1、第六章第6節積分學 定積分二重積分三重積分積分域 區 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2/27AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 即所謂的“分、勻、合、精”kkkks),(可得nk 10limM為計算此構件的質量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構件

2、的質量采用目錄 上頁 下頁 返回 結束 3/27設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數在曲線或第一類曲線積分第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數， 稱為積分弧段 .曲線形構件的質量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對目錄 上頁 下頁 返回 結束 4/27如果 L 是 xOy 面上的曲線弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),

3、(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負.目錄 上頁 下頁 返回 結束 5/273. 性質性質szyxfd),() 1 ( （, 為常數)szyxfd),()2( 由 組成) 21,則上設在),(),()3(zyxgzyxf( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(

4、sd)4(目錄 上頁 下頁 返回 結束 6/27ttztytxtztytxfdszyxfCd)()()()(),(, )(),(222)(二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法,基本思路基本思路:計算定積分轉 化定理定理:),(zyxf設且)()(, )(ttzztyy上的連續函數,證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txxC,),()(存在Cdszyxf求曲線積分把區間 任意劃分：,210ntttt目錄 上頁 下頁 返回 結束 7/27, ,1kktt.d)()()(1222ttztytxskkttk,)()()(222kkkktzyx令,)(,)(,)(kkkkkk

5、zyx),(kkkkM)(ks顯然， 應位于小弧段 上， 作和式kkkknksf),(1kkkkkkknktzyxzyxf)()()()(),(),(2221考察 對應的小弧段目錄 上頁 下頁 返回 結束 8/27xyOxdydsd說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于“換元法”. 兩邊取極限即得：ttztytxtztytxfdszyxfcd)()()()(),(, )(),(222)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 9/27如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如

6、果方程為極坐標形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目錄 上頁 下頁 返回 結束 10/27例例6.1222d ,CIxyzs求 :cos ,sin ,(02 ).C xat yat zktt 曲線解解222 2220()dIak takt222222(34)3akak目錄 上頁 下頁 返回 結束 11/27 解解 d ,CIy s求222d1ddyIyy

7、x2221dyyy0oxyAB例例6.22:2(2, 2)(2,2).C yx上介于與之間的線段目錄 上頁 下頁 返回 結束 12/27例例6.3(柱面側面積柱面側面積)22159xy設橢圓柱面被平面z=y,z=0解解oxyzddAz s22159xy5cos(0)3sinxttyt 222(d )(54cos)(d )sttdCAz s121cos354dutuu120654duu159ln5403sintdd?Az s254cosdt t所截,求位于第一,二卦限內所截下部分的側面積 A目錄 上頁 下頁 返回 結束 13/27例例5 設有一半圓形金屬絲，質量均勻分布設有一半圓形金屬絲，質量均

8、勻分布， 求它的質心和它對直徑的轉動慣量求它的質心和它對直徑的轉動慣量解解oxy(1)dddxMy my sdsdxCMy s20sin da 22 a222xMaayma 22(2)dddxIymys22ddxCCIymys320sinda 32a22ddsxyddsa目錄 上頁 下頁 返回 結束 14/27例例2. 計算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉動慣量 I (設線密度 = 1). 解解: 建立坐標系如圖,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL目

9、錄 上頁 下頁 返回 結束 15/27例例3. 計算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目錄 上頁 下頁 返回 結束 16/27例例4. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中 為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()s

10、in(222)20(,sin,costtkztaytax線目錄 上頁 下頁 返回 結束 17/27例例5. 計算,d2sx其中 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目錄 上頁 下頁 返回 結束 18/27思考思考: 例5中 改為0)1()1(2222zyxazyx計算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓 的形心在原點, 故0XaX22, 如何利用形

11、心公式目錄 上頁 下頁 返回 結束 19/27d d s例例6. 計算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數方程 21cos2x sin2y則目錄 上頁 下頁 返回 結束 20/27例例7. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求

12、引力為),(yx,sinRy 求它對原點處單位質量質點的引力. RkRkF2,4目錄 上頁 下頁 返回 結束 21/27內容小結內容小結1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質性質kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)szyxfd),(),(為常數szyxgd),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 22/273. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光

13、滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf目錄 上頁 下頁 返回 結束 23/27思考與練習思考與練習1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目錄 上頁 下頁 返回 結束 24/272. 設均勻

14、螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關于 z 軸的轉動慣量;zI(2) 求它的質心 .解解: 設其密度為 (常數).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目錄 上頁 下頁 返回 結束 25/27syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標為),0,0(k作業作業P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 26/27備用題備用題1. 設 C 是由極坐標系下曲線, ar 0及4所圍區域的邊界, 求sICyxde222e