1、信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-1 1 1頁頁頁電子教案第六章第六章 離散系統離散系統z z域分析域分析 6.1 z 6.1 z 變換變換一、從拉普拉斯變換到一、從拉普拉斯變換到z變換變換二、收斂域二、收斂域6.2 z 6.2 z 變換的性質變換的性質6.3 6.3 逆逆z z變換變換6.4 z 6.4 z 域分析域分析一、差分方程的變換解一、差分方程的變換解二、系統的二、系統的z域框圖域框圖三、三、s域與域與z域的關系域的關系四、系統的頻率響應四、系統的頻率響應點擊目錄點擊目錄 ，進入相關章節，進入相關章節信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理

2、教研中心第第第6-6-6-2 2 2頁頁頁電子教案第六章第六章 離散系統離散系統z z域分析域分析 在連續系統中，為了避開解微分方程的困難，可以在連續系統中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉換為代數方程。出于同樣的通過拉氏變換把微分方程轉換為代數方程。出于同樣的動機，也可以通過一種稱為動機，也可以通過一種稱為z變換的數學工具，把差分變換的數學工具，把差分方程轉換為代數方程。方程轉換為代數方程。 6.1 z6.1 z變換變換一、從拉氏到一、從拉氏到z變換變換對連續信號進行均勻沖激取樣后，就得到離散信號對連續信號進行均勻沖激取樣后，就得到離散信號: kTSkTtkTfttft

3、f)()()()()(取樣信號取樣信號兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-3 3 3頁頁頁電子教案kkTsSbkTfsFe)()(令令z = esT，上式將成為復變量，上式將成為復變量z的函數，用的函數，用F(z)表示；表示；f(kT) f(k) ，得，得kkzkfzF)()(稱為序列稱為序列f(k)的的雙邊雙邊z變換變換0)()(kkzkfzF稱為序列稱為序列f(k)f(k)的的單單邊邊z z變換變換若若f(k)為為因果序列因果序列，則單邊、雙邊，則單邊、雙邊z 變換相等，否則變換相等，否則不等。今后在

4、不致混淆的情況下，統稱它們為不等。今后在不致混淆的情況下，統稱它們為z變換變換。 F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-4 4 4頁頁頁電子教案6.1 z6.1 z變換變換二、收斂域二、收斂域 z變換定義為一無窮冪級數之和，顯然只有當該冪級變換定義為一無窮冪級數之和，顯然只有當該冪級數收斂，即數收斂，即kkzkf)(時，其時，其z變換才存在。上式稱為變換才存在。上式稱為絕對可和條件絕對可和條件，它是，它是序列序列f(k)的的z變換存在的變換存在的充分必要條件充分必要條件。 收斂域的定義收

5、斂域的定義： 對于序列對于序列f(k)，滿足，滿足 kkzkf)(所有所有z值組成的集合稱為值組成的集合稱為z變換變換F(z)的收斂域的收斂域。 信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-5 5 5頁頁頁電子教案6.1 z6.1 z變換變換例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z變換變換(1) f1(k)= (k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解解(1) 1)()()(01kkkkzkzkzF 可見，其單邊、雙邊可見，其單邊、雙邊z變換相等。與變換相等。與z 無關，無關，所以其收斂域為所以其收斂域為整個整個z 平面平面。 (2) f

6、(k)的雙邊的雙邊z 變換為變換為 F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收斂域收斂域為為0 z 0 對有限序列的對有限序列的z變換的收斂域一般為變換的收斂域一般為0 z ，有時，有時它在它在0或或/和和也收斂。也收斂。 信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-6 6 6頁頁頁電子教案6.1 z6.1 z變換變換例例2 求求因果序列因果序列 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z變換（式中變換（式中a為常數）。為常數）。 解：解：代入定義代入定義 1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可

7、見，僅當可見，僅當 az-1 a =時，其時，其z變換存在。變換存在。 azzzFy)(RezjImz|a|o收斂域收斂域為為|z|z|a|信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-7 7 7頁頁頁電子教案6.1 z6.1 z變換變換例例3 求求反因果序列反因果序列 的的z變換。變換。解解 ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkfzbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(可見，可見， b-1z 1,即即 z b 時，其時，其z變換存在，變換存在， bzzzFf)(收斂域收斂域為為|z|z| |b|b|RezjImzo信號與系

8、統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-8 8 8頁頁頁電子教案6.1 z6.1 z變換變換例例4 雙邊序列雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解解 0,0,kakbkk的的z變換。變換。azzbzzzFzFzFfy)()()(可見，其收斂域為可見，其收斂域為 a z b （顯然要求（顯然要求 a 2 f2(k)= 2k ( k 1)F2(z)=2zz, z 0 (k)1zz， z 1， z 1 ( k 1)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-101010頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質一、線性一、線性

9、6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質 本節討論本節討論z變換的性質，若無特殊說明，它既適變換的性質，若無特殊說明，它既適用于單邊也適用于雙邊用于單邊也適用于雙邊z變換。變換。 若若 f1(k)F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(k) 2 z 1信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-111111頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 單邊、雙邊差別大！單邊、雙邊差別大！雙邊雙邊z變換的移位：變換的移位： 若若 f(k) F(z) , z 0，則，則 f(k m) z mF(z), z ，且有整數

10、，且有整數m0, 則則f(k-1) z-1F(z) + f(-1)f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzFzmkf信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-121212頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質f(k+1) z F(z) f(0)zf(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzFzmkf證明證明：Zf(k m)= mmkmkmkkkkzzmkfzmkfzmkf10)(0)()()(上式第二項令上式第二項令k m=n)()()()(1

11、0100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnk特例特例：若若f(k)為因果序列，則為因果序列，則f(k m) z-mF(z)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-131313頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質例例1：求周期為求周期為N的有始周期性單位序列的有始周期性單位序列 0)(mmNk 的的z變換。變換。 111)(00NNNmmNmzzzzmNk解解 z 1例例2：求求f(k)= k(k)的單邊的單邊z變換變換F(z). 解解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k) z F(z)

12、 z f(0) = F(z) + 1zzF(z)=2) 1( zz信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-141414頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質三、序列乘三、序列乘a ak k( (z z域尺度變換域尺度變換) ) 若若 f(k) F(z) , z ， 且有常數且有常數a 0 則則 akf(k) F(z/a) , a z a 證明證明：Zakf(k)= )()()(azFazkfzkfakkkkk例例1：ak(k) azz例例2：cos( k)(k) ? cos( k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) jje5 . 0e

13、5 . 0zzzz信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-151515頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質四、卷積定理四、卷積定理 若若 f1(k) F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(k) 2 z 2 則則 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z) 對單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列其收斂域一般為其收斂域一般為F1(z)與與F2(z)收斂域的相交部分。收斂域的相交部分。 例例：求求f(k)= k(k)的的z變換變換F(z). 解解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1)21) 1(11zzzzzzz信號與

14、系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-161616頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質五、序列乘五、序列乘k k（z z域微分）域微分） 若若 f(k) F(z) , z 則則 )(dd)(zFzzkkf, z 例例：求求f(k)= k(k)的的z變換變換F(z). 解解：1)(zzk22) 1() 1() 1(1dd)(zzzzzzzzzzkk信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-171717頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質六、序列除六、序列除(k+m)(z(k+m)(z域積分）域積分） 若

15、若 f(k) F(z) , z 0， 則則zmmdFzmkkf1)()(, z 0，則，則 zdFkkf)()(例例：求序列求序列 的的z變換。變換。 )(11kk解解1)(zzk)1ln()1ln()111() 1()(112zzzzdzdzkkzzz信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-181818頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質七、七、k k域反轉域反轉( (僅適用雙邊僅適用雙邊z z變換變換） 若若 f(k) F(z) , z 則則 f( k) F(z-1) , 1/ z a求求a k ( k 1)的的z變換。變換。 解解11)

16、1(11zazzzkakazkak111) 1(，|z| a，|z| 1/a乘乘a得得 azakak1) 1(，|z| 1/a信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-191919頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質八、部分和八、部分和 若若 f(k) F(z) , z ，則，則)(1)(zFzzifki, max( ,1) z max(|a|,1)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-202020頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理適用于初

17、值定理適用于右邊序列右邊序列，即適用于，即適用于kM(M為整數為整數)時時f(k)=0的序列。它用于由象函數直接求得序列的初值的序列。它用于由象函數直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。，而不必求得原序列。 初值定理初值定理： 如果序列在如果序列在kM時，時，f(k)=0，它與象函數的關系為，它與象函數的關系為 f(k)F(z) ， z 則序列的初值則序列的初值)(lim)(zFzMfmz對因果序列對因果序列f(k)，)(lim)0(zFfz信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-212121頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變

18、換的性質證明：證明：.)2() 1()()()()()2()1(MMMMkkkkzMfzMfzMfzkfzkfzF兩邊乘兩邊乘zM得得zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+)(lim)(zFzMfmz信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-222222頁頁頁電子教案6.2 z6.2 z變換的性質變換的性質終值定理終值定理： 終值定理適用于右邊序列，用于由象函數直接求得序終值定理適用于右邊序列，用于由象函數直接求得序列的終值，而不必求得原序列。列的終值，而不必求得原序列。 如果序列在如果序列在kM時，時，f(k)=0，它與象函

19、數的關系為，它與象函數的關系為 f(k) F(z) ， z 且且01 則序列的終值則序列的終值 )() 1(lim)(1lim)(lim)(11zFzzFzzkffzzk含單位圓含單位圓信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-232323頁頁頁電子教案6.3 6.3 逆逆z z變換變換6.3 6.3 逆逆z z變換變換求逆求逆z變換的方法有：變換的方法有：冪級數展開法冪級數展開法、部分分式展開部分分式展開法法和和反演積分（留數法）反演積分（留數法）等。等。 一般而言，雙邊序列一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列可分解為因果序列f1(k)和反和反因果序列因果

20、序列f2(k)兩部分，即兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k)相應地，其相應地，其z變換也分為兩部分變換也分為兩部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| F2(z)=Zf(k) (k 1)= 1)(kkzkf，|z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-252525頁頁頁電子教案6.3 6.3 逆逆z z變換變換解解（1） 由于由于F(z)的收斂域在半徑為的收斂域在半徑為2的圓外，故的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將為因果序列。用長

21、除法將F(z)展開為展開為z-1的冪級數：的冪級數： z2/ /(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0（2） 由于由于F(z)的收斂域為的收斂域為 z 1，故，故f(k)為反因果序為反因果序列。用長除法將列。用長除法將F(z)（按升冪排列）展開為（按升冪排列）展開為z的冪級數的冪級數: z2/ /( 2 z z2)=5432165834121zzzz10 ,21,41,83,165, 0)(kkf信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-262626頁頁頁電子教案6.3 6.3 逆逆z z變換變換(3)

22、F(z)的收斂域為的收斂域為1 z 1 232)(2zzzF， z ) )和和F F2 2(z)(z)( z z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，故，故f(k)為因果序列為因果序列 )()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 當當 z 1，故，故f(k)為反因果序列為反因果序列 ) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)當當1 z 2， ) 1()2(32)() 1(31)(kkkfkk信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-292929頁頁頁電子教案6.3 6.3 逆逆z z變換變換例例2：已知象函數已知象函數 )3)(2)(1)(21()

23、1294()(23zzzzzzzzzzF,1 z 1，后兩，后兩項滿足項滿足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k)若若 z 1)，則逆變換為，則逆變換為 razz)( 若若 z ,對應原序列為對應原序列為 )()!1()2).(1(1karrkkkrk信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-313131頁頁頁電子教案6.3 6.3 逆逆z z變換變換以以 z 為例：為例：當當r=2時，為時，為 kak-1 (k)當當r=3時，為時，為 )() 1(212kakkk可這樣推導記憶可這樣推導記憶： Zak (k)=azz兩邊對兩邊對a求導得求導得

24、Zkak-1 (k)= 2)(azz再對再對a求導得求導得Zk(k-1)ak-2 (k)=3)(2azz故故Z0.5k(k-1)ak-2 (k)=3)(azz信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-323232頁頁頁電子教案6.3 6.3 逆逆z z變換變換例例：已知象函數已知象函數323) 1()(zzzzF， z 1的原函數。的原函數。解解1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF2)() 1(1311zzzFzK3)() 1(dd1312zzzFzzK1)() 1(dd21132213zzzFzzK1) 1(3) 1(2)(

25、23zzzzzzzFf(k)=k(k-1)+3k+1 (k)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-333333頁頁頁電子教案6.4 z6.4 z域分析域分析6.4 z6.4 z域分析域分析 Z變換是分析線性離散系統的有力工具，他將描述系統的序域變換是分析線性離散系統的有力工具，他將描述系統的序域差分方程變換為差分方程變換為Z域代數方程，便于運算和求解；同時單邊域代數方程，便于運算和求解；同時單邊z變變換將系統的初始條件自然地包含于其代數方程中，可求得零輸換將系統的初始條件自然地包含于其代數方程中，可求得零輸入、零狀態響應和全響應。入、零狀態響應和全響應。 一、

26、差分方程的變換解一、差分方程的變換解 mjjmniinjkfbikya00)()(設設f(k)在在k=0時接入，系統初始狀態為時接入，系統初始狀態為y(-1),y(-2),y(-n)。 mjjjminiikiinzFzbzikyzYza0010)()()(mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()(取單邊取單邊z變換得變換得信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-343434頁頁頁電子教案6.4 z6.4 z域分析域分析)()()()()()()()(zYzYzFzAzBzAzMzYfx)()()()()(zAzBzFz

27、YzHf令令稱為系統函數稱為系統函數h(k)H(z) 例例1：若某系統的差分方程為若某系統的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2),已知已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統求系統yx(k)、yf(k)、y(k)。 解解:方程取方程取z變換變換Y(Z)-Z-1 Y(Z)+y(-1)-2Z-2 Y(Z)+y(-2)+y(-1)Z-1=F(z)+2Z-2F(z)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-353535頁頁頁電子教案6.4 z6.4 z域分析域分析Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2

28、z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 12224)(212121)2(2) 1()21 ()(2222212211zzzzzzzzzzFzzzzzyyzzY)() 1()2(2)(122) 1)(2(4)(2kkyzzzzzzzzzYkkxx)(23) 1(212)(12312122)(1kkyzzzzzzzYkkff信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-363636頁頁頁電子教案6.4 z6.4 z域分析域分析例例2： 某系統，已知當輸入某系統，已知當輸入f(k)=( 1/2)k (k)時，其零狀態響應時，其零狀態響應 )

29、()21(29)31(4)21(23)(kkykkkf求系統的單位序列響應求系統的單位序列響應h(k)和描述系統的差分方程。和描述系統的差分方程。 解解31221361612)()()(22zzzzzzzzzFzYzHfh(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k (k) ) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykykyZ2Yf(z)-1/6ZYf(z)-1/6Yf(z)=Z2F(z)+2ZF(z)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-373737頁頁頁電子教案6.4 z6.4 z域分析域分析二、系統函數二、系統函數1.定義定義a.H(z)=Zh(z

30、) b. H(z)=yf(z)/F(z) c.H (z)=yf(k)/f(k)|f(k)=Zk2.Hz）的一般形式）的一般形式)()(0jkfkkyajmniinmjjjmfiininzFZbzYZa00)()(niiinmjjjmfzazbzFzYzH00)()()(由H(z)的表達式可求知A)時域. B)頻域.特性信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-383838頁頁頁電子教案6.4 6.4 z z域分析域分析三、系統的Z域框圖1、理想運算部件、理想運算部件Z域模型域模型f (k)Df (k -1)2、舉例、舉例F(z) Z-1F(z)+f(-1)信號與系統信號與系統西安建筑科技大學理學院物理教研中心第第第6-6-6-393939頁頁頁電子教案6.4 z6.4 z域分析域分析三、三、s s域與域與z z域的關系域的關系 z=esT zTsln1式中式中T為取樣周期為取樣周期如果將如果將s表示為直角坐標形式表示為