1、【課題】拋物線的幾何性質（2）【教學目標】1、靈活運用拋物線的性質；2、掌握拋物線的焦半徑公式的證明及應用；3、掌握拋物線焦點弦的性質及焦點弦長的求法;4、拋物線幾何性質的綜合運用【教學重點】拋物線幾何性質的運用，【教學難點】【教學過程】復習引入AG=2a，（2a<2）半圓上有相異兩點M和N。它們與直線I的距離分別為di、d2,1、復習拋物線的幾何性質;2、通徑的概念及幾何意義;講解新課（一）拋物線的焦半徑定義：拋物線上任意一點M與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑-焦半徑公式：拋物線y22px(p0），PFXoXo拋物線y22px(p0），PFXoXo拋物線X22py(po)，P

2、Fyoyo拋物線X22py(po)，PFyoyo例題講解（一）焦半徑問題G點，【例1】已知半圓的直徑AB為2r,半圓外的直線I與BA的延長線垂直且交于rdi=MA,d2=NA，求證：AM+AN=2r。y*證明：以AG的中點為原點，垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系，則圓的方程為(xar)2+y2=r2,又由已知可知點M、N在以A為焦點，I為準線的拋物線線y2=4ax上，設M(xi,yi),N(x2,y2),將拋物線線的方程代入圓方程可得：x2+2(ar)x+a22ar=0，從而有：xi+x2=2(ra)；又由拋物線的焦半徑公式可得：ppMA=xi+=xi+a,NA=X2+=x2+a2 2所以

3、AM+AN=xi+a，+x2+a=xi+x2+2a=2(ra)+2a=2r(二)焦點弦問題【例2】(課本118頁例3)斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于兩點A、B,求線段AB的長.解法1:如圖所示，由拋物線的標準方程可知，焦點F(1，0)，準線方程x=1.由題可知，直線AB的方程為y=x11代入拋物線方程y2=4x，整理得：x26x+仁01T解上述方程得X1=3+22,X2=322分別代入直線方程得旳=2+272,y2=22211即A、B的坐標分別為(3+22，2+22)，(322，222)|AB|=.(322322)22(222222)2、648解法2:設A(xi,y”、

4、B(x2,y2),貝Vxi+X2=6,xiX2=1|AB|=2|xix2|程x2)24x1x2Vv6248解法3:設A(xi,yi)、B(x2,y2)，由拋物線定義可知，|AF|等于點A到準線x=1的距離|AA'|即|AF|=|AA'|=xi+l同理|BF|=|BB，|=X2+1|AB|=|AF|+|BF|=X1+x2+2=8【注】解法2是利用韋達定理根與系數的關系，設而不求，是解析幾何中求弦長的一種普遍適用的方法；解法3充分利用了拋物線的定義，解法簡潔，值得引起重視。【例3】已知拋物線y22pxp0的一條經過焦點的弦AB被焦點F分成長分別為m、n的兩段，即|AF|m,|BF|

5、n。求證:(1)若點A,B的坐標分別為Ax1,y12,BX2，y2，貝Vy2p"X2(2)mn112,、-P；(3)證明：(1)因為Fp0,當AB不垂直x軸時，可設直線AB的方程為yk2pxky22pykp2所以y2p2,X1X22yy4p2p2匸,于A，BBil于B1,準線交拋物線的對稱軸于D，則當AB垂直x軸時，直線AB的方程為：xy1p,y2py2p2,X1X24p2(2)證法1:設拋物線y22pxp0的焦點為F,經過焦點F的弦AB,I為準線，作AA1?lFD/AAi/BBi,由拋物線的性質知:AA1AF|m,BB1BFn,DF|P在直角梯形AAiBiB中,過B作BCAAi于C

6、,交DF于E則凹凹即旦|AC|BA，'mn(Pn)(m+n)=n(mn)P(m+n)=2mn上式兩邊同除以2mn,得:112mnP分析2:焦點FP,0分弦AB成定比,利用定比分點坐標公式及拋物線的性質n,可建m、n、P之間的關系式。證法2:設經過焦點F的弦的兩端點A、B的坐標分別為（xi,yi）、（x2,y2）,因為FAB成為m,n兩段，所以AFFBximX2nnx1mx2.mnm1-n由證法一，作準線的垂線AAi,BBi,則AA1m,BB1n即xiPPm,x2n22即P(m+n)=4mnP(m+n)P(m+n)=2mn得AF|7丄丄_2。(1mnP0(0<<），則根據拋物

7、線定義，*1cos；1JP上式兩邊同除以mnP,得證明3:如圖,設/AFx=AFcos,所以1AF同理得Bp1cos1兩式相加，即得證.p1mX2X|X2x1x2p2，Pxix2證法4:242將x1x2,x1x2|AB|p代入上式得4x-1x2p2|AB|p44(3)證明：由【例4】已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標的最小值.分析一：要求AB中點縱坐標最小值，可求出yi+y2最小值從形式上看變量較多，結合圖形可以觀察到yi、y2是梯形ABC'D'的兩底,這樣就使中點縱坐標可以利用幾何圖形的性質和拋物線定義求解解法一：設拋物線y=x2的弦AB的端點A(xi,y

8、i)、B(x2,y2),中點M(x,y),拋物線y=x2的焦點F(0,11),準線y=.設A、B、M到44準線距離分別為AD、BCMN.Ic*JfCy成為梯形的中位線,1y+_42|MN|=|AD|+|BC，且|MN|=根據拋物線定義，有|AD|=|AF|,|BC=|BF|1-2(y+-)=|AF|+|BF|4在ABF中，|AF|+|BF>|AB|=212(y+)>24y>3即M點縱坐標的最小值為3.4分析二：要求AB中點縱坐標的最小值，可列出縱坐標y關于某一變量的函數，然后求此函數的最小值解法二：設拋物線y=x等號在直線AB過焦點時成立，此時直線AB的方程為y=k（x_）.

9、4由yk(x4)得：16k2x28(k+2)x+k2=0.yx2依題意|AB|=(1k2|x12|=1k2xr=3,16k2k22i21z18(k22)5k2=,此時x=(X1+X2)=2-=.上點A(a,a2)、B(b,b2)AB中點M(x,y).aba2b2x=y2，2/|AB|=2(ab)2+(a2b2)2=4貝卩(a+b)24ab+(a2+b2)24a2b2=4由2x=a+b,2y=a2+b2，得ab=2x2y4x24(2x2y)+4y24(2x2y)2=4整理得14x2y=；(4x2+1)+丄=344當且僅當(4x2+1)=4即x=±-時等號成立.4x212分析：依題意可知

10、圓心在x軸上，且過原點，故可設圓的方程為：Xy2Dx0,AB中點縱坐標的最小值為-.4【例5】定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線上移動，AB的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求此時點M的坐標.解法1:設A(x,yi),B(x2,y2),M(x,y),則x=xx22y=y1y?2又設點A,B,M在準線l:x=1上的射影分別為A/,B/,M/,MM/與y軸的交點為N,1 1則|AF|=|AA/|=X1+,|BF|=|BB/|=x2+,44111115),5N(4,).-x=-(X1+X2)=-(|AF|+|BF|三)2(|AB|二)=：解法2:設A（X1,yi）和B（x2,y2）,那么Xiy

11、i2,X2y22LLL2223 (X2Xi)(yiy2)LLAB中點M（X,y）到y軸的距離XiX22如2Yd由得222223nX2XiX2yi討22y°22(XiX2)4XX2XX22y“24x24y2y222x2yy2整理得：4(yy2)22yiy2324x22x0因yy2為實數，故444(324x22x)0由此得：i6x28xi4322(4xi)432因為x>0,所以：4x+i>6,X54222i5i(yiyjyiy22屮y?2x'2'22 42yiy225故AB中點M距y軸最短距離為X)-4且相應中點坐標為5,4 22y2pxp0上，求這y22px

12、p0上，求正四、課堂練習i. 正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線個正三角形的邊長.（答案：邊長為4、3p）2正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線三角形外接圓的方程+又:圓過點A6p,2.3,所求圓的方程為x2y28px03已知ABC的三個頂點是圓x2y29x0與拋物線y22pxp0的交點，且ABC的垂心恰好是拋物線的焦點，求拋物線的方程.(答案：y24x)4.已知直角OAB的直角頂點0為原點，A、B在拋物線y22pxp0上,(1)分別求A、B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積；(2)直線AB是否經過一個定點，若經過，求出該定點坐標，若不經過，說明理由；(3)求0點在

13、線段AB上的射影M的軌跡方程+22答案：(1)y24p；x/24p；(2)直線AB過定點2p,0(3)點M的軌跡方程為xp2y2p2x0,25已知直角OAB的直角頂點0為原點，A、B在拋物線y2pxp0上，原點在直線AB上的射影為D2,1,求拋物線的方程一(答案：y25x)226. 已知拋物線y2pxp0與直線yx1相交于A、B兩點，以弦長AB為直徑的圓恰好過原點，求此拋物線的方程.(答案：y2x)7. 已知直線yxb與拋物線y22pxp0相交于A、B兩點，若OAOB,(0為坐標原點)且Saob25,求拋物線的方程,(答案：y22x)&頂點在坐標原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y2x1截得的弦長為15，求拋物線的方程(答案：y212x或y24x)-五、小結六、課后練習1. 頂點在原點，焦點在y軸上，且過點P(4,2)的拋物線方程是(A)21(A)x2=8y(B)x2=4y(C)x2=2y(D)x2-y22. 拋物線y2=8x上一點P到頂點的距離等于它們到準線的距離，這點坐標是(D)(A)(2,4)(