？后得出直線的傾斜角概念。設計意圖：讓學生在討論中得