1、第七章第七章 地下水運動中的若干專門問題地下水運動中的若干專門問題 1 非飽和帶的地下水運動非飽和帶的地下水運動 一、關于非飽和帶水分的基本知識一、關于非飽和帶水分的基本知識 1. 含水率，飽和度和田間持水量 包氣帶中的空隙，一部分被水充填，另一部分被空氣充填。 含水率()：表示單位積中水所占的體積， 典型單元體中水的體積 典型單元體的體積 飽和度(Sw)：巖石的空隙空間中被水占據部分所占的比例。 典型單元體中的空隙體積 00VVw000VVSww 含水率與飽和度的關系： =nSw式中：n孔隙度。 田間持水量田間持水量：在長時間重力排水后仍然保留在土中的水量。 2.毛管壓力 毛管壓強毛管壓強：

2、在多孔介質的孔隙中，液體和氣體接觸是，二者存在壓力差，這個壓力差稱毛管壓強。用pc表示。 pc=pa-pw 式中： pa空氣的壓強； pw水的壓強。 毛管壓強取決于界面的曲率，曲率愈大（液面愈彎曲），毛管壓強愈大。 以上毛管壓強是以絕對壓強為基準，如果以相對壓強為基準，這時有： pc=pa-pw -pa pc=-pw 毛管壓強相對大氣壓強為負值。即，非飽和帶孔隙中的水處于小于大氣壓強的情況下。 非飽和帶水流中任何點的水頭 式中：z位置水頭；hc=pc/r 毛管壓力水頭 H=z-hcrpzrpzHcw 3. 土壤水分特征的曲線 水分特征曲線：反映毛管壓力水頭hc(或毛管壓強pc)和土壤含水率(或

3、飽和度Sw)關系的曲線。如圖：隨著含水率的減少，毛管壓力增加，當含水率減小到某一值時，壓強繼續增大時，含水率不在減小。相應的飽和度為： nSw00 影響特征曲線的因素：影響特征曲線的因素： （1）不同質地的土壤，其水分特征曲線不同。一般說，土壤的粘粒含量愈高。同一負壓條件下土壤的含水率愈大，或者同一含水率下其負壓愈高。這是因為，粘粒含量增多。使土壤中細小孔隙發育的緣故。 （2）土壤結構。如圖，為一砂壤土不同干容重的水分特征曲線，在同一負壓下，土壤愈密實（rc大），相應的含水率一般也大。原因，土壤愈密實，大孔隙數量減少，中小孔隙增多。 （3）溫度的影響。溫度升高，水的粘滯性下降，所以表面張力降低

4、，在同樣的負壓下，含水率要低一些。 （4）土壤水分變化過程的影響。對于同一土壤，土壤脫濕（由濕變干）過程測得的水分特征曲線不同，如圖，在相同的負壓下，排水（脫濕）時的含水率要大于吸濕時的含水率。這種現象稱為滯后現象。 （5）容水度：毛管壓力水頭變化一個單位時，從單位體積土中釋放出的水體積。數值上等于，水分特征曲線的斜率的負倒數。 它是含水率和毛管壓強的函數，可用C()或C(hc)表示.0dhdC二、非飽和帶水運動的基本方程二、非飽和帶水運動的基本方程 1.運動方程 非飽和帶地下水的運動，也可以用達西定律描述，這時的滲透系數是變化的，與含水率和毛細壓力水頭hc有關，是和hc的函數，其關系如圖，隨

5、著含水率的增大，滲透系數增大，隨毛管壓力水頭的減小，滲透系數增大。 在非飽和帶中，Darcy定律的表達式為： JhKvJKvc或 v在三個坐標軸的分量為： 2. 基本微分方程 第一章推得滲流連續性方程，如下： zHhKvzHKvyHhKvyHKvxHhKvxHKvczzcyycxx或zyxntzyxzvyvxvzyx 在飽水帶中，全部孔隙被水充滿，等式右端用孔隙度，在非飽和帶中，部分孔隙被水充滿，所以用含水率取代n，并兩邊除xyz（近似為常數），得：將vx、vy、vz代入上式，得： 二式為非飽和流的基本方程 tzvyvxvzyx )2() 1 (tzHhKzyHhKyxHhKxtzHKzyHK

6、yxHKxccc 3. 基本方程的幾種形式 （1）以含水率為因變量的表達式 將H換成，將H=z-hc代入上（1）式，得：上式進一步變換 定義 為擴散系數，得： tzKzhKzyhKyxhKxccc tzKxhKzxhKyxhKxccc tzKxCKzxCKyxCKx DCK對于垂向一維流動，去掉前兩項，得： z軸向上取正值，z軸向下取負值。 （2）以毛管壓力水頭為因變量得表達式：將H=z-hc代入上（2）式，得： tzKxDzxDyxDx tzKxDz 代入上式，得： 對于垂向一維流動，去掉前兩項，得：z軸向上取正值，z軸向下取負值。 tzhKzhhKzyhhKyxhhKxccccccc th

7、hCthhtcccc thhCzhKzhhKzyhhKyxhhKxccccccccc thhCzhKzhhKzccccc2 水動力彌散理論水動力彌散理論 用來模擬地下水中污染物和化學成分得運移過程，預測地下水污染得發展趨勢。 一、水動力彌散現象及其機理一、水動力彌散現象及其機理 例1.在一口井中注入一種示蹤劑，示蹤劑在隨地下水向前流動得過程中，向外圍擴散，形成一個以中心點濃度最大，向四周濃度逐漸減小的過渡帶，并且隨示蹤劑遷移的距離增大，過渡帶也越來越寬。 例2. 在均勻流的砂柱中，用含有示蹤劑濃度為的水去替代，在砂柱另一端測量示蹤劑濃度，得曲線如圖。水在流動過程中并非一個突變界面，而是一個過液

8、帶。這種現象稱水動力彌散。 水動力彌散是機械彌散和分子擴散所引起的。 1.機械彌散 液體在多孔介質中運動的三種情況：（1）由于液體粘性的作用和結合水的摩擦阻力，使得靠近孔隙壁的水流速度趨于零，孔隙中心部位流速最大；（2）由于孔隙大小不一，造成不同孔隙之間沿軸部的最大流速有差異；（3）由于空隙的彎彎曲曲，水流方向也隨之不斷地改變。 由于上述三種情況，造成了地下水質點運動速度，在大小和方向上的不均一，造成了示蹤劑有的運動快，有的運動慢，從而形成了上述過渡帶。這種由于速度不均一所造成的這種物質運移現象稱為機械機械彌散彌散。 2. 分子擴散 溶質有由濃度高向濃度低的地方運移的性質，以求濃度趨于均一。這

9、種由于液體中所含溶質的濃度不均一而引起的物質運移現象叫分子擴散分子擴散。 分子擴散服從Fick定律：式中：Is單位時間內通過單位面積的溶質的質量； dc/ds溶質在溶液中的濃度c沿s方向變化的濃度梯度； Dd擴散系數。 dsdcDIds 機械彌散和分子擴散是同時出現的，當流速較大時，機械彌散是主要的；當流速甚小時，分子擴散的作用就變得明顯。 水動力彌散還分為沿水流方向和垂直于水流方向的彌散，沿水流方向的彌散稱縱向彌散縱向彌散，垂直水流方向的彌散稱橫向彌散橫向彌散。 二、水動力彌散系數二、水動力彌散系數 分子擴散服從Fick定律： 為分子擴散系數； 為由于分子擴散在單位時間內通過單位面積的溶質質

10、量。dsdcDI D I 機械彌散也服從定律： 為機械擴散系數； 為由于機械擴散在單位時間內通過單位面積的溶質質量。 由于水動力彌散是分子彌散和機械擴散共同作用的，定義水動力彌散系數： 水動力彌散定律如下： 式中：I單位時間內通過面積的溶質質量； D水動力彌散系數； dc/ds濃度梯度。 dsdcDIDIDDD dsdcDI 如果取x方向與流速方向一致，y軸和z軸與流速方向垂直，上式可用下式表示：Dxx縱向彌撒系數（平行于水流方向）；Dyy、Dzz橫向彌撒系數（垂直于水流方向） 。dzdcDIdydcDIdxdcDIzzzyyyxxx 三、對流彌散方程及其定解條件三、對流彌散方程及其定解條件

11、如圖，以滲流區內任一點為中心，取一無限小的六面體單元，各邊長為x、y、z，選擇x軸與P點處的平均流速方向一致。（即縱向彌散方向為軸方向） 在對流彌散問題中，包括兩個子問題：其一，溶質隨地下水的流動或流出單元體；其二，溶質通過自身的彌散流入或流出單元體。 水動力彌散引起的物質運移：水動力彌散引起的物質運移： 設，沿x軸方向溶質的質量變化率為 ，如果假設Ix為在abcd面上，單位時間內通過單位面積溶質的質量，那么，t時間內通過面流入單元體的溶質質量為： Ixnyzt 因為沿x軸方向溶質的質量變化率為 ，經距離x后，變化 了，所以，t時間內，通過abcd面流出單元體的溶質質量為： 所以，沿軸方向流入

12、與流出單元體的溶質質量差為： xIxxIxxxIxtzynxxIIxxtzyxnxIx 同理，沿y軸方向和z軸方向流入與流出單元體的溶質質量差為：所以，通過彌散單元體內溶質質量的變化為： 隨地下水流的物質運移：隨地下水流的物質運移： 設沿x軸方向，在abcd面地下水的流速為vx，則單位時間通過abcd面單位面積流入單元體的水量為vx 11，流入的溶質質量為vxc：（c為溶質的濃度），那么，在時間內流入面溶質量為：tzyxnzItzyxnyIzytzyxnzIyIxIzyx vxcyzt 設沿x方向，通過單位面積溶質質量的變化率為： 經x距離的變化量為： 在abcd面，單位時間單位面積流出單元體

13、的溶質質量為： 在t時間內流出面的溶質質量為： 所以，沿x軸方向流入與流出單元體的溶質的質量差為： xcvxxxcvxxxcvcvxxtzyxxcvcvxx 同理，沿y軸和z軸方向流入與流出單元體的溶質質量差為： 所以，隨地下水流流入與流出單元體的溶質質量差為： tzyxxcvxtzyxzcvtzyxycvzytzyxzcvycvxcvzyxt時間內，流入和流出單元體總的溶質質量差為：設單元體內溶質濃度隨時間的變化率為:t時間內單元體內體積溶質濃度變化量為：所以，t時間內單元體內溶質質量變化量為： 上述二量應相等，并消去xyzt，得：代入上式，并兩邊同除以n，則得：tzyxzcvycvxcvz

14、IyIxInzyxzyxtcttctzyxntctcnzcvycvxcvzIyIxInzyxzyxzcDIycDIxcDIzzzyyyxxx，將式中：ux、uy、uz為實際流速。上式為對流彌散方程。 如果有其它源、匯項時，并設單位時間單位體積含水層內由源、匯引起的溶質質量的變化量為f。在上式的左邊加一項f即可。 tczcuycuxcuzcDzycDyxcDxzyxzzyyxxtcfzcuycuxcuzcDzycDyxcDxzyxzzyyxx 關于溶質運移的數學模型除微分方程外，還應有定解條件： 初始條件：初始時刻的濃度分布。表達式如下： C(x，y，z，0)= C0(x，y，z) 邊界條件：有

15、兩類。 一類是已知濃度的邊界條件(一類邊界條件)，表示如下： 1表示一類邊界。 另一類是通量邊界，即單位時間內通過單位邊界面積的溶質質量已知(二類邊界條件)。如：隔水邊界： tzyxtzyxC,102sc補給邊界： 所以，要確定一個水動力彌散問題的解，即求得濃度的分布，要給出下列信息： （1）微分方程； （2）研究空間區域和時間區域0，T； （3）研究區域水頭場的分布； （4）有關參數，如彌散度L和T等； （5）定解條件。 tCscnDvcL2 四、一維彌散問題解四、一維彌散問題解 設投放示蹤劑前，含水層中示蹤劑的濃度為0，然后在河渠中連續注入濃度為C0的示蹤劑。在均勻流情況下，ux=u為常數

16、。如圖。 （1）數學模型： 00,0, 0000,0,00ttCtCtCxxCxttcxcuxcDxxx 定解問題的解： 當 時，上解可近似為： （2）利用實驗資料求縱向彌散系數 有一個觀測孔時，觀測孔距河渠距離x已知，在觀孔中可測得不同時刻的Ci，從而可求得Ci/C0。 求參步驟： 據試驗資料作Ci/C0t關系曲線，如圖。 DtutxerfcDuxDtutxerfcCtxC2exp22),(0200LxDtutxerfcCtxC22),(0 在圖上找出Ci/C0為0.84和0.16二點，并讀出其橫坐標t0.84和t0.16 。 代入下式求縱向彌散系數 u地下水實際流速 。Ci/C010.5t

17、t0.16t0.84284. 084. 016. 016. 081tutxtutxDL3 海岸帶含水層中的咸淡水界面海岸帶含水層中的咸淡水界面 天然條件下，在海岸帶含水層中的地下水一般是流向海的，由于海水比淡水的比重大，海水體將位于淡水體的下方，呈楔型，并處于平衡狀態，如圖。 當在海岸邊抽取淡水時，這時淡水的水位下降，打破了原來的平衡，引起海水向內陸的入侵，以達到新的平衡，這時界面向陸地推進。該現象為海水入侵海水入侵。 海水與淡水是可以溶混的，由于水動力彌散，在海水與淡水之間形成了一個過渡帶，在過渡帶中地下水的礦化度由小變大，直到海水礦化度。 過渡帶的寬度在不同的地區，其寬度不同，當其寬度較小

18、，且與含水層的厚度相比較小時，可以認為海水與淡水之間是一突變界面；否則寬度較寬時，則作為水動力彌散問題加以研究。 一、作突變界面處理靜止界面的近似解一、作突變界面處理靜止界面的近似解 當淡水和海水處于一種平衡狀態時，界面是靜止的，如圖，假設淡水的容重為rf，海水的容重為rs。 在界面上的點A，受海水的壓力為：shs 在界面上的點A，受淡水的壓力為：f（hs+hf） 此二壓力應相等： f（hs+hf）= shs 解得：令則：hs=hfAffsfshhfsf 一般海水密度為1.025g/cm3，容重s=10045N/m3，淡水密度為1.000g/cm3，容重s=9800N/m3 。代入可求得：=4

19、0 hs=40hf 說明說明：在離海岸任一距離上，穩定界面在海面以下的深度為該處淡水高出海面的40倍。 以上僅是一種近似解法。 二、確定界面的形狀及海水入侵的范圍二、確定界面的形狀及海水入侵的范圍 （1）厚度固定的水平承壓含水層中的界面問題 水流是穩定流，如圖，設，原點位于坡腳(G點)，x軸的正向指向海。含水層厚度為M，承壓水頭為H，假設地下水為水平流，忽略垂向分速度。由Darcy定律，有： K=Kf (Kf含水層中淡水的滲透系數)H=Hf (Hf含水層中淡水的水頭) dxdHxhKqf0 由前面知，hs=d+h(x) hs=H d+h (x)= H兩邊對x求導，得： 代入上式得： 對上式整理得： 兩邊積分，得： dxxdhdxdH1 xdhxhKdxq0 CxhKxq2021 10dxxdhxKhq 當x=0時，h(x)=M，代入上式得： 代入上式得： 此式表明界面得形狀是一條拋物線。利用此式可確定x處的h(x)。 另外，由d+h (x)= H得： h (x)=H-d