1、“雙星”問題及天體的追及相遇問題一、雙星問題1模型構建：在天體運動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點做角速度、周期相同的勻速圓周運動的恒星稱為雙星。2. 模型條件：(1)兩顆星彼此相距較近。兩顆星靠相互之間的萬有引力提供向心力做勻速圓周運動。兩顆星繞同一圓心做圓周運動。3. 模型特點：(1)“向心力等大反向”一一兩顆星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供。(2) “周期、角速度相同”一一兩顆恒星做勻速圓周運動的周期、角速度相等。(3) 三個反比關系：mr=mr；mv=mv；ma=ma112211221122推導：根據兩球的向心力大小相等可得，m32r

2、=m32r，即mr=mr；等式mr=mr兩邊同乘以角速度3,得mr3=mr1.1221122112211223，即mv=mv；由m32r=m32r直接可得，ma=ma。112211221122GmmGmmGm+m,32L3(4) 巧妙求質量和：Ls=m32rE=m32r由+得：2=32L.*.m+m='L211L222L212G4. 解答雙星問題應注意“兩等”“兩不等”(1) “兩等”：它們的角速度相等。雙星做勻速圓周運動向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等。(2) “兩不等”：雙星做勻速圓周運動的圓心是它們連線上的一點，所以雙星做勻速圓周運動的半徑與雙星間的

3、距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。由m32r=m32r知由于m與m般不相等，故r與r一般也不相等。11221212二、多星模型定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同.(2)三星模型：三顆星位于同一直線上，兩顆環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示).三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示).甲己丙(3) 四星模型：其中一種是四顆質量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙).另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心0,

4、外圍三顆星繞0做勻速圓周運動（如圖丁所示）.三、衛星的追及相遇問題1、某星體的兩顆衛星從相距最近到再次相距最近遵從的規律：內軌道衛星所轉過的圓心角與外軌道衛星所轉過的圓心角之差為2n的整數倍。2、某星體的兩顆衛星從相距最近到相距最遠遵從的規律：內軌道衛星所轉過的圓心角與外軌道衛星所轉過的圓心角之差為n的奇數倍。3、對于天體追及問題的處理思路：根據譽=皿32,可判斷出誰的角速度大；r2（2）根據兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于2n的整數倍，相距最遠時，兩星運行的角度差等于n的奇數倍。在與地球上物體追及時,要根據地球上物體與同步衛星角速度相同的特點進行判斷。題型一雙星規律的應用【例題1

5、2017年6月15日，我國在酒泉衛星發射中心用長征四號乙運載火箭成功發射硬X射線調制望遠鏡衛星“慧眼”?！盎垩邸钡某晒Πl射將顯著提升我國大型科學衛星研制水平，填補我國國X射線探測衛星的空白，實現我國在空間高能天體物理領域由地面觀測向天地聯合觀測的超越?！盎垩邸毖芯康膶ο笾饕呛诙?、中子星和射線暴等致密天體和爆發現象。在利用“慧眼”觀測美麗的銀河系時，若發現某雙黑洞間的距離為L,只在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，其運動周期為T,引力常量為G,則雙黑洞總質量為（）4兀2L4兀2LGL4兀2T3A. B.C.D.-GT23GT24n2T2GL【答案】A解析】對雙黑洞中的任一黑洞：mm對另一

6、黑洞：mm-12=mL2又+r2=L聯立可得:Gm+GmL/2兀）21=L2IT丿（2兀）2r+1IT丿L2（r+r）即GM=12L2雙黑洞總質量M=。故A項正確。GT2點睛：雙星模型與衛星模型是萬有引力部分的典型模型，要能熟練應用?！绢愵}訓練1】引力波現在終于被人們用實驗證實，愛因斯坦的預言成為科學真理早在70年代有科學家發現高速轉動的雙星，可能由于輻射引力波而使質量緩慢變小，觀測到周期在緩慢減小，則該雙星間的距離將（）A. 變大B. 變小C. 不變D. 可能變大也可能變小【答案】B解析】:雙星靠相互間的萬有引力提供向心力,有:4兀2r3計算得出m+m=12GT2，計算得出T=;g（m+m）

7、12【類題訓練2】因為雙星的總質量減小，周期減小，可以知道雙星間距離在減小.所以B選項是正確的.若某雙星系統A和B各自繞其連線上的。點做勻速圓周運動。已知A星和B星的質量分別為和相距為d,下列說法正確的是（）mA.A星的軌道半徑為i一dm+m12C.若A星所受B星的引力可等效為位于0點處質量為m的星體對它的引力，則m'=m31+m12B-A星和B星的線速度之比為叫：m2D.若在0點放一個質點，它受到的合力一定為零【答案】C【解析】試題分析：雙星系統是一個穩定的結構，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，角速度相等萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解雙星系統中兩個星體做圓

8、周運動的周期相同，即角速度相同，過程中，兩者之間的引力充當向心力，故mmG12=m2r=m2rd2111222又知道+r2二d，解得廠m2d，m+m12mr二id，A錯誤；兩者的角速度相1m+m12vvvrmmm同，故有T二，即f二f二T，B錯誤；A星受到的引力為F二G十一，放在O點的星體對其的引力為rrvrmd212221mm'mmF'二G，兩者等效，則有G-i2二Gr2d21mm'i，代入r2一d可得mr21m+m112m3”2(m+m12，C正確；若在圓心mmmm處放一個質點，合力F=G一1°-G一2°r2r212Gm(m+m012d2、mm1

9、-2m2m2,21D錯誤.題型二追及問題原理的理解【例題】太陽系中某行星運行的軌道半徑為R，周期為T但科學家在長期觀測中發現，其實際運行的軌道與圓00軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t時間發生一次最大的偏離.天文學家認為形成這種現象的原因可能是該0彳丨tA.RR'(°)2oYtT00行星外側還存在著一顆未知行星，則這顆未知行星運動軌道半徑為()B.RR丄一0tT0123It-TD.R二R0o計t-T'00C.R=R4)2Mt0【解析】：由題意可知軌道之所以會偏離那是因為受到某顆星體萬有引力的作用相距最近時萬有引力最大偏離程度最大。設未知行星的周期為t貝y：tttT、

10、R3R33t牛01則T0以根據開普勒第三定律匚產得R=R,(0)2選ATTtTT2T20tT0000Y00類題訓練1】將火星和地球繞太陽的運動近似看成是同一平面內的同方向繞行的勻速圓周運動，已知火星的軌道半徑r二2.3X1011m，地球的軌道半徑為r二1.5x10口m，根據你所掌握的物理和天文知識，估算出火星與12地球相鄰兩次距離最小的時間間隔約為A.1年B.2年C.3年D.4年BAr3r3【解析】已知地球繞太陽的公轉周期為T=1年設火星的公轉周期為T根據開普勒第三定律古=亠得12T2T212rttTTT=T：(亠)3沁2年又根據二1化簡得t二r沁2年21r/一/11221【類題訓練2】如圖所

11、示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛星，運行方向相同，A為地球同步衛星，A、B衛星的軌道半徑的比值為k，地球自轉周期為T0.某時刻A、B兩衛星距離達到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠所經歷的最短時間為（）D.【答案】C解析】由開普勒第三定律得：$=，設兩衛星至少經過時間t距離最遠，即B比A多轉半圈,T2T2ABtt=nnTBA二2，又T二T,解得：t=2A0，故選項C正確。點睛：本題主要考查了開普勒第三定律的直接應用，注意只有圍繞同一個中心天體運動才可以使用開普勒第三定律?！绢愵}訓練3】如圖所示，A為太陽系中的天王星，它繞太陽0運行的軌道視為圓時，運動的軌道半徑為R。，周期為T。，長期觀測

12、發現，天王星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t0時間發生一次最大偏離，即軌道半徑出現一次最大根據萬有引力定律，天文學家預言形成這種現象的原因可能是天王星外側還存在著一顆未知的行星（假設其運動軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同），它對天王星的萬有引力引起天王星軌道的偏離，由此可推測未知行星的運動軌道半徑是（）tA.0Rt-To00B.C.R0D.R0【答案】Dttt-TT【解析】設未知的行星的周期為T,依題意有：希701，則00TTtT00根據開普勒第三定律：T2=善,聯立解得：/t0tTIto"o丿D正確，ABC錯誤.故選：Do【類題訓練4】如圖建筑是厄瓜多爾境內的“赤道紀念碑”。設某人造地球衛星在赤道上空飛行,衛星的軌道平面與地球赤道重合，飛行高度低于地球同步衛星。已知衛星軌道半徑為r,飛行方向與地球的自轉方向相同,設地球的自轉角速度為30,地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,某時刻衛星通過這一赤道紀念碑的正上方，該衛星過多長時間再次經過這個位置？（）2兀2兀2兀2兀A.Bc.-D.D!嚴2gR2+