1、高中數學難點解析難點16三角函數式的化簡與求值三角函數式的化簡和求值是高考考查的重點內容之一通過本節的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規技巧，以優化我們的解題效果，做到事半功倍.難點磁場TT3応123()已知一vBvaV,cos(a3)=,sin(a+3)=,求Sin2a的值2 4135案例探究例1不查表求sin220°+cos280°+.3cos20°cos80°的值.命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降幕求值的方法，對計算能力的要求較高.屬于級題目.知識依托：熟知三角公式并能靈活應用.錯解分析：公式

2、不熟，計算易出錯.技巧與方法：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉化為函數問題，使解法更簡單更精妙，需認真體會.解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°11=(1cos40°)+(1+cos160°)+.3sin20°cos80°2 21 1=1cos40°+cos160°+、3sin20°cos(60°+20°)2 211=1cos40°+(cos120°cos40°sin120°sin40&

3、#176;)+、3sin20°(cos60°cos20°22sin60°sin20°)11.3.332o=1cos40cos40sin40+sin40-sin20°24442=13cos40°3(1cos40°)=1444解法二：設x=sin220°+cos280°+.3sin20°cos80°y=cos220°+sin280°.3cos20°sin80°，則x+y=1+1、.3sin60°=1,xy=cos40°+

4、cos160°+3sin100°2=2sin100°sin60°+.3sin100°=0x=y=!，即x=sin220°+cos280°+<3sin20°cos80°=丄.44例2設關于x的函數y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=12的a值，并對此時的a值求y的最大值.命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力.屬級題目知識依托：二次函數在給定區間上的最值問題錯解分析：考生不易考查三角函數的有界性，對區間的分類易出錯技

5、巧與方法：利用等價轉化把問題化歸為二次函數問題，還要用到配方法、數形結合、分類講座等.2解：由y=2(cosxa)2a_4a_2及cosx1,1得：22彳心蘭-2)2f(a)a2a-1(2：a：2)21-4a(a丄2)111f(a)=,14a=a=:2,+)228a21故一2a1=-，解得：a=1,此時，22121y=2(cosx+)+，當cosx=1時，即x=2kn,kZ,ymax=5.22例3已知函數f(x)=2cosxsin(x+),3sin2x+sinxcosx3(1)求函數f(x)的最小正周期；求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值；若當x，時，f(x)的反函數為f*x)，求廠

6、1(1)的值.1212命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數等知識，還考查計算變形能力,綜合運用知識的能力，屬級題目知識依托：熟知三角函數公式以及三角函數的性質、反函數等知識錯解分析：在求廠1。)的值時易走彎路.技巧與方法：等價轉化，逆向思維.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+).3sin?x+sinxcosx3=2cosx(sinxcos+cosxsin)3sinx+sinxcosx3 3=2sinxcosx+i3cos2x=2sin(2x+)3f(x)的最小正周期T=n卄5-當2x+§=2kn-,即卩x=kn(kZ)時，f(x)取得最小值一2.二二7令2sin

7、(2x+)=1，又x,一:,3 222x+匹2L甌,2x+三=%，則3 3'236x=，故f1(1)=.4 4錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：1求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數式的最值或值域，5°化簡求值.2技巧與方法：1°要尋求角與角關系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準確地應用公式2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規技巧的運用3°對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法4

8、76;求最值問題，常用配方法、換元法來解決.殲滅難點訓練一、選擇題2、.()已知方程x+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根均tana、tanB,且a,(,),則tan的值是()2221 41A.B.2C.D.或一22 32二、填空題3下1?.()已知sina=一,a(二,n),tan(n3)=,則tan(a23)=5 223. ()設a(,3),3(0,),cos(aL)=-,sin(+3)=，則4 4445413sin(a+3)=.三、解答題+士2sin130°+sin1001+J3tan370。v1cos104. 不查表求值：5.已知cos(4+x)=|)已知a,(17二

9、vxv三128-3=一32求sin2x+2sinX的值.41-tanx1-cos(二-：)且a豐kn(kZ).求_-4sinaacscsin22最大值及最大值時的條件.7.()如右圖，扇形OAB邊形PQRS是扇形的內接矩形，當其面積最大時，求此最大面積.&.()已知cosa+sin3=3,sina的的半徑為D,xD，求函數y=log12X的最小值，并求取得最小值時x14x10的值參考答案難點磁場解法一:jia3<nVa+3<',4sin(a3)=1cos12(x)5*,cos(、f、I')133)：3)+cos(a3)sin(a+3)(一)(-3)5135S

10、in2a=sin(a3)+(a+=sin(a3)cos(a+丿，4、12'1356解法二:/sin(a3)=6554,cos(a+3)=13522/sin2a72+sin23=2sin(a+3)cos(a3)=6540sin2asin23=2cos(a+3)sin(a3)=6531Jttana+tan3=3a+1>0,又a、3(,)a、22tana+tanPtan(a+3)=1-tanatanB1-(3a+1)34a,又tan（很亠卩）=jia(一,)則2a2tan22a+P1-tan2-2-(-二0),又222=o.解得a+Ptan=2.a+P亠a+P整理得2tan656565

11、殲滅難點訓練一、1解析：ta>1,tana+tan3=4av0.'3tan答案：BJi(,n),-cosa213)=可得tan3=22tanFtaRa產(J2tan(：_2F)tan.：一-tan2-1tan：tan2F3(4)一4±3)3 41()()4 324答案：-243.解析：a(0,-),又cos(a-7)=3556"65即sin(很亠|J)5665存F'耳討哼"11，。嗚"晉-3-.sin(：龍亠.)=sin()()442兀3nof)答案：二-cos()cos(-)sin()sin(3)=-3(12)-4 4445135

12、1365三、4.答案:17二=3,.sin2x-cos2(x)二Z54255. 解:cos(x)4又17二7乂x,124n4sin(x)=452sin2x2sin1-tanx22sinxcosx2sin2sinx(sinxcosx)cosx1一沁cosxcosx-sinxJisin2xsin(x)4287574()255-36.解:令t?_cos：)-4sin2(4ot.acscsin24)sin'(1cos：)21-cos('422)sin-2cos2'222：'1sin2aPa+P=2(sinsin)_2=4sincos22228833442acos23.t

13、=4sin(-二)(丄)2-2sin(上2322、百2k二2:小k二(kZ),.2323.當:27.解：以IPS|=sin03）一2(kZ)2二卄,2k,即:-4k（kZ）時,323OA為x軸.0為原點，建立平面直角坐標系,_4(丄_sin)222asin(2并設直線OB的方程為y=、3x,直線PQ的方程為0;sin0)，所以|PQ|=cos0sin0.3打3.：3Spqrs=sIn0(cos0sin0)=(.3sin0cos0331-cos2JL=3,331(sin20+cos20322/Ov02二）的最小值為一1.P的坐標為（cos0,sin0）,f3y=sin0.聯立解之得Q(sin3sin20)31-)=sin(20+)2sin（20+二）=1時，PQRS面積最大,6中點，P（仝丄）.22丄vsin(20+-)w126J3且最大面積是，此時,6兀0=,6點P為的8.解：設u=sina+cos3.則u2+(.3)2=(sina+cos3)2+(cosa+sin3)2=2+2sin(a+3)w4.2-t3u2<1