1、鋼管訂購和運輸優化模型要鋪設一條AiA2A15的輸送天然氣的主管道，如圖1所示（見反面）.經篩選后可以生產這種主管道鋼管的鋼廠有S1,S2丄，$.圖中粗線表示鐵路，單細線表示公路，雙細線表示要鋪設的管道（假設沿管道或者原來有公路，或者建有施工公路），圓圈表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯數字表示里程（單位：km）.為方便計，1km主管道鋼管稱為1單位鋼管.一個鋼廠如果承擔制造這種鋼管，至少需要生產500個單位.鋼廠Sj在指定期限內能生產該鋼管的最大數量為s個單位，鋼管出廠銷價1單位鋼管為Pi萬元，如下表：i1234567Si80080010002000200020003000Pi160

2、1551551601551501601單位鋼管的鐵路運價如下表:里程（km）<300301350351400401450451500運價（萬元）2023262932里程（km）5016006017007018008019009011000運價（萬元）37445055601000km以上每增加1至100km運價增加5萬元.公路運輸費用為1單位鋼管每千米萬元（不足整千米部分按整千米計算）鋼管可由鐵路、公路運往鋪設地點（不只是運到點A1,A2,A15，而是管道全線）問題：（1）請制定一個主管道鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小（給出總費用）.思考題：（2）請就（1）的模型分析：哪個鋼廠鋼管的銷

3、價的變化對購運計劃和總費用影響最大，哪個鋼廠鋼管的產量的上限的變化對購運計劃和總費用的影響最大，并給出相應的數字結果.（3）如果要鋪設的管道不是一條線，而是一個樹形圖，鐵路、公路和管道構成網絡，請就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對圖2按（1）的要求給出模型和結果.162012002026902029i20115i600801100421210311019,606A6901708870107062S630110A55004；10*A3210A12A14301A3205AA7AA680AA300A1A10320690115i600110i1200202S1953110S7A164212451

4、942058010A606A301A6901708870A680AjA263i(Aei)2020Al57013i2A191062A13210A1211500A1410a0300A1基本假設1. 沿鋪設的主管道以有公路或者有施工公路2. 在主管道上，每千米卸1單位的鋼管3. 公路運輸費用為1單位鋼管每千米萬元（不足整千米部分按整千米計算）4. 在計算總費用時，只考慮運輸費和購買鋼管的費用，而不考慮其他費用5. 在計算鋼廠的產量對購運計劃影響時，只考慮鋼廠的產量足夠滿足需要的情況,即鋼廠的產量不受限制.6假設鋼管在鐵路運輸路程超過1000km時，鐵路每增加1至100km,1單位鋼管的運價增加5萬元

5、.、符號說明：Si:第i個鋼廠；i1,2,7S:第i個鋼廠的最大產量；i1,2,7Aj：輸送管道(主管道)上的第j個點；j1,2,15i1,2,7i1,2,7j1,2,15Aj向點Aj1方向鋪設的鋼管量；pi：第i個鋼廠1單位鋼管的銷價；xij：鋼廠Si向點Aj運輸的鋼管量；tj：在點Aj與點Aj1之間的公路上,運輸點j1,2,3,14(t10)aj:1單位鋼管從鋼廠Si運到結點Aj的最少總費用，即公路運費、鐵路運費和鋼管銷價之和；i1,2,7j1,2,15bj：與點Aj相連的公路和鐵路的相交點；j2,3,15Aj.j1:相鄰點Aj與Aj1之間的距離；j1,2,14三、模型的建立與求解問題一：

6、討論如何調整主管道鋼管的訂購和運輸方案使總費用最小由題意可知，鋼管從鋼廠Si到運輸結點Aj的費用aj包括鋼管的銷價、鋼管的鐵路運輸費用和鋼管的公路運輸費用在費用aij最小時，對鋼管的訂購和運輸進行分配，可得出本問題的最佳方案1.求鋼管從鋼廠Si運到運輸點Aj的最小費用1）將圖1轉換為一系列以單位鋼管的運輸費用為權的賦權圖由于鋼管從鋼廠Si運到運輸點Aj要通過鐵路和公路運輸，而鐵路運輸費用是分段函數，與全程運輸總距離有關又由于鋼廠Si直接與鐵路相連，所以可先求出鋼廠S到鐵路與公路相交點bj的最短路徑如圖3依據鋼管的鐵路運價表，算出鋼廠Si到鐵路與公路相交點bj的最小鐵路運輸費用，并把費用作為邊權

7、賦給從鋼廠Si到bj的邊.再將與bj相連的公路、運輸點Ai及其與之相連的要鋪設管道的線路（也是公路）添加到圖上，根據單位鋼管在公路上的運價規定，得出每一段公路的運費，并把此費用作為邊權賦給相應的邊以S1為例得圖4.圖4鋼管從鋼廠S1運到各運輸點Aj的鐵路運輸與公路運輸費用權值圖2）計算單位鋼管從S1到Aj的最少運輸費用根據圖4，借助圖論軟件包中求最短路的方法求出單位鋼管從S1到Aj的最少運輸費用依次為：，38,92，96,106,128，142（單位：萬元）.加上單位鋼管的銷售價pi，得出從鋼廠S1購買單位鋼管運輸到點Aj的最小費用a1j依次為：，198,252,256,266,288,302

8、（單位：萬元）.同理，可用同樣的方法求出鋼廠S2、Ss、s4、S5、S6、S7到點Aj的最小費用，從而得出鋼廠到點的最小總費用（單位：萬元）為：表1Si到點Aj最小費用AAAAAAAAAoA1A2A13A14A15S1198163252256266288302S2266241297301311333347S3276251237241251273287S4316291222211221243257S5301276212188206228242S6306281212201195161178S73263012372262161861622.建立模型運輸總費用可分為兩部分：運輸總費用=鋼廠到各點的運輸

9、費用+鋪設費用運輸費用：若運輸點Aj向鋼廠Si訂購Xjj單位鋼管，則鋼管從鋼廠S運到運輸點Aj所需的費用為aijXj.由于鋼管運到Ai必須經過A2，所以可不考慮A，那么所有鋼管從各鋼廠運到各運輸點上的總費用為:157Xijaij.j2i120鋪設費用：當鋼管從鋼廠Si運到點Aj后，鋼管就要向運輸點Aj的兩邊AjAj1段和Aj1Aj段運輸（鋪設）管道設Aj向AjAjj段鋪設的管道長度為yj,則Aj向AjAji段的運輸費用為0.1（12yj）tjj1（萬元）；由于相鄰運輸點Aj與Aj1之間的距離為Aj.j1，那么Aj1向AjAj1段鋪設的管道長為Aj.j1tj，所對應的鋪設費用為Aj.j1tj1A

10、j.j1tj（萬元）.所以，主管道上的鋪設費14tjtj1A.itj.j1j1202071514為:fxijaiji1j2j1總費用Aj.j1tj用為：j1tjtj1Aj.j1tj1Aj.j1tj2020又因為一個鋼廠如果承擔制造鋼管任務,至少需要生產500個單位，鋼廠S在指定期限內最大生產量為Si個單位，故50015Xijj215Xijj20因此本minfj7Xiji114(tj(tj1)(Aj.j1tj)(Aj.j11120tj)15njj2,3,L,1520Xijs.t.50015Xjj2i15或Xijj21,L,7,j2,LXj0tj問題可建立如下的非線性規劃模型：Aj.j13.模型求

11、解：由于MATLAB能直接處理約束條件:14minfj-7xiji115s.t.Xijj2tj(tj1)(Aj.j1120nj,15500tj)(4.j2015Xj0j2,3,L1,L,7,j,152,L,15Xij2Si或15Xijj2tj)157Xiji10，我們可aj0tjAj.j115先將此條件改為xijSi，得到如下模型：j2用MATLAB解，分析結果后發現購運方案中鋼廠S7的生產量不足500單位,下面我們采用不讓鋼廠S7生產和要求鋼廠S7的產量不小于500個單位兩種方法計算：1 ）不讓鋼廠S7生產計算結果：f11278632（萬元）（此時每個鋼廠的產量都滿足條件）.2 ）要求鋼廠S7的產量不小于500個單位計算結果：f21279664（萬元）（此時每個鋼廠的產量都滿足條件）比較這兩種情況，得最優解為，minfmin（f1,f2）f1=1278632（萬元）具體的購運計劃如表2：表2問題一的訂購和調運方案訂購量AAA4AAAAAA