1、圖像處理中的數學方法實驗報告學生姓名：趙芳舟教師姓名：曾理學院：數學與統計學院專業：信息與計算科學學號：20141914聯系方式度和拉普拉斯算子在圖像邊緣檢測中的應用一、數學方法邊緣檢測最通用的方法是檢測灰度值的不連續性，這種不連續性用一階和二階導數來檢測。1 .（1）一階導數：一階導數即為梯度，對于平面上的圖像來說，我們只需用到二維函數四的梯度，即：Vf=O;，該向量的幅值：Vf=mag（Vn=4-1g21/Prewitt邊緣檢測器;使用卜圖所示模板來數字化地近似一階導數。與Sobel檢測=K8/7dx）2+g/70y）2i/2,為簡化計算，省略上式平方根，得到近似

2、值+城:或通過取絕對值來近似，得到：以、|必|+。，|。（2）二階導數：二階導數通常用拉普拉斯算子來計算，由二階微分構成：巧(x,y)巧(”)dx2dy22 .邊緣檢測的基本思想:（1）尋找灰度的一階導數的幅度大于某個指定閾值的位置:（2）尋找灰度的二階導數有零交叉的位置。3 .幾種方法簡介（1） Sobel邊緣檢測器：以差分來代替一階導數。Sobel邊緣檢測器使用一個3X3鄰域的行和列之間的離散差來計算梯度，其中，每行或每列的中心像素用2來加權，以提供平滑效果。俳一成+醉-U(z./+2Zb+Zg)(z1+2zz+z3)2+93+2Z6+Z9)-+2Z4+為)21/2-121000121-1

3、01102-101器相比，計算上簡單一些，但產生的結果中噪聲可能會稍微大一些。9x=(%+28+為)-(Zi+Z2+Z3)9y=(Z3+Z6+Z9)(Z-Z4-Z7)-1101-101(3)Roberts邊：己用下圖所示模板來數字化地將一階導數近似為相曲像素之間的差，它與前述檢測器相比功能有限(非對稱，且不能檢測多種45倍數的邊緣)。9xz9z59y=Z8-Ze-10010-110(4)Laplace邊緣檢測器：.維函數f(x,y)的拉普拉斯是一個二階的微分定義:模板算子可分為四鄰域和八鄰域，如卜.:0101-41010(四鄰域)（八鄰域）（5） LoG邊緣檢測器由于

4、噪聲點（灰度與周鬧點相差很大的像素點）對邊域檢測有一定的影響，所以效果更好的是LoG算子，即Laplacian-Guass算子。引入高斯函數來平滑噪聲：G(%y)=一2。%該函數的Laplace算子:Bg（“）02G(x,y)82G(x,y)x2+ydx2-2a2dy2e2(jz它把Guass平滑濾波器和Laplace銳化濾波器結合起來，先平滑掉噪聲，再進行邊緣檢測，所以效果比單用Laplace算子要更為平滑，效果更好。（6） Canny邊緣檢測器主要分為以下幾個步驟：使用具有指定標準差的一個高斯濾波器來平滑圖像，以減少噪聲；在每個點處計算局部梯度和邊緣方向；對步驟中確定的邊緣點產生梯度中的脊

5、線頂部進行追蹤，并將實際山不在脊線頂部的像素設置為零，從而在輸出中給出一條細線（非最大值抑制），然后使用滯后閾值處理法對這些脊線像素進行閾值處理。最后進行邊緣連接。二、實驗結果原始圖像:l.Roberts算子Rotertw2.Prewitt算子JR用Pewrnx了處js后陽體S.Sobel算子4.Laplace算子I垂Figure2FiteEditViewl”rtTooUDtklopWindowHelp.fl*MMIcJUaA%非檢歸乂,3Slaplaco功球圖像（4鄰域）38鄰域）5.LoG四種結果的比較：（L叩lace采用8鄰域模板）Prewitt算子處理后圖像Robert算子處理后國像n

6、ttp:/591.html（網行天下首頁“設計圖庫“文化藝術插畫集：牧羊犬灰度）圖像規格：800X677格式：SVG模式：RGB硬件條件：Windows悵衣Wndows10專皿標2016MicrosoftCorporation.辱翟所色權女L83WindowslO系統旬造商：d集環宇送達科技有限公司型號更反大學tsan工專用版irtel(R)Core(FM)i5-321OMCPU2503Hz2.50GHz巳玄笠的內存RAM上券匚依堂；4.00GB54臺作王統，基于x64的處理器:殳有可用于此顯示器的筆或班茹人軟件條件：運行環境：Matlabr2015b三、討論1 .各方法優缺點及比較：(1)

7、Roberts算子：Roberts算子是2X2算子，為具有陡峭的低噪聲圖像響應最好，并且檢測垂直邊緣的效果好于斜向邊緣，定位精度高。然而，它對噪聲敏感，無法抑制噪聲的影響。因此，它適用于邊緣明顯且噪聲較少的圖像分割。(2) Prewitt算子：Prewitt算子將兩個點的各自一定領域內的灰度值求和，并根據兩個灰度值和的差來計算x,y的偏導數。它是平均濾波，對噪聲有抑制作用，對于灰度漸變的低噪聲圖像仃較好的檢測效果，但是像素平均相當于對圖像的低通漉波，所以它對邊緣的定位不如Roberts算子。對于混合多復雜噪聲的圖像，效果不太理想。(3) Sobel算子：Sobel算子是漉波算子的形式，用于提取

8、邊緣，可以利用快速卷積函數，簡單有效，因此應用廣泛。美中不足的是，Sobel算子并沒有將圖像的主體與背景嚴格地區分開來，即Sobel算子沒有嚴格地模擬人的視覺生理特征，所以提取的圖像輪廓有時并不能令人滿意。(4) Laplace算子：Laplace算子是一種各向同性算子，在只關心邊緣的位置而不考慮其周圍的象素灰度差值時比較合適。Laplace算子對孤立蓼素的響應要比對邊緣或線的響應要更強烈，因此只適用于無噪聲圖象。存在噪聲情況下，使用Laplacian算子檢測邊緣之前需要先進行低通濾波。(5) LoG算子：由于二階導數是線性運算，利用LoG卷積一幅圖像與首先使用高斯型平滑函數卷枳改圖像，然后計

9、算所得結果的拉普拉斯是一樣的。所以在LoG公式中使用高斯函數的目的就是對圖像進行平滑處理，使用Laplacian算子的目的是提供-幅用零交叉確定邊緣位置的圖像：圖像的平滑處理減少了噪聲的影響并且它的主要作用還是抵消由Laplacian算子的二階導數引起的逐漸增加的噪聲影響。(6) Canny算子：是一個具有濾波,增強和檢測的多階段的優化算子，在進行處理前,Canny算子先利用高斯平滑濾波器來平滑圖像以消除噪聲，Canny分割算法采用階偏導的有限差分來計算梯度的幅值和方向。在處理過程中，Canny算法還將經過一個非極大值抑制的過程。最后Canny算法將采用兩個閾值來連接邊緣。高定位精度、低誤判率

10、、抑制虛假邊緣，適用于高噪聲圖像。四、實際應用1、概述：圖像邊緣檢測廣泛應用于車牌識別，人臉識別，地震帶檢測，生物醫療以及產品外觀檢測等方面。為了體現其實際應用，在此針對車牌識別來進行實驗，實驗流程如下：灰度處理均值濾波3、實驗結果原圖像：FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp口目Heib娟/，|國|口國|口灰度圖直方圖灰搜圖0218灰度處理:將彩色圖像轉化為灰度圖像，縮小圖片占用的空間，減少處理時間，figure5FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp3dfe、，爭也W4息口國|口平滑圖像的輪廓FileEdi

11、tViewInsertToolsDesktopWindowHelpdd踮曝X2國口國Roberts算子檢測后圖像邊緣檢測：車牌區域的邊緣信息一般比其他部分豐富且集中，只要背景不太復雜，沒有過多卜擾.邊緣特征可將車牌區域與其他部分區別開來，從而消除圖像中的無關信息。KFigure4FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelpad耍乂豆國國腐蝕后圖像腐蝕和膨脹：腐蝕可以分割獨立的圖像元素，膨脹用于連接相鄰的元素，更加利了圖像的分割FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp口目口金酸踮相居學口因西13O.bmp0backbmP

12、456l.bmp2.bmp3.bmp12.bmp13.bmp14.bmp15.bmp16.bmp24.bmp25.bmp37.bmp國38.bmp回50.bmp圜51.bmp26.bmpbid39.bmp成52.bmp27.bmp以40.bmpsr53.bmp28.bmp41.bmpa54.bmpTHIII61.bmp62.bmp63.bmpE3周64.bmp65.bmp最后將車牌號分割成七個單個字符，建立模板庫，與其進行配對，最終得出結果雨Figure10FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp日百金占4陽-冬4乂r口回rs國車牌號碼：胤N02181五

13、、程序介紹(1) Roberts邊緣檢測clear;sourcePic=imread(9C:Users34899Desktoptimg.jpg9);*讀取原圖像grayPic=mat2gray(sourcePic);%實現陽僮矩陣的”。化操作mfn=size(grayPic);newGrayPic=grayPic;*為保iW像的邊界一個像素robertsNum=0;roberts算子計算得到的每個像素的值robertThreshold=0.2;%段定閾值for+進行邊界提取fork=l:n-lrobertsNum=abs(grayPic(jfk)-grayPic(j+lfk+l)+abs(gr

14、ayPic(j+lfk)-grayPic(j,k+1);if(robertsNumrobertThreshold)newGrayPic(jfk)=255;elsenewGrayPic(jfk)=0;endendendsubplot(lf2f1);imshow(sourcePic);title(r;subplot(1,2,2);imshow(newGrayPic);title(9Robert/處理后國像，);(2) Prewitt邊緣檢測clear;sourcePic=imread(fC:Users34899Desktoptimg.jpg1);%；、圖像grayPic=ma12gray(sour

15、cePic);%更現圖像屹科的/化投仆mfn=size(grayPic);newGrayPic=grayPic;*為保情圖像的邊緣一個緣素PrewittNum=0;舍*Prewi11ffr計算得到的每1、像素的值Prewi11Threshold=0.5;*i殳定閾值forj=2:m-l*進行邊界提取fork=2:n-lPrewittNum=abs(grayPic(jT，k+1)-grayPic(j+1,k+1)+grayPic(j-lfk)-grayPic(j+lfk)+grayPic(j-l,k-1)-grayPic(j+lfk-l)+abs(grayPic(j-lfk+l)+grayPic

16、(jfk+l)+grayPic(j+l/k+1)-grayPic-grayPic(jfk-l)-grayPic(j+lfk-l);if(PrewittNumPrewi11Threshold)newGrayPic(jfk)=255;elsenewGrayPic(jfk)=0;endendendsubplot(1,2,1);imshow(sourcePic);title(，原圖;subplot(1,2/2);imshow(newGrayPic);title(9Prewitt算廣處理圖像;(3) Sobel邊緣檢測clearall;closeall;imag=imread(fC:Users34899

17、Desktoptimg.jpg1)；+讀取關鍵幀imag=rgbZgray(imag);*轉化為灰度圖subplot(lr2,1);imshow(imag);title(原圖)；high,width=size(imag);%獲得圖像的高度和寬度F2=double(imag);U=double(imag);uSobel=imag;fori=2:high-1+sobel邊緣檢測forj=2:width-1Gx=(U(i+1,j-1)+2*U(i+l,j)+F2(i+lrj+1)-(U(i-lrj-1)+2*U(i-l,j)+F2(i-1,j+1);Gy=(U(i-lrj+1)+2*U(i,j+1)

18、+F2(i+1,j+L)-(U(i-1,j-1)+2*U(i,j-1)+F2(i+1,j-1)；uSobel(i,j)=sqrt(Gx人2+Gy人2);endendsubplot(1,2,2);imshow(imZuint8(uSobel):title(1Sobel邊緣檢測、，)；(4) Laplace邊緣檢測主函數：f=imread(9C:Users34899Desktoptimg.jpg9)fGray=rgb2gray(f);figure()imshow(fGray)ftitle(9灰度圖像D;fGray=double(fGray);T=60;LapModType=8laplace楨板方式

19、fLapEdge=LaplaceEdge(fGrayfLapModTypefT);fGrayLapEdge=uint8(fLapEdge);figure()iinshow(fLapEdge)ftitle(9laplace邊緣圖像);四鄰域算子和八鄰域算子functionfLapEdge=LaplaceEdge(fGrayfMoldType,Thresh)%參數介紹%輸入參數:%fGray；輸入的灰度圖像%MoldType:模板類型,包括四鄰域和八鄰域%Thresh:邊緣檢測閾值會輸出參數:%fEdge:邊緣像素點,存儲的是二值化圖像r,c=size(fGray);fLapEdge=zeros(

20、r,c);*四鄰域拉普拉斯邊緣檢測算子if4=M。1dTypefori=2:r-lforj=2:c-lTemp=-4*fGray(ifj)+fGray(i-1,j)+fGray(i+1,j)+fGray(i-j-l)+fGray(ifj+1);ifTempThreshfLapEdge(ifj)=255;elsefLapEdge(i,j)=0;endendendend%A鄰域拉普拉斯邊緣檢測算子if3=MoldTypefori=2:r-1forj-2:c-1Temp=-8fGray(ifj)+fGray+fGray(i+lfj)fGray(ifj-l)+fGray(ifj+1)+fGray(i-

21、l,j-l)+fGray(i+lfj+1)+fGray-1)+fGray(i-l,j+l);ifTempThreshfLapEdge(ifj)=255;elsefLapEdge(i,j)=0;endendendEnd(5) 拉普拉斯一高斯檢測器clc;clearall;closeall;hsize=55;sigma=0.5;h=fspecial(flog1,hsize,sigma);I=imread(1C:Users34899Desktoptimg.jpgf)；bw=imfilter(Irh,1replicatef);figure;subplot(lr二，1);imshow(，);title(

22、原圖像1Fontweightf9fBold1);subplot(lr2,2);imshov7(bv7r);title(,邊緣圖像3fFontweightf91Bold1);(6) Canny算子tic%記錄CPU使用時間，開始計時I=imread(1C:Users34899Desktoptimg.jpgf)；%讀入圖像I=rgb2gray(I);%轉化為灰色圖像%figure/imshow(I);title(fJjjlIH1)%顯示原圖像%a=imZsingle(I);%將圖像矩陣轉換為單精度類型%a=im2uint8(a);%將圖像矩陣轉換為8位無符號整數類型%I=uintl6(I);%8位

23、無符號整數轉化為16位無符號整數+mat1ab的高斯平滑row,line=size(I);%行歹ijtemp=zeros(rov,+8rline+8);%中請空間imagedata=zeros(row,line);%申請空間%高斯核計算，核大小為9*9GaussianDieOff=.0001;sigma=1;pw=1:30;%possiblewidthsssq=sigmaA2;width=find(exp(-(pw.*pw)/(2*ssq)GaussianDieOffzlrflast1);ifisempty(width)width=1;%theuserenteredareallysmallsi

24、gmaendt=(-width:width);gau=exp(-(t.*t)/(2*ssq)/(2*pi*ssq);kernel=gauf*gau;%高斯核,大小為六9kernel=im2single(kernel);%圖像邊緣復制forq=5:row+4%首先載入源圖像信息forp=5:line+4temp(qfp)=I(q-4rp-4);endendforq=1:row+8%復制歹ij5:JLine+4forp=5:line+4if(qrow+4)temp(q,p)=temp(ro,w+4zp);endendendforq=1:row+8%&制行1:row+8forp=1:line+8if

25、(Pline+4)temp(qrp)=temp(qfline+4);endendendforq=1:row%高斯卷積forp=1:lineforn=1:9form=1:5imagedata(qrp)=imagedata(q,p)+kernel(nrm)*temp(q+n-lrp+m-1);endendendend+matlab的高斯平滑說明結束*matlab求梯度dx=zeros(size(I);%申請空間,存放x方向的幅值dy=zeros(size(I);*申請空間，存放y方向的幅值x，y=meshgrid(-width:widths-width:width);dgau2D=-x.*exp(

26、一(x.*x+y.*y)/(2*ssq)/(pi*ssq);%核%圖像邊緣復制forq=5:row+4%首先載入源圖像信息forp=5:line+4temp(qfp)=imagedata(q-4,p-4);endendforq=1:row+8%復制歹ij5:JLine+4forp=5:line+4if(qrow+4)temp(qrp)=temp(ro,w+4zp);endendendforq=1:row+8%&制行Lrow+8forp=1:line+8if(Pline+4)temp(qrp)=temp(qfline+4);endendendforq=1:row%x方向卷枳forp=1:line

27、forn=1:9form=1:9dx(q,p)=dx(qfp)+dgauZD(nfm)temp(q+n-lzp+m-1);endendendenddgau2D=dgau2Df;forq=1:row%y方向卷枳forp=1:lineforn=1:5form=1:9dy(qfp)=dy(qzp)+dgauZD(n,m)*temp(q+n-lzp+m-1);endendendend+matlab+自Jiy計value=sqrt(dx.2+dy.2);%幅值value=double(value);value=value/max(max(value);%心一化temp_value=value;count

28、s=imhist(value,64);high_threshoid=find(cumsum(counts)0.7*row*liner1,ffirstT)/64;lov/_threshold=0.4*high_threshold;%低閾值clearcounts+自Jv/閾j+算j|i+方向與閾值判別num=0;%當前堆棧個數flag=zeros(80000r2);%堆棧temp_flag=zeros(80000,2);%臨時堆棧imagedata=zeros(rowfline);%初始化%方向：%。為0-45%1為45090%2為90-135*3為13S0-1800direction=zeros

29、(size(I);%W請空間，行旅小于高閾值而大于低閾值forq=2:row-1forp=2:line-lif(dy(qrp)-dy(qfp)|I(dy(qrp)=0&dx(q,p)0&-dy(q,p)=dx(q,p)|(dx(q,p)0&-dy(q,p)=dx(q,p)d=abs(dx(qfp)/dy(qrp);%450方向gradmag=temp_value(q,p);gradmagi=temp_value(q-1；p)*(1-d)+temp_value(q-lrp+1)*d;gradmag?=temp_value(q+1/p)*(1-d)+temp_value(q+lrp-1)*d;el

30、seif(dx(qrp)dy(qrp)|(dx(qzp)=0&dx(q,p)dy(q,p)d=abs(dx(qfp)/dy(qrp);%90135方向gradmag=temp_value(q,p);gradmagi=temp_value(q-1/p)*(1-d)+temp_vaiue(q-lrp-1)*d;gradmagZ=temp_value(q+lzp)*(1-d)+temp_value(q+lrp+1)*d;elseif(dy(qrp)0&dx(q,p)0&dx(q,p)=dy(q,p)d=abs(dy(qrp)/dx(qrp);%13518CT方向gradmag=temp_value(

31、q,p);gradmagi=temp_value(qrp-1)*(1-d)+temp_value(q-lrp-1)*d;gradmag二=temp_value(qfp+1)*(1-d)+temp_value(q+lzp+1)*d;endif(gradmag=gradmagl&gradmag=gradmag2)if(gradmag=high_threshold)%高閾值判別value(qfp)=255;elseif(gradmag=low_threshold)%低閾值判別value(q,p)=125;elsevalue(q,p)=0;%小于低閾值endelsevalue(q,p)=0;%非極大值

32、抑制endendendforq=2:row-1%高閾值判別，檢荏高閾值鄰域8個方向范圍內是否存在低閾值forp=2:line-1if(value(q,p)=255)imagedata(q,p)=255;if(value(q-l,p-1)=125)value(q-lrp-1)=255;imagedata(q-lzp-1)=255;if(q-11)&(p-11)num=num+1;flag(numz1)=q-1;flag(num,2)=p-1;endendif(value(q-lrp)=125)value(q-lrp)=255;imagedata(q-Lp)=255;if(q-11)num=num

33、+1;flag(num,1)=q-1;flag(num,2)=p;endendif(value(q-lrp+l)=125)value(q-1/p+1)=255;imagedata(q-lfp+1)=255;if(q-11)&(p+11)num=num+1;flag(num,1)=q;flag(num,2)=p-1;endendif(value(qfp+1)=125)value(qfp+1)=255;imagedata(qrp+1)=255;if(p+1line)num=num+1;flag(num,1)=q;flag(num,2)=p+1;endendif(value(q+lfp-l)=125

34、)value(q+lrp-1)=255;imagedata(q+1/p-1)=255;if(q+1row)&(p-11)num=num+1;flag(num/1)=q+1;flag(num,2)=p-1;endendif(value(q+lrp)=12S)value(q+lrp)=255;imagedata(q+1/p)=255;if(q+1row)num=num+1;flag(num/1)=q+1;flag(num,2)=p;endendif(value(q+1,p+1)=125)value(q+lrp+1)=255;imagedata(q+lrp+1)=255;if(q+1row)&(p+

35、11)&(p-11)num=num+1;temp_flag(numz1)=q-1;temp_flag(numf2)=p-1;endendif(value(q-lrp)=125)value(q-lFp)=255;imagedata(q-lrp)=Z55;if(q-11)num=num+1;temp_flag(num,1)=q-1;temp_flag(numf2)=p;endendif(value(q-lrp+1)=125)value(q-lrp+1)=255;imagedata(q-lfp+1)=255;if(q-11)&(p+11)num=num+1;temp_flag(numf1)=q;te

36、mp_flag(numr2)=p-1;endendif(value(qrp+1)=125)value(qrp+1)=255;imagedata(q,p+1)=255;if(p+1line)num=num+1;temp_flag(num,1)=q;temp_flag(numf2)=p+1;endendif(value(q+lrp-1)=125)value(q+lrp-1)=255;imagedata(q+lrp-1)=255;if(q+11)num=num+1;temp_flag(numf1)=q+1;temp_flag(numr2)=p-1;endendif(value(q+1,p)=125)

37、value(q+lrp)=Z55;imagedata(q+lfp)=255;if(q+1row)num=num+1;temp_flag(numr1)=q+1;temp_flag(numf2)=p;endendif(value(q+1,p+1)=125)value(q+lrp+1)=255;imagedata(q+lfp+1)=255;if(q+1row)&(p+1robertThreshold)12(3)=255;elsel2(j,k)=O;endendendfigure (3) ,imshov?(l2);title(fRoberts算:檢測后圖像f;se=l;1;1;I3=imerode(I

38、2fse);figure (4) ,imshov?(l3);title(，腐蝕后圖像，);se=strel(1rectangle1,25r25);I4=imclose(I3fse);figure (5) ,imshow(I4);title(f平沿圖像的輪廓D;I5=bwareaopen(I4r2000);%figure(6),mesh(15);title(f從對象中移除小對象，);y,x,z=size(15);myl=double(15);ticBlue_y=zeros(y,1);fori=l:yforj=l:xif(myI(i,j,1)=1)Blue_y(i,1)=Blue_y(ir1)+工

39、；監色像索點統計endendendtempMaxY=max(Blue_y);%Y方向彳制區域確定PYl=MaxY;while(Blue_y(PYlr1)=5)&(PY11)PY1=PY1-1;endPY2=MaxY;while(Blue_y(PY2f1)=5)&(PY2y)PY2=PY2+1;endIY=I(PY1:PY2,:,:);%X方向%Blue_x=zeros(1,x);%Jit步確定x方向的仁牌區域forj=l:xfori=PYl:PY2if(myI(i/j,1)=1)Blue_x(lrj)=Blue_x(lrj)+1;endendendPX1=1;while(Blue_x(lfPX1)3)&(PXlx)PX1=PX1+1;endPX2=x;whil