1、高考題型專題一三角函數(教師版)【命題特點】縱觀前五年的三角試題,我們不難發現，對三角函數的考查力度較大，題型是一大一小或兩小一大，總體難度不大，解答題通常放在第一個，屬容易題，要求每一位同學不失分。主要考查三大方面；一. 三角變換.主要考查的內容有三角函數的恒等變形(用到的公式主要有二倍角公式，輔助角公式)已知三角函數值求角(要注意已知角的范圍，有的是條件直接給出，有的是三角形的內角，要留心銳角三角形的內角的限制條件).同角三角函數的基本關系式和輔助角公式等。二. 三角函數的圖象與性質。要注意圖象的特征點(最高點，零點和對稱中心)、特征線(對稱軸)及最小正周期的求法，也要注意三角函數的最值問

2、題，包括利用輔助公式將已知三角函數式轉化為一個三角函數求最值，或轉化為以某一三角函數為自變量的二次函數的最值問題。三. 解三角形問題。正弦、余弦定理的應用。注意面積公式的應用。最后，要注意向量和三角函數的交匯性試題的備考，及書寫格式的規范性與完整性。同時，要控制復習的難度，重點突破以上三方面問題及理解、記憶它們涉及到的所有公式和知識點。【試題常見設計形式】三角函數題在試卷中所處的位置基本上是第一或第二題，本章高考重點考查基礎知識，仍將以容易題及中檔為主，題目的難度保持穩定，估計這種情況會繼續保持下去。特點：由于三角函數中，和差化積與積化和差公式的淡出，考查主體亦發生了變化。文科：偏重化簡求值，

3、三角函數的圖象和性質。理科：偏重三角變換，解斜三角形，與向量相結合，考查運算和圖形變換也成為了一個趨勢。三角函數試題注重立足于課本，注重考查基本知識、基本公式及學生的運算能力和合理變形能力，對三角變換的要求有所降低。三角化簡、求值、恒等式證明。圖象。最值。解斜三角形為考查熱點。常見題型三角函數的圖象與性質；化簡和求值；三角形中的三角函數；最值。對高考重點、常考題型進一步總結，強化規律。解法定模，便于考試中迅速提取，自如運用。【突破方法技巧】要正確對待命題趨勢與備考實踐的關系：它們的對應與錯位用命題趨勢來指導備考實踐，我們就會多一份清醒，少一份盲目，比如試題的來源為我們開發備考資源指明了方向；主

4、干內容的基本取向指導我們恰當地選擇例題和編選例題，把復習引向必要的深度；創新題目設計的思路也會給我們一些警示，有助于我們調整復習方式。這是問題的重要方面，同時我們應該注意，兩者之間除了一致之外，還有必要的錯位，比如近幾年高考在三角方面的要求降低了，從邏輯難度講，三角變換題簡單了，但考生在三角題上的表現反而不盡如人意，這說明，當我們對某一內容的要求標準降低時，產生的效果可能更低。我們把這種現象叫做“低標準暗示效應”，命題研究中的很多觀點，“多考一點理解，少考一點記憶”，“多考一點想，少考一點算”，“重點與非重點”在實際操作中是可做而不可說的一一做，有利于提高效益：說，可能產生負效應。三角函數可以

5、當成函數內容中的重要一支，要注意與平面向量、解三角形相聯系。復習時可作為學生重要得分點加以落實。突破方法技巧：1三角函數恒等變形的基本策略。2 2(1)常值代換：特別是用“1”的代換，如仁cos0+sin0=tanxcotx=tan45等。(2) 項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：a=(a+3)-3,3=等。22(3) 降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。(4) 化弦(切)法。將三角函數利用同角三角函數基本關系化成弦(切)(5) 弓|入輔助角。asin0+bcos0a2b2sin(0+)，這里輔助角所在

6、象限由a、b的符號確K定，角的值由tan:=b確定。a(6) 萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數化成tan二的有理式。22 證明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。(2)證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數學歸納法。3 證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，禾U用函數的單調性，禾U用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。4 解答三角高考題的策略。(1) 發現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。(2) 尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。(3) 合理

7、轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化。【典型例題分析】要想做好三角函數解答題，考生必須要熟練記憶誘導公式，兩角和、差的三角函數公式及二倍角公式。另外對與特殊角的三角函數值應非常熟悉。掌握一些技巧，培養自己的觀察能力，尋找角與角之間聯系的能力都將有助于高考三角函數題的解答。考點1三角函數的求值與化簡：此類題目主要有以下幾種題型：考查運用誘導公式和逆用兩角和的正弦、余弦公式化簡三角函數式能力，以及求三角函數的值的基本方法.考查運用誘導公式、倍角公式，兩角和的正弦公式，以及利用三角函數的有界性來求的值的問題考查已知三角恒等式的值求角的三角函數值的基本轉化方法，考查三角恒等變形及求角的基本知識【命題意

8、圖】：本題考三角函數的基本公式以及三角函數式的恒等變形等基礎知識和基本運算技能1 13JT【例1】已知cos,cos-),且0vv、v,7142(I)求tan2的值.(n)求一：.sinatan二cosa于是tan2：24/31438一347(n)由0：:，得0:-:2 2又.cos-_1314由_-得：cos：=cos：_：-coscos：Lj亠sin：sin-V=123.心所以一二71471423突破方法技巧：三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構。即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！第二看函數名稱之間的關系，通常“切化

9、弦”；第三觀察代數式的結構特點。基本的技巧有：一0|等）變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換女口（:誥亠卩）=（：-）亠.，2（二亠卩）（:；），let=（/?+a）-（Z?-a）.tz+/?=2丁1b2如（1）已知tzrn,7F.=?:邊F二i二f那么tatiicz-i的值是苗j=jt31tz2（2）已知10v.J3,公式變形使用（tan6/3/2f(x)Tin(2xV2，丁.f(x)=sin2xsinxcosx-mcos2x=211sin2x-(1m)cos2x2sin：cos：由tan:-2得sin22廠sin+cos(2)1-cos2

10、x1m小sin2xcos2x222tan：1tan2:2.2.x2cossin：1-tan:cos2sinJcos：1tan:3 314313，所以5藝(1叫2，得m_2-【例3】2010北京(本小題共13分)已知函數f(x)2=2cos2xsinx-4cosx。(I)求f值；(n)求f(x)的最大值和最小值。解：(1)f(32cos3(II)xRsin，co寸一1371222227f(x)=2(2cosx-1)(1-cosx)-4cosx=3cosx-4cosx-1=3(cosx),因為COSX，-1,1,所以，當COSX=-1時,32.f(x)取最大值6；當cosx時，f(x)取最小值-一

11、33【例4】2010湖北(本小題滿分12分)已知函數(31)(31fx=cosxcos-X3311,gxsin2x-(I)求函數fx的最小正周期；(n)求函數hxi；=fx；-gx的最大值，并求使hx取得最大值的x的集合.解：(I)f(x)=cos二+xcosx2Icosx-22乩&sx+仙x123.21cos2xcosxsinx=4482二二二。23-3cos2x119cos2x_4,f(x)的的最小正周期為(n)h(x)二f(x)g(x)=1cos2x1sin2x=空cos(2x)當2x2k二(kZ)時，h(x)22244取得最大值,h(x)取得最大值時，對應的x的集合為xx=k：-】，k

12、Z2I8J突破方法技巧：三角函數的最值主要有以下幾種類型：、形如y=Asin(wx+)y=asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；、形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，換元去處理；、形如y=asinx+bsinx的，轉化為二2cosx次函數去處理；、形如y=的，可采用反表示的方法，再利用三角函數的有界性去解決，也可轉2-sinx化為斜率去通過數形結合解決。考點3.三角函數的圖象和性質：考查三角函數的圖象和性質的題目是高考的重點題型此類題目要求考生在熟練掌握三角函數圖象的基礎上要對三角函數的性質靈活運用會用數形結合的思想來解題.【命題意圖】考查三角函數的誘導公式及二倍角等

13、基本公式的靈活應用、圖象變換問題、分析問題與解決問題的能力。【例5】2010天津(本小題滿分12分)已知函數f(x)=2、3sinxcosx2cos2x-1(xR)(I)求函數f(x)的最小正周期及在區間0,上的最大值和最小值；(n)若f(x0)=6,x0,求0352x0IL25IL.42【解析】乘小題主雯考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數=.4siii(J.v+t7)的性質、同角三角函數的基本關系、兩第差的余弦等基礎知識，肴查基本運算能力.滿分12分.(1)解；由/(.y)=x+2cos:x-L猖f(x)3(2sinvcosx)+(2co5x1)=3sin2.v+cos2t=2sin

14、(2.Y所UA函數O)的最小疋周期次忙因為幾勺=珈；三;在區間|0匸|上為壇函熟在區間上為減函數，又y(0)=li/|=2./-=-1，所以函數f(對在區間卩上的最大值洵2,最小值6丿*2,I2、/TJ為T(II)解；由可知f(x:)=2sinx-上又因沖/&：）=，所lilsin65X。二二二2二-_4,2，得2x06“cos2x0+工=-p-sin22x。+戈l。6丿YC6J所以C0S2X。二COS2X0-住6丿二二二二3-43=cos2x0+Icos+sin2x。+Isin=6V6丿6I6丿610【例6】2010廣東(本小題滿分14分)已知函數f(x)=Asin(3x：J(A0,x(-二

15、，二),0；：；：；在jix時取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若122二、12十f(a+)=,求Sina.3125U）由子0）的最大值是4知，月二乳r7T.7T=4sin3x一+p二4*即員口(=1I12訊丿4+05?7T!一4二/(齊)二4sinnsin(2)2令卄旳+帖,叭3,cos2：5,1-2sin2:-2一,sin:5sin：一込1 1JH【例7】2010山東（本小題滿分12分）已知函數fxsin2xsin“mcos2xcossin2 212丿n1一（OvV兀），其圖象過點（一，一）.（1）求的值；（n）將函數y=f（X）的圖象上各點的橫坐

16、標縮短1n到原來的一，縱坐標不變，得到函數y=gx的圖象，求函數gx在0,上的最大值和最小值.24【解析】因為已知函姬象過點Q*,所以昭=sin2Xsine?26!JT+COS*COS6；T目卩=sin亠二亡8C7-cospl=sin(p+)226所以才三二蘭，解得Q二623/(x)=-sm2xSin-+coSYcosT-sm所L0,;:JI,XR）的解析式時，其參數A、的2確定：由圖象的最高點或最低點求振幅A，由周期或半個周期（相鄰最值點的橫坐標間的距離）確定，考慮到的唯一性，在確定A、的基礎上將最值點的坐標代入正弦函數的解析式，在給定的區間內求出it對于單調區間，要把wx+$看作一個整體，

17、如由2kn-Wwx+$0,w0)的增區間.【突破訓練】xx1.已知sin2cos0,22(i)求tanx的值;(n)求cos2x的值./-JL、2cosqx)sinx解:(i)由sin-2cos-=0,二tan=2,222tanx=1-tan2-2221-22cosx-sin2x(n)原式=廠222(cosxsinx)sinx22(cosx-sinx)(cosxsinx)(cosx-sinx)sinxcosxsinxsinx=cotx12.已知COS(V-)l-3-)14ji且：v2C1S/.sin丄B令=看卡)求cos(2)的值.12.”，5in(r=121212125.3424cos2(e

18、-y=2cos:(tf-)-1=21212cos(ie+)二cos2()+=12124:x一1=.w七二cos二(0-)cos-sin2(&-呂)sin一4503.已知函數f(x)=2cos2x3sin2xa(R).(1)若xR,求f(x)的單調遞增區間;(2)若x0,n時，f(x)的最大值為4，求a的值，并指出這時x的值.2解：(1)f(x)二3sin2xcos2x1a=2sin(2xn)1a.6n*“,n一得knxkn(kZ)36解不等式2kn2x衛_2kn衛.2f(x)的單調增區間為I。，n2nn-，kn;(kZ).36n2xnvfl)-sin二+1=不是最犬值也不是6662巖小值，旦圖