1、帶電粒子在有界磁場中運帶電粒子在有界磁場中運動的臨界條件確定方法動的臨界條件確定方法 物理系統由于某種原因而要發生物理系統由于某種原因而要發生突變時所處的狀態，叫臨界狀態。突變時所處的狀態，叫臨界狀態。突變過程是從量變到質變的過程，突變過程是從量變到質變的過程，在臨界狀態的前后，系統服從不在臨界狀態的前后，系統服從不同的物理規律，按不同的規律變同的物理規律，按不同的規律變化。如光學中的化。如光學中的“臨界角臨界角”、超、超導現象中的導現象中的“臨界溫度臨界溫度”、核反、核反應中的應中的“臨界體積臨界體積”、光電效應、光電效應中的極限頻率、靜摩擦現象中的中的極限頻率、靜摩擦現象中的最大靜摩擦力等

2、，最大靜摩擦力等， 在中學物理中像這樣的明確地指在中學物理中像這樣的明確地指出的臨界條件是容易理解和掌握出的臨界條件是容易理解和掌握的，但在高考試題中涉及的物理的，但在高考試題中涉及的物理過程中常常是隱含著一個或幾個過程中常常是隱含著一個或幾個臨界狀態，需要考生通過分析臨臨界狀態，需要考生通過分析臨界條件，挖掘出臨界值，這對大界條件，挖掘出臨界值，這對大多數考生來說是比較困難的。而多數考生來說是比較困難的。而帶電粒子在有界磁場中運動的臨帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題是歷年高考理科綜合命題界問題是歷年高考理科綜合命題中的熱點。中的熱點。 一對稱法一對稱法 帶電粒子垂直射入磁場后，將作勻速圓帶

3、電粒子垂直射入磁場后，將作勻速圓周運動。分析粒子運動，會發現它們具有周運動。分析粒子運動，會發現它們具有對稱的特點，即：粒子的運動軌跡關于入對稱的特點，即：粒子的運動軌跡關于入射點射點P與出射點與出射點Q的中垂線對稱，軌跡圓的中垂線對稱，軌跡圓心心O位于對稱線上，入射速度、出射速度位于對稱線上，入射速度、出射速度與與PQ間的夾角（也稱為弦切角）相等，間的夾角（也稱為弦切角）相等，并有并有 如圖所示，應用這一粒子運動中的如圖所示，應用這一粒子運動中的“對稱對稱性性”不僅可輕松地畫出粒子在磁場中的運不僅可輕松地畫出粒子在磁場中的運動軌跡，對于某些臨界問題的求解也非常動軌跡，對于某些臨界問題的求解也

4、非常便捷。便捷。t2 例例1（2001年全國高考物理試年全國高考物理試題題18題）如圖所示，在題）如圖所示，在y0，0 x0，xa的區域的區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區域內的磁感應強度大小均為兩區域內的磁感應強度大小均為B。 在在O點出有一小孔，一束質量為點出有一小孔，一束質量為m、帶電、帶電量為量為q（q0）的粒子沿）的粒子沿x周經小孔射入磁周經小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發亮。入射粒子的速度可取從零到某光屏發亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數值。已知速度最大一最大值之間的各種數值。已

5、知速度最大的粒子在的粒子在0 xa的區域中運動的時間之比為的區域中運動的時間之比為25，在，在磁場中運動的總時間為磁場中運動的總時間為7T/12，其中，其中T為該為該粒子在磁感應強度為粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中做圓的勻強磁場中做圓周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的周運動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）。范圍（不計重力的影響）。 解：對于解：對于y軸上的光屏亮線范圍軸上的光屏亮線范圍的臨界條件如圖的臨界條件如圖1所示：帶電粒所示：帶電粒子的軌跡和子的軌跡和x=a相切，此時相切，此時r=a，y軸上的最高點為軸上的最高點為y=2r=2a ; 對于對于 x軸上光屏亮線范圍的

6、臨界條件軸上光屏亮線范圍的臨界條件如圖如圖2所示：左邊界的極限情況還是所示：左邊界的極限情況還是和和x=a相切，此刻，帶電粒子在右邊相切，此刻，帶電粒子在右邊的軌跡是個圓，由幾何知識得到在的軌跡是個圓，由幾何知識得到在x軸上的坐標為軸上的坐標為x=2a;速度最大的粒子速度最大的粒子是如圖是如圖2中的實線，又兩段圓弧組成，中的實線，又兩段圓弧組成，圓心分別是圓心分別是c和和c 由對稱性得到由對稱性得到 c在在 x軸上，設在左右兩部分磁場中運動軸上，設在左右兩部分磁場中運動時間分別為時間分別為t1和和t2,滿足滿足1225tt12712ttT 解得解得 由數學關系得到：由數學關系得到： 代入數據得

7、到：代入數據得到： 所以在所以在x 軸上的范圍是軸上的范圍是116tT2512tT32RaOP=2a+R3OP=2(1+)3a32ax2(1+)3a 三平移法三平移法 帶電粒子以一定的速度沿任意方帶電粒子以一定的速度沿任意方向射入勻強磁場時，它們將在磁向射入勻強磁場時，它們將在磁場中作勻速圓周運動，其軌跡半場中作勻速圓周運動，其軌跡半徑相同，若射入初速度為徑相同，若射入初速度為v0，則，則圓周運動半徑為圓周運動半徑為 ，如圖所示。，如圖所示。同時可發現這樣的粒子源的粒子同時可發現這樣的粒子源的粒子射磁場后，粒子在磁場中作勻速射磁場后，粒子在磁場中作勻速圓周運動圓心在以入射點圓周運動圓心在以入射

8、點P為圓為圓心、半徑心、半徑 的圓（這個圓在的圓（這個圓在下面的敘述中稱為下面的敘述中稱為“軌跡圓心軌跡圓心圓圓”）上。）上。qBmvR0qBmvR0 由此我們也可得到一種確定臨界條件由此我們也可得到一種確定臨界條件的方法：確定這類粒子在有界磁場中的方法：確定這類粒子在有界磁場中運動的臨界條件時，可以將一半徑為運動的臨界條件時，可以將一半徑為 的圓沿著的圓沿著“軌跡圓心圓軌跡圓心圓”平移，從而平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱為探索出臨界條件，這種方法稱為“平平移法移法”。qBmvR0 例例5（04年全國高考物理廣東廣西年全國高考物理廣東廣西卷卷18題）如圖所示，真空室內存在題）如圖所示，真

9、空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內，磁場內有一塊平面感光板有一塊平面感光板ab，板面與磁場方，板面與磁場方向平行，在距向平行，在距ab的距離的距離L=16cm處，處，有一個點狀的有一個點狀的放射源放射源S，它向各個方，它向各個方向發射向發射粒子，粒子，粒子的速度都是粒子的速度都是v=3.0106m/s，已知，已知粒子的電荷與粒子的電荷與質量之比質量之比 ，現只考慮在圖紙，現只考慮在圖紙平面中運動的平面中運動的粒子，求粒子，求ab上被上被粒子粒子打中的區域的長度。打中的區域的長度。kgCmq7100

10、 . 5 解析解析：粒子從粒子從S點垂直磁場以點垂直磁場以一定大小的速度朝各個方向射入，一定大小的速度朝各個方向射入，在磁場中沿逆時針方向做勻速圓在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，可求出它們的運動軌跡周運動，可求出它們的運動軌跡半徑半徑R，由，由 得：得： 代入數值得代入數值得R=10cm，可見，可見2RLRRvmqvB2BmqvR 由于朝不同方向發射的由于朝不同方向發射的粒子粒子的圓軌跡都過的圓軌跡都過S，可先考察速，可先考察速度沿負度沿負y軸方向的軸方向的粒子，其粒子，其軌跡圓心在軌跡圓心在x軸上的軸上的A1點，將點，將粒子運動軌跡的圓心由粒子運動軌跡的圓心由A1點點開始，沿著開始，沿著

11、“軌跡圓心圓軌跡圓心圓”逆時針方向移動，如圖所示。逆時針方向移動，如圖所示。 由圖可知，當軌跡圓的圓心移由圖可知，當軌跡圓的圓心移至至A3點時，粒子運動軌跡與點時，粒子運動軌跡與ab相交處相交處P2到到S的距離為的距離為2R，P2即為粒子打中即為粒子打中ab上區域的右邊上區域的右邊最遠點。由圖中幾何關系得：最遠點。由圖中幾何關系得：2222LRNP 當當粒子的軌跡的圓心由粒子的軌跡的圓心由A3點移至點移至A4點的過程中，粒子運動軌跡均會與點的過程中，粒子運動軌跡均會與ab相交，當移到相交，當移到A4點后將不再與點后將不再與ab相交相交了，這說明圓心位于了，這說明圓心位于A4點的軌跡圓，點的軌跡

12、圓，與與ab相切的相切的P1點為粒子打中區域的左點為粒子打中區域的左邊最遠點。可過邊最遠點。可過A4點作平行于點作平行于ab的直的直線線cd，再過，再過A4作作ab的垂線，它與的垂線，它與ab的交點即為的交點即為P1，同樣由幾何關系可知：，同樣由幾何關系可知： ， 則所求長度為則所求長度為P1P2=NP1+NP2 代入數值得：代入數值得：P1P2=20cm。221RLRNP 例例6：在：在xoy平面內有許多電子平面內有許多電子（質量為（質量為m、電量為、電量為e）從坐標）從坐標原點原點O不斷地以相同的速率不斷地以相同的速率v0沿沿不同方向射入第一象限，如圖所不同方向射入第一象限，如圖所示。現加

13、一垂直于示。現加一垂直于xoy平面向里，平面向里，磁感應強度為磁感應強度為B的勻強磁場，要的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場區域后都能求這些電子穿過磁場區域后都能平行于平行于x軸向軸向x軸正向運動。求符軸正向運動。求符合該條件磁場的最小面積。合該條件磁場的最小面積。 例例10（05全國全國）如圖，在一水）如圖，在一水平放置的平板平放置的平板MN的上方有勻強的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多磁場方向垂直于紙面向里。許多質量為質量為m帶電量為帶電量為+q的粒子，以的粒子，以相同的速率相同的速率v沿位于紙面內的各沿位于紙面內的各個方向，由小孔個

14、方向，由小孔O射入磁場區域。射入磁場區域。不計重力，不計粒子間的相互影不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域，其粒子可能經過的區域，其 中。哪個圖是正確的？（中。哪個圖是正確的？（ ） 例例11（1999年全國卷）如圖所示，年全國卷）如圖所示，MN為垂直于紙面的平面與紙面為垂直于紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存的交線，在平面右側的半空間存在一磁感應強度為在一磁感應強度為B的勻強磁場，的勻強磁場，方向垂直紙面向外，方向垂直紙面向外，O為為MN上的上的一點，從一點，從O點可以向磁場區域發點可以向磁場區域發射電量為射電量為+

15、q，質量為，質量為m，速率為，速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內的各個方向，度可在紙面內的各個方向， 已知先后射入的兩個粒子恰好在已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的磁場中給定的P點相遇，點相遇，P到到O的的距離為距離為L，不計重力及粒子間的，不計重力及粒子間的相互作用，求這兩粒子從相互作用，求這兩粒子從O點射點射入磁場的時間間隔。入磁場的時間間隔。 四數學解析法：四數學解析法： 由于圓的方程很容易用由于圓的方程很容易用xoy坐標坐標中的解析方程表達出來，因此，中的解析方程表達出來，因此，帶電粒子在有界磁場中運動的臨帶電粒子在有界磁場中運動的臨界條件也

16、可通過界條件也可通過“數學解析法數學解析法”來確定。來確定。 例例7：如圖所示，在平面直角坐標系的第：如圖所示，在平面直角坐標系的第一象限內，有一束寬度為一象限內，有一束寬度為d的電子流，其的電子流，其中每個電子的質量為中每個電子的質量為m，電量為，電量為e，圖中，圖中A點的坐標為（點的坐標為（L，0），且），且Ld，現要求，現要求這束電子通過垂直于這束電子通過垂直于xoy平面的勻強磁場平面的勻強磁場后都能通過后都能通過A點，且距離點，且距離x軸為軸為d的電子的電子經磁場偏轉后恰好垂直經磁場偏轉后恰好垂直x軸通過軸通過A點。求：點。求：這個區域內磁場的磁感應強度這個區域內磁場的磁感應強度B的大

17、的大小和方向小和方向 設計一個符合上述要求且面積最小的設計一個符合上述要求且面積最小的勻強磁場區域，求出它的面積。并在勻強磁場區域，求出它的面積。并在xoy平面上畫出磁場邊界。平面上畫出磁場邊界。 解析解析：如圖所示，先分析距如圖所示，先分析距離離x軸為軸為d的電子，它經磁場偏轉的電子，它經磁場偏轉后恰好垂直后恰好垂直x軸通過軸通過A點，由左手點，由左手定則知磁場的方向是垂直紙面向定則知磁場的方向是垂直紙面向里，電子的軌跡半徑里，電子的軌跡半徑R=d 又又 由以上兩式可得：由以上兩式可得：RvmBev2edmvB 關鍵在于確定符合條件的勻強磁關鍵在于確定符合條件的勻強磁場區域，考察距離場區域，考察距離x軸為軸為d的電子經的電子經磁場后偏轉過磁場后偏轉過A點，則圓弧點，則圓弧QA為磁為磁場的上邊界，難以確定的是下邊界。場的上邊界，難以確定的是下邊界。為了確定下邊界可以應用為了確定下邊界可以應用“數學解數學解析法析法”。分析距離。分析距離x軸為軸為y的電子的的電子的運動，設它從運動，設它從P點（點（x，y）進入