1、專題七數(shù)學(xué)思想方法第18講分類討論思想（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書（文）、（理）6164頁(yè)）分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)策略.分類原則：（1）所討論的全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”；（2）在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（3）對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí).討論的基本步驟：（1）確定討論的對(duì)象和討論的范圍（全域）；（2）確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類；（3）逐步討論（必要時(shí)還得進(jìn)

2、行多級(jí)分類）；（4）總結(jié)概括，得出結(jié)論.引起分類討論的常見因素：（1）由概念引起的分類討論；（2）使用數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理和公式時(shí)，其限制條件不確定引起的分類討論；（3）由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論；（4）由圖形的不確定性引起的分類討論；（5）對(duì)于含參數(shù)的問題由參數(shù)的變化引起的分類討論.簡(jiǎn)化和避免分類討論的優(yōu)化策略：（1）直接回避如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等有時(shí)可以避開繁瑣討論；（2）變更主元如分離參數(shù)、變參置換等可避開討論；（3）合理運(yùn)算如利用函數(shù)奇偶性、變量的對(duì)稱、輪換以及公式的合理選用等有時(shí)可以簡(jiǎn)化甚至避開討論；（4）數(shù)形結(jié)合利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對(duì)稱特點(diǎn)有時(shí)可以簡(jiǎn)化甚至避開討論.注：

3、能回避分類討論的盡可能回避.=基礎(chǔ)訓(xùn)練.1. 一條直線過點(diǎn)（5,2）且在x軸、y軸上截距相等，則該直線方程為答案：2x5y=0或x+y7=0解析：分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況.rx,x>0,22. 已知函數(shù)f（x）=f2則關(guān)于x的不等式f（x）>f（32x）的解集是x，x<0,答案：（a,3）U（1,3）2x>0,32x<0,解析：題意即為2或彳22解得x<3或1<x<2或2<x<3,故不等式的解集為（一a,3）U（1,3）3. 函數(shù)f（x）=ax2a（a+1）x+；（a+1）的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是>32x,

4、x>（32x）,3答案：Owawl解析：21由題知axa(a+1)x+(a+1)>0對(duì)xR恒成立，分a=0和a>0兩種情況討論.2*4.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S=2n+n+r(nN)，則其通項(xiàng)an=答案：3+r,n=1,an】*4n1,n>2且nN解析：在使用公式an=SnSn-1時(shí)要注意條件n>2,nN.題型一三角題中對(duì)角范圍的討論解:在厶ABC中，已知sinB=,154，sinB=,15a=6,b=8，求邊c的長(zhǎng).avb,若B為銳角，則cosB=4，由余弦定理得22b=c+36-2X6XcxcosB=64,22b=c+362x6xcxcosB=64,(注：在三角

5、形中，內(nèi)角的取值范圍是即c2-3c28=0,ac=7;若B為鈍角，貝UcosB=-4,由余弦定理得即c2+3c28=0,ac=4,故邊c的長(zhǎng)為7或4.1(0,n),b>a,cosB=±4貝UB可能是銳角也可能是鈍角,故要分兩種情況討論)黑弍訓(xùn);已知ABC的內(nèi)角A的大小為120°，面積為-3.(1) 若AB=22，求ABC的另外兩條邊長(zhǎng)；(2) 設(shè)OABC的外心，當(dāng)BC=21時(shí)，求AO-BCC勺值.解：(1)設(shè)厶ABC的內(nèi)角AB、C的對(duì)邊分別為a、b、c,于是3=bcsinA=-bc，所以bc=4.因?yàn)閏=AB=2寸2，所以b=CA=2.由余弦定理得BC=a=b2+c2

6、2bccosA=,b2+c2+4=2+8+4=14.(2)由BC=21得b2+c2+4=21,即b2+晉17=0,解得b=1或4.設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則心啟DO,因?yàn)?為厶ABC的外心，所以DO>-BC=0,22AAAAAAA1AAAA1AAbC于是AO-BC=(AD+OD-BC=AD-BC=?(AB+AC)(ACA=?(ACAB=所以當(dāng)b=1時(shí),c=4,AO-BC=152；當(dāng)b=4時(shí),AO-BC=b2c215題型二求函數(shù)最值時(shí)對(duì)所含參數(shù)的討論2、,例2函數(shù)f(x)=x2ax+1在區(qū)間1,1上的最小值記為g(a)，求:(1)g(a)的解析式;g(a)的最大值.解：(1)f(x)=x22ax

7、+1=(xa)2+1a2.當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)增，g(a)=f(x)min=f(1)=2+2a;當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在1,1上單調(diào)減，g(a)=f(x)min=f(1)=22a;當(dāng)一1vav1時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x=a,g(a)=f(x)min=f(a)=1a2.綜上，g(a)=22a,a>1,2S1a，1vav1,2+2a,aw1.(2)當(dāng)a>1時(shí)，g(a)=22a單調(diào)減，g(a)max=g(1)=0；當(dāng)一1vav1時(shí)g(a)=1a,g(a)max=g(0)=1;當(dāng)aw1時(shí)，g(a)=2+2a單調(diào)增，g(a)max=g(1)=0.綜

8、上，g(a)的最大值為1.解關(guān)于x的不等式亠>1(aR且1).解：原不等式可化為(a1)x+(2a)x2當(dāng)a>1時(shí)，原不等式與x2)>0同解.由于原不等式的解為a2肓u(2，").當(dāng)av1時(shí)，原不等式與av0,1a1v1v2,若a=0時(shí)，11=1了占=2,解集為；若0vav1,1=1/占>2，解集為i2,綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)不等式解集為一汽#U(2,+);當(dāng)0vav1時(shí)，解集為2,2；當(dāng)a=0時(shí)，解集為;當(dāng)av0時(shí)，解集為i1,2.題型三數(shù)列計(jì)算(或證明)時(shí)對(duì)公差或公比的討論例3設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和S>0(n=1,2,).求q的取值范

9、圍；設(shè)bn=an+2an+1,記bn的前n項(xiàng)和為Tn，試比較S與Tn的大小.解：(1)因?yàn)閍n是等比數(shù)列，S>0，可得ai=S>0,qM0.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=nai>0;當(dāng)ql時(shí)，Sn=ai(1qn)1q>0,即>0(n=1,2,3，),1q>0,1qn>0(n=1,2,3,)或1*0n/、1q<0(n=1,2,3，)由于n可為奇數(shù)，可為偶數(shù)，故q>1或1<q<1且qM0.綜上，q的取值范圍是(一1,0)U(0,+).22(2)-bn=an+2an+1=-q)Sn.2TnSn=(qq1)Sn=又Sn>0,1<q<

10、;0或q>0,當(dāng)一1<q<q>1£時(shí)Tn>S;當(dāng)<q<0或0<q<時(shí)，Tn<Sn；當(dāng)q=1±-5時(shí)，Sn=Tn.(注：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)的和是數(shù)列的基礎(chǔ)，已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)時(shí)，對(duì)n=1與n2要分別予以研究，而涉及等比數(shù)列求和或用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要對(duì)公比q是否為1進(jìn)行分類討論.)題型四在用導(dǎo)數(shù)處理問題時(shí)，不論是整體處理還是轉(zhuǎn)化處理都要對(duì)字母取值范圍討論，使問題的轉(zhuǎn)化等價(jià)3例4已知函數(shù)f(x)=(m3)x+9x.(1) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(8,+)上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；(2) 若函數(shù)f

11、(x)在區(qū)間1,2上的最大值為4，求m的值.解：(1)因?yàn)閒'(0)=9>0,所以f(x)在區(qū)間(一8,+8)上只能是單調(diào)增函數(shù).由f'(x)=3(m3)x+9>0在區(qū)間(8,+8)上恒成立，可知m>3.故m的取值范圍是3,+8).5(2)當(dāng)m>3時(shí)，f(x)在1,2上是增函數(shù)，所以f(x)max=f(2)=8(m3)+18=4，解得m=才<3,不合題意，舍去.當(dāng)m<3時(shí),所以f(x)單調(diào)減.39當(dāng)、2,即4<m<3時(shí)，1,2,m,所以f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)增,5f(x)max=f(2)=8(m3)+18=4,解得m=4,不滿

12、足題設(shè)要求.39當(dāng)1<3m<2,即0<m<4時(shí)，ma=0工4舍去.當(dāng)m<1,即m<0時(shí)，則1,23市+8所以f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)減，f(x)max=f(1)=6=4,解得mi=2.綜上所述：m=2.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,+)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)=h(x)(xax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).設(shè)函數(shù)f(x)b12=lnx+申(x>1)，其中b為實(shí)數(shù).(1)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);求函數(shù)f(x)的

13、單調(diào)區(qū)間.(1)1b+21證明：f'(x)=x(x+1)2=x(x+1)2(xbx+1)./x>1時(shí),1h(x)=x(x+1)2>0恒成立,函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b).解：設(shè)20(x)=xbx+1=b2b2x2+1-70(x)與f'(x)的符號(hào)相同.>0,故此時(shí)f(x)在區(qū)間(1,+)上遞增;當(dāng)1牛>0，即一2vbv2時(shí)，0(x)>0,f'(x)當(dāng)b=±2時(shí)，對(duì)于x>1,有f'(x)>0，所以此時(shí)f(x)在區(qū)間(1,+8)上遞增；b當(dāng)bv2時(shí)，0(x)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=1，而0(0)=1.對(duì)于x>

14、1,總有0(x)>0,f'(x)>0,故此時(shí)f(x)在區(qū)間(1,+8)上遞增；bb+寸b4blb4當(dāng)b>2時(shí)，0(x)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=2>1，方程0(x)=0的兩根分別為2廣2=b+：b24(0，1).2當(dāng)xb+、b242時(shí)，0(x)v0,f'(x)v0,故此時(shí)f(x)在區(qū)間1,b+24上遞減;同理得f(x)在區(qū)間b+J-(2014上海卷)已知曲線C:x=-4y2,直線l:x=6.若對(duì)于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和I上的點(diǎn)Q使得店AQ=0,貝Um的取值范圍為答案：2,3解析：由AP+AQ=0知A是PQ的中點(diǎn)，設(shè)P(x,y)，則Q(2m-x,-

15、y)，由題意一2<x<0,2m-x=6,解得2<me3.所以sina+cosa=(sin,+m上遞增綜上所述，當(dāng)bW2時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,+)上遞增;當(dāng)b>2時(shí)，f(x)在1,b+E上遞減，在b+密4,+m上遞增1.(2014上海卷)已知f(x)2(xa),x<0,1若f(0)是f(x)的最小值，貝Ua的取值范圍為x+j+a,x>0,答案：0,2解析：由于當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+-+a在x=1時(shí)取得最小值2+a,由題意當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=(x-a)2x應(yīng)該是遞減的，則a>0,此時(shí)最小值為f(0)=a2,因此a2ea+2,解得0ea&

16、lt;2.2.(2014浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)<2只x+x,x<0,2若f(f(a)e2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是x,x>0,答案：(汽2f(a)<01解析：仁a)+f(a)e2或者'f(a)>0-f2(a)<2-2<f(a)<0a<0a2+a>-2或者a>0a2>-2a<2.4.(2014四川卷)已知函數(shù)f(x)=sini3x+亍.若a是第二象限角，fi,=cosa+虧cos271貝ycosasina=答案：,2或-孑fai4解析：因?yàn)閒=5C0Sn+-cos2a,4所以sina+4=4cos7tn+Acos2

17、a.4.2a+cosa)(cosasina).所以(sina+COsa;42-|)|15(cosasina)=0.因?yàn)閍是第二象限角,、3所以，當(dāng)a=2kn+4n,kZ,sina+COsa=0,此時(shí)sina=2,cosa=，貝Ucosasina=2;22*3a2kn+4n，kZ時(shí)，sina+cosa0,此匕時(shí)(cosasina)2=5.因?yàn)镃Osa<Sina,J5所以cosasina=于.綜上，cosasina的值為一或一25.(2014四川卷)已知函數(shù)f(x)=sin3x+.求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;a是第二象限角,4f-3=5COSa+cos27ta，求cosasina的值.解:(1

18、)nnn小.由7+2knw3x+4二+2kn，2+3knwxw+3kn(kZ).(2)由題設(shè)得sin4a盲=5cossin4+cosa=-(cos5asina)(cosasina)(sina+cosa),sin+COSa=0,則cosasina=2;sin+COsa4 21=-(cosasina),5COsasina6.(2014江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=ex+e二其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù);若關(guān)于x的不等式mf(x)wex+m1在(0,+)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;已知正數(shù)a滿足：存在xo1,+),使得f(xo)<a(x3+3xo)成立，試比較ea1

19、與ae1的大小,并證明你的結(jié)論.證明：因?yàn)閷?duì)任意xR,都有f(x)=e_x+e(_x)=e_x+ex=f(x)，所以f(x)是R上的偶函數(shù).(2)解：由條件知m(ex+ex1)<ex1在(0,+)上恒成立.令t=ex(x>0)，則t>1,t11所以=對(duì)于任意t>1成立.tt+11t1+h11因?yàn)閠-1+口+1>2（t-1）（t1）+仁3，所以-1t1+1+1當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即x=ln2時(shí)等號(hào)成立.1因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是（一R,-.311(3)解：令函數(shù)g(x)=ex+ea(x3+3x)，貝Ug'(x)=exr+3a(x21).ee1當(dāng)x>1時(shí)，ex

20、F0,x21>0.又a>0,故g'(x)>0，所以g(x)是1,+)上的單調(diào)增函數(shù),e因此g(x)在1,+s)上的最小值是g(1)=e+e12a.由于存在X。1,+)，使ex°+ex°a(x0+3x°)<0成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)<0,故e+e12a<0,即a>e+e2-令函數(shù)h(x)=x(e1)lnx1,e1則h'(x)=1-,令h'(x)=0，得x=e1.當(dāng)x(0,e1)時(shí)，h'(x)<0，故h(x)是(0,e1)上的單調(diào)減函數(shù).當(dāng)x(e1,+s)時(shí)，h'(x)>

21、0，故h(x)是(e1,+)上的單調(diào)增函數(shù).所以h(x)在(0,+)上的最小值是h(e1).注意到h(1)=h(e)=0,所以當(dāng)x(1,e1)(0,e1)時(shí)，h(e1)<h(x)<h(1)=0.當(dāng)x(e1,e)(e1,+)時(shí)，h(x)<h(e)=0,所以h(x)<0對(duì)任意的x(1,e)成立.-|-e+e1) 當(dāng)a2,e(1,e)時(shí)，h(a)<0,即a1<(e1)lna，從而ea1<ae1; 當(dāng)a=e時(shí)，ea1=ae1; 當(dāng)a(e，+m)(e1,+)時(shí)，h(a)>h(e)=0,即卩a1>(e1)lna，故ea_1>ae1.綜上所述，當(dāng)a

22、)e+e,©時(shí)，eaT<ae_當(dāng)a=e時(shí)，ea_1=ae_當(dāng)a(e,+)時(shí)，ea_1>ae_1.k2丿考題演練(本題模擬高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，滿分16分)設(shè)函數(shù)fi(x)=12X4+aex(其中a是非零常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底)，記fn(x)=f'ni(x)(n>2,nN).(1) 求使?jié)M足對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有fn(x)=fni(x)的最小整數(shù)n的值(n>2,nN);(2) 設(shè)函數(shù)gn(x)=f4(x)+f5(x)+fn(x)，若對(duì)n5,nNf1(t)在R上單調(diào)減.,y=gn(x)都存在極值點(diǎn)x=tn,求證：點(diǎn)An(tn,gn(tn)(n>5,nN*)在一定

23、直線上，并求出該直線方程；(注：若函數(shù)y=f(x)在x=xo處取得極值，則稱xo為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn))(3) 是否存在正整數(shù)k(k>4)和實(shí)數(shù)xo,使fk(xo)=fki(xo)=0且對(duì)于nN*,fn(x)至多有一個(gè)極值點(diǎn)？若存在，求出所有滿足條件的k和xo；若不存在，說明理由.(1) 解：fi(x)=-2x4+aex,f2(x)=3x3+aex,fs(x)=x2+aex,f4(x)=2x+aex,f5(x)=2+aex,f6(x)123=ae,f'n(x)=ae(n>6),nmin=7.(4分)(2) 證明：gn(x)=(2x+aex)+(2+aex)+aex+ae

24、x=(2x+2)+(n3)aex，(6分)g'n(x)=2+(n3)aex存在極值點(diǎn)x=tng'n(tn)=2+(n3)aetn=0,g'n(tn)=2tn+2+(n3)aetn=2tn,(8分)An在直線y=2x上.(9分)x(3) 解：fn(x)=ae=0(n>6)無(wú)解kw5,(10分)t,2+aex0=0,2當(dāng)k=5時(shí)，f4(x)=f5(x)=0xo=1a=.|2xo+aexo=0,e而當(dāng)a=-時(shí)，f6(x)=aex<0f5(x)=2+aex=22ex1單調(diào)減，且f5(1)=0ef4(x)在(a,1)上增，在(1,+s)上減，/f4(1)=0f4(x)

25、wo恒成立.2x一12一1f3(x)單調(diào)減，而f3(x)=x2e,f3(1)=1-2>0,f3(0)=2e<0.et(1,0),f3(t)=0在(一a,t)上f3(t)<0f2(x)在(一a,t)上增，在(t,+a)上減，f2(t)=S-2e(-13/f3(t)=t22e(1=0,f2(t)13221=孑一t=tF1<0,綜上所述，存在k=5,a=彳滿足條件.(13分)當(dāng)k=4時(shí)，f«xo)=2xo+aexo=f3(xo)2=xo+aexo=0，即xo=0或2,當(dāng)xo=0時(shí)f4(0)=a=0(舍),當(dāng)xo=2時(shí)f4(2)=4+ae2=04x.x2_f5(x)=

26、24ex_2單調(diào)減，且f5(x)=0時(shí)，x=2ln2f6(x)=-2e=4e<0ef4(x)在(一a,2ln2)上增，(2ln2,+)上減，而f4(2)=om<2-ln2使得在(a,m)上,f4(x)<o，在(m,2)上f4(x)>o，在(2,+)上,f4(x)<of3(x)在(a,m)上減，在(m,2)上增，在(2,+a)上減(舍)，.k豐4.綜上所述：存在k=5,a=-e滿足條件.(16分)111. 已知函數(shù)f(x)=2(sinx+cosx)|sinxcosx|，則f(x)的值域是答案：-1冷解析：f(x)=-(sinx+cosx)-|sinxcosx|=cc

27、osx,sinx>cosx,sinx,sinxvcosx,咖一21廠2. 設(shè)函數(shù)f(x)=xalnx與g(x)=x.x的圖象分別交直線x=1于點(diǎn)A、B,且曲線y=f(x)在點(diǎn)aA處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)B處的切線平行.(1)求函數(shù)f(x)、g(x)的解析式;當(dāng)a>1時(shí)，求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的最小值;當(dāng)a<1時(shí)，不等式f(x)>mg(x)在x£,*上上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:2(1)由f(x)=xaalnx，得f'(x)=2x-.x1廠11g(x)=-x寸x，得g(x)=ay=.又由題意得f'=g'(1)，即2a

28、=-1a2'當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x22lnx,g(x)=fxx;121廠當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x空1nx,g(x)=2xx.當(dāng)a>1時(shí)，h(x)=f(x)g(x)=x22lnx1x+x,得h'(x)2(x1)(x+1)冷x14(xx+:x+x+1)2x2小=(Mx2x由x>0,得4(xx+x+x+>0.故當(dāng)x(0,1)時(shí)，h'(x)<0,h(x)遞減;當(dāng)x(1,+s)時(shí),h'(x)>0,h(x)遞增.所以h(x)的最小值為h(1)=121n12+1=|.當(dāng)a=1時(shí)，f(x)21=x2lnx,g(x)=2xx."1當(dāng)x：,(x)14x21=2x=2x2x<0,f(x)在1上為減函數(shù)，f(x)42>f1112=4+2ln2.(x)>0,g(x)在I；711'4,2g(x)Wgg(x)'g1=0,要使不等式f(x)>mg