1、淺談mathematics在復(fù)變函數(shù)中的一些應(yīng)用15051105趙楊摘要：數(shù)學(xué)是一門很抽象的學(xué)科，而復(fù)變函數(shù)更是如此，如果直接想象很難和實(shí)際聯(lián)系起來。經(jīng)過一學(xué)期的大學(xué)學(xué)習(xí)，就目前學(xué)習(xí)的知識(shí)和對(duì)于所了解的復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用而言，個(gè)人感覺和復(fù)變函數(shù)聯(lián)系比較緊密的是有兩方面，一是電流方面；二是在信號(hào)方面。我們?nèi)粘Ｖ械碾娏鞫际墙涣魅嗟模辔蝗绻ㄟ^三角函數(shù)計(jì)算的話較為復(fù)雜和抽象，很多工程問題無法解決，引入虛數(shù)則較大簡(jiǎn)化了計(jì)算的過程，是很多工程問題迎刃而解。本人認(rèn)為mathematics軟件對(duì)于復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)有很大幫助，所以本文把復(fù)變函數(shù)與積分變換和mathematics結(jié)合起來，把復(fù)雜繁瑣的計(jì)算交于計(jì)

2、算機(jī)，給人以更直觀的圖像感覺和更高的處理效率。關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)mathematics應(yīng)用目錄摘要1.圖目錄3.引言4.1 基本功能4.1.1 微分4.1.2 積分6.1.3 幕級(jí)數(shù)6.2特殊功能6.2.1 復(fù)變函數(shù)的分解6.2.2 路徑積分7.2.3 復(fù)變函數(shù)泰勒展開和洛朗展開8.2.4 留數(shù)計(jì)算103三維圖像1.1.4總結(jié)122.5 獻(xiàn)1.3圖目錄圖1正弦函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)5.圖2幕函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)5.圖3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)6.圖4復(fù)變函數(shù)的乘除與最初的分解7.圖5復(fù)變函數(shù)在mathematics中積分8圖6復(fù)變函數(shù)洛朗展開9.圖7洛朗展開函數(shù)圖像1.0圖8計(jì)算留數(shù)10圖9三維圖像繪制1.1引言數(shù)學(xué)是一門

3、很抽象的學(xué)科，而復(fù)變函數(shù)更是如此，如果直接想象很難和實(shí)際聯(lián)系起來。經(jīng)過兩年的大學(xué)學(xué)習(xí)就目前學(xué)習(xí)的知識(shí)而言，感覺和復(fù)變函數(shù)聯(lián)系比較緊密的是有兩方面，一是電流方面；二是在信號(hào)方面。我們?nèi)粘Ｖ械碾娏鞫际墙涣魅嗟模辔蝗绻ㄟ^三角函數(shù)計(jì)算的話較為復(fù)雜和抽象，很多工程問題無法解決，引入虛數(shù)則較大簡(jiǎn)化了計(jì)算的過程，是很多工程問題迎刃而解。可以通過RCL電路我們也用虛數(shù)去處理相角關(guān)系，但電感本身并不是虛的。這是人為的定義，但這也在一定意義上揭示了虛數(shù)有可能存在的某些物理特征。成功而且巧妙的解決了電流的相位問題。我們打電話，發(fā)短信是通過電磁波傳遞信號(hào)，在信號(hào)方面也極大的應(yīng)用了復(fù)變函數(shù)。信號(hào)分析和其他領(lǐng)域使

4、用復(fù)數(shù)可以方便的表示周期信號(hào)。模值|z度示信號(hào)的幅度，輻角arg(z)表示給定頻率的正弦波的相位。利用傅立葉變換可將實(shí)信號(hào)表示成一系列周期函數(shù)的和。這些周期函數(shù)通常用形式如下的復(fù)函數(shù)的實(shí)部表示：其中對(duì)應(yīng)角頻率，復(fù)數(shù)z包含了幅度和相位的信息。于是當(dāng)我們要的信息得以傳遞。所以，不管是我們使用家用電器，用手機(jī)問候遠(yuǎn)方的朋友，還是使用衛(wèi)星電視觀看電視劇，我們無時(shí)無刻不在接觸著這位很抽象而無處不在的朋友復(fù)變函數(shù)。數(shù)學(xué)軟件Mathematica的功能十分強(qiáng)大，使用非常簡(jiǎn)便，是我們進(jìn)行復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)的很好工具。Mathematica中與復(fù)變函數(shù)有關(guān)的命令，有許多與實(shí)變函數(shù)完全相同，例如微分、不定積分、幕級(jí)數(shù)展

5、開等，這些都為其基本功能，Mathematica在復(fù)變函數(shù)中還有許多特殊的功能。這些功能為我們學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)提供了很大的方便。1 基本功能1.1 微分在Mathematica中對(duì)復(fù)變函數(shù)f(z)求一階導(dǎo)數(shù)的命令是Dfz,z或者fz,以fz=sinz為例，用mathematics作圖如下口回1小工nm'wFun.UtiQn.SinhL-rjli-p1：口：:ktm-nfSini£!,i,1)11Cobz'm?-PlotCQsrzP(z,-2&,3S94P工6,3H94)J圖1正弦函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)的命令是Dfz,z,2或者f"z,以幕函數(shù)f(z)=z

6、9為例0r司=InvezseFuncticnFunetiozrIn3：工：j工:1NS-口【L9/f£j2l多元函數(shù)f(z,w)對(duì)自變量求一階偏導(dǎo)數(shù)fz(z,w)和fw(z,w)的命令分別是Dfz,w,z和Dfz,w,w,求二階偏導(dǎo)數(shù)fzz(z,w),fzw(z,w)和fww(z,w)的命令分別是Dfz,w,z,2,Dfz,w,z,w和Dfz,w,w,2。更高階導(dǎo)數(shù)的命令可以據(jù)此類推。ln30：=DSini*z/wfzf2i2Sin產(chǎn)”O(jiān)ut30=z-圖3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)1.2 積分在Mathematica中對(duì)函數(shù)求不定積分的命令是Integratefz,z,注意在復(fù)變函數(shù)中,只有解析函

7、數(shù)的不定積分才有意義。對(duì)函數(shù)f(z)從z1到z2求定積分的命令是Integratefz,z,z1,z2,在復(fù)變函數(shù)的情況下，定積分的路徑默認(rèn)為從起點(diǎn)z1到終點(diǎn)z2的線段。1.3 哥級(jí)數(shù)在Mathematica中把解析函數(shù)F(Z)在給定的zSo點(diǎn)展開為幕級(jí)數(shù)的命令是Seriesfz,z,z0,n,其中參數(shù)n表示展開式只顯示到自變量z的第n次幕.而一個(gè)已知的幕級(jí)數(shù)12n=oan(z-zo)n可以用命令Suman(z(z0)n,n,0,00來求和。其收斂半徑R可以用比值法來確定，公式為R=limn-00|an/an+1|相應(yīng)的Mathematica命令為L(zhǎng)imitAbsan/an+1,n-00.2特

8、殊功能2.1 復(fù)變函數(shù)的分解人們認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)的初期，是通過把它化為實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)2元實(shí)變函數(shù)的方法來進(jìn)行探索的。Mathematica提供了把復(fù)變函數(shù)f(z)分解為實(shí)部和虛部的命令ComplexExpandfx+yI。例如，要把復(fù)變函數(shù)sinz分解為實(shí)部和虛部，可以輸入ComplexExpandSinx+yI,輸出結(jié)果為CoshySinx+ICosxSinhy如果要分別得到實(shí)部和虛部，可以用下面的復(fù)合命令ComplexExpandRefx+yI和Complex-ExpandImfx+yI。3.3-35下面就以此乘法運(yùn)算，(1/2-('/2)I)3(-I)為例，我們體會(huì)一下復(fù)變函數(shù)運(yùn)算在

9、mathematics中的體現(xiàn)和mathematics軟件的強(qiáng)大計(jì)算能力。blzryfwwnui«4«rerfpiiiwt-4runih力prhwwmm色,電醫(yī)II力網(wǎng)-(VT/q(VTi)IF1I-n-VTti51/a嚀-1.73205*1.70998iin|jAbs-1.73205+1,70999iOuv|40=2.43393in4i2«43393P16Oll4iy/NumherFwrp2.433930512198?14圖4復(fù)變函數(shù)的乘除與最初的分解2.2 路徑積分在Mathematica中求定積分的命令I(lǐng)ntegrate可以用來計(jì)算以折線為路徑的積分。如果積

10、分路徑由點(diǎn)集z0,z1,z2,.,zn中的各點(diǎn)依次連接成的折線組成，則被積函數(shù)f(z)沿該路徑的積分為Integratefz,z,z0,z1,z2,.,zn.例如，我們沿折線路徑0,2,2+i對(duì)函數(shù)z2進(jìn)行積分，Mathematica命令為IntegratezA2,z,0,2,2+I,結(jié)果為23+11i3。IrvMHtFormalJI串a(chǎn)inEwkiab9nWrrin-2,439930512198914-IntegxatGz2(z#0212+I)11i沖國(guó)Nconverttoexponential0,666i667«3,6667iOuH5<j=圖5復(fù)變函數(shù)在mathematic

11、s中積分2.3復(fù)變函數(shù)泰勒展開和洛朗展開在Mathematica中泰勒展開的命令Series還可以對(duì)復(fù)變函數(shù)進(jìn)行洛朗展開。如果z0是函數(shù)fz的極點(diǎn)，則命令Seriesfz,z,z0,n可以把該函數(shù)在極點(diǎn)展開為洛朗級(jí)數(shù)。例如，我們把函數(shù)sinzz(z-1)在極點(diǎn)z=1展開，要求顯示到自變量的第4次幕，對(duì)應(yīng)的Mathematica命令為：SeriesSinz/z/(z-1),z,1,4fileEditInsertFormatCellGraphicfEvaluationPalettesWiixiowHelpMT“wrivarttoctxponentialO.6666S743.G6667iCMl3尸3

12、2676e113MWl中RSeries：Sinz)/z/(z-1)P(zf1f4Jl二：N-orELalS'""4(Cos1|-Sinl)+-Cos15Co*1Sinin,.、工5CosLJ13$lnlf-(z-1)+U+(=-1)62t1624/皿Csl竺名12024,;1D1Cds；1：13Sin；l.5Cos：1Sin；11.0u44«l-*.mJ-x(-1*z)*-Sinti：120J11I6251n：l',-5Cos：1313Sln：lma*-一/卜一萬一*一辦一I-n尸(t1101Camt)13SiriflISCoafllStnL!叫L

13、HPlotCOSII+1fi)*-+(-1+I)1-+1I12024iS2/*、/K*,SinflJ.I3Coal13Sinl&*,Siul(-14t)*-*t*l+z)3|-*-Sinl)+-.t$II6£4I,e8>圖6復(fù)變函數(shù)洛朗展開結(jié)果為sin(1)z-1+(cos(1)-sin(1)+(-cos(1)+sin(1)2)(z-1)+(5cos(1)6-sin(1)2)(z-1)2+(-5cos6-13sin(1)24)(z-1)3+(101cos120-13sin(1)24)(z-1)4+O(z-1)5.最后一項(xiàng)表示還有未顯示的更高次幕。當(dāng)然，mathemati

14、cs還有強(qiáng)大的自動(dòng)繪圖功能，上面洛朗展開函數(shù)圖像如下用標(biāo)EdhiMtrlFwmlMGr«pHcsEv置kiitimPalrftes慚HmwHelp"1+(-1*!)*1M-aij+(-1+1)I(-jj*4-1*»)+.JT-l+F*5c«llJa|-3（4*"*叫陪4誓2卜1/*叫等1-呼）*-1*升6（1卜于卜-'*力，卜：帆不；|中圖7洛朗展開函數(shù)圖像2.4留數(shù)計(jì)算Mathematica還提供了計(jì)算留數(shù)的命令.我們可以用Residuefz,z,z0計(jì)算復(fù)變函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)的留數(shù)值。例如，我們要求函數(shù)在sinzz(z-1)z=1

15、點(diǎn)的留數(shù)，對(duì)應(yīng)的Mathematica命令為：ResidueSinz/z/(z-1),z,1in45；=ResiduefSinzZz/(z,1Out4s>Sin:1:mg=HsLn1Out(oj=0.841471ir*v=NamberForm0*841471f16OulfSINumbefForrn*0.84147098807897圖8計(jì)算留數(shù)結(jié)果為Sin103三維圖像如下圖Mathematics除了能作出二維圖像之外，還有強(qiáng)大的繪制三維圖像的功能Untitled1*WollramMdthcmatkdW.OFileEditInsertFqrm.tflGf中EvIuMiqe口迎WindowHepPAXUAtticPlatSDCo>v.Si.a'rE*p-£«*？工.(u,Oj4)PLqiTHw->-3cUntificprP19tP»nt>20rorRtiar-»(1,lrO.fl)rlBoxed-»F.Axes*False圖9三維圖像繪制4總結(jié)上面的介