1、第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分 根本內容：根本內容： 1、積分概念和性質。、積分概念和性質。 2、柯西定理閉路積分。、柯西定理閉路積分。 3、運用柯西積分公式解題。、運用柯西積分公式解題。1 復變函數的積分復變函數的積分方法：微分、積分。方法：微分、積分。研究函數的性質的重要研究函數的性質的重要、積分的定義：、積分的定義：1針針方方向向為為正正方方向向。簡簡單單閉閉曲曲線線：規規定定逆逆時時、帶帶方方向向性性的的曲曲線線。有有向向曲曲線線：簡簡單單、光光滑滑 baknkknxfdxxf面面積積實實變變函函數數：)(lim)(1 的的積積分分定定義義：復復變變函函數數沿沿曲曲線線 C

2、knkkCnzfdzzf )(lim)(1 同同。維維積積分分相相同同，但但含含義義不不說說明明：形形式式上上與與實實變變一一 CBAdzzfdzzf)(;)(閉閉曲曲線線上上的的積積分分：有有向向曲曲線線上上的的積積分分：算算方方法法：、積積分分存存在在的的條條件件和和計計2）積積分分存存在在的的條條件件：（ 1一定存在。一定存在。則：則：為簡單光滑曲線為簡單光滑曲線為連續函數為連續函數 CdzzfCyxivyxuzf)(),(),()( CCCC)idydx)(ivu(udyvdxivdyudxdz)z(f且且： nCCCCnCCCCCdzzfdzzfdzzfdzzfCCCCCdttztz

3、fdzzfttzzCidydxivuudyvdxivdyudxdzzf)()()()()()()()()()(2121為為分分段段光光滑滑曲曲線線：可可表表示示為為參參數數方方程程時時：當當曲曲線線：通通過過兩兩個個二二元元線線積積分分求求 種種）：）線線積積分分的的計計算算方方法法（3(2），（），（），：（：（）直線段；）直線段；，（），（：）。）。，）到點（）到點（，：從（：從（、例例430300430043001 CCCzdzC），（），（），：（）直直線線段段；，（），（：）：從從原原點點到到點點（、例例110100110013 CCiCdzzC 00022010nnizzdzrzz

4、n 證證明明：、例例izzdzrzz 200 記記住住：積分。積分。：求復變函數沿曲線的：求復變函數沿曲線的目標目標1、積積分分的的基基本本性性質質：3 （有有界界）則則：上上滿滿足足在在的的長長度度為為當當為為復復常常數數）（MLdszfdzzfMzfCzfLCdzzgdzzfdzzgzfkdzzfkdzzfkdzzfdzzfCCCCCCCCC )()()()(,)()()()()()()()(些些與與實實變變函函數數類類似似）（定定義義形形式式相相似似，有有一一）的的直直線線段段。，（），：從從（的的一一個個上上界界求求：、例例4300,4 CizdzC2 柯西柯西-古薩根本定理古薩根本定

5、理分分析析上上一一節節幾幾個個例例題題：路路徑徑無無關關。被被積積處處處處解解析析，積積分分與與、例例2)43(12izdzC 積積分分與與路路徑徑有有關關。函函數數處處處處不不解解析析、例例,11321 idzzdzzdzzCCC為為奇奇點點。、例例0001)(220zzzzfizzdzrzz 連連通通。解解析析區區域域為為單單連連通通或或多多的的解解析析性性；有有關關：積積分分的的結結果果與與下下列列問問題題推推測測)2()()1(zf柯西柯西- -古薩根本定理古薩根本定理: : 假設假設f(z)f(z)在單連通區域在單連通區域D D內處處解析，那內處處解析，那么：么：f(z)f(z)沿沿

6、D D內任何一條封鎖曲線內任何一條封鎖曲線C C的積分為的積分為0 0。0)( Cdzzf。證證明明比比較較復復雜雜，不不證證明明分分。古古薩薩基基本本定定理理求求閉閉路路積積：用用柯柯西西目目標標 2652)99(1，：第第三三章章習習題題作作業業p積分。積分。：求復變函數沿曲線的：求復變函數沿曲線的目標目標1路路徑徑無無關關。域域解解析析的的函函數數，積積分分與與另另一一種種表表示示：在在單單連連通通何何？在在多多連連通通區區域域解解析析時時如如問問題題：)z(f內內一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線。是是DC 1)()(0)(,0)(,CCCCdzzfdzzfdzzfCDCdzzfCDC有有：

7、一一般般內內部部為為多多連連通通域域；相相當當于于內內部部不不全全屬屬于于內內部部為為單單連連通通域域；相相當當于于內內部部全全屬屬于于證明：證明：;DCCCC為為邊邊界界的的區區域域全全屬屬于于使使以以內內部部做做在在113 復合閉路定理復合閉路定理不不解解析析的的點點）曲曲線線不不經經過過值值。（變變形形時時閉閉作作連連續續變變形形而而改改變變積積分分，不不因因閉閉曲曲線線在在多多連連通通域域解解析析的的函函數數)z(f閉閉路路變變形形原原理理： 1CCdz)z(fdz)z(f 0)(1dzzfDCC（解解析析）內內部部全全屬屬于于古古薩薩定定理理的的推推廣廣：柯柯西西復復合合閉閉路路：交

8、交，且且它它們們互互不不包包含含也也互互不不相相內內部部的的簡簡單單閉閉曲曲線線，是是CCCn1假設假設f(z)f(z)在多連通區域在多連通區域D D內處處解析，內處處解析， C C為為D D內一條簡單閉曲線，內一條簡單閉曲線， nkCCkdz)z(fdz)z(f1 nCCCdz)z(f10復合閉路定理復合閉路定理: :，于于為為邊邊界界的的內內部部區區域域全全屬屬以以DC,C,Cn1則有：則有：任何正向簡單閉曲線任何正向簡單閉曲線在內的在內的：包含：包含例：例：1?122 zdzzzz路路積積分分。：用用復復合合閉閉路路定定理理求求閉閉目目標標3方方便便。后后面面用用柯柯西西積積分分公公式式

9、更更太太麻麻煩煩；形形式式化化為為：必必須須將將為為了了應應用用：數數的的積積分分；用用簡簡單單方方法法計計算算復復雜雜函函復復合合閉閉路路定定理理的的應應用用古古薩薩基基本本定定理理柯柯西西,1)(2000zzzfizzdzrzz 4 原函數與不定積分原函數與不定積分，積積分分與與路路徑徑無無關關。在在單單連連通通域域解解析析的的函函數數定定理理一一：CzFdzzfzFzfzFif )()()(),()(不不定定積積分分：為為原原函函數數。稱稱原原函函數數：)()()()()()()(00zFzFdzzfDzfzfzFDDzfzz 則則：內內處處處處解解析析，若若在在單單連連通通域域定定理理

10、三三：；內內也也解解析析，且且則則：其其原原函函數數在在內內處處處處解解析析，若若在在單單連連通通域域定定理理二二：證明：證明：求求原原函函數數的的問問題題。內內的的線線積積分分化化為為應應用用：函函數數在在解解析析區區域域?cos10 izdzz、例例。：用原函數求區間積分：用原函數求區間積分目標目標4?1)1ln(, 10)Re(, 0)Im(21 dzzzzzzi計計算算：的的圓圓弧弧內內沿沿區區域域、例例5 柯西積分公式柯西積分公式)(2)(0?)()()(0000000zfizzdzzfdzzzzfzzzzfzfzzc 不不解解析析；在在解解析析，引引入入：的的一一條條簡簡單單閉閉曲

11、曲線線，且且內內圍圍繞繞為為解解析析，內內（單單或或多多連連通通）處處處處在在區區域域如如果果0)(zDCDzfdzzzzfizfC 00)(21)()(內內部部全全解解析析在在的的內內部部完完全全含含于于CzfDC柯西積分公式：柯西積分公式：2( 100)78 (3)(4)(5)p作業 ：第三章習題，。：用原函數求區間積分：用原函數求區間積分目標目標4求求積積分分。通通過過：應應用用柯柯西西積積分分公公式式，目目標標)(50zf柯柯西西公公式式求求閉閉路路積積分分。：應應用用復復合合閉閉路路定定理理目目標標 53?12?)3211(?sin21123244 dzzedzzzdzzzizizz

12、z、例例、例例 特特征征：揭揭示示了了解解析析函函數數的的重重要要 20000)(21)()(2)(1drezfzfzfrezzCCzfii周周上上的的平平均均值值；在在圓圓心心的的值值等等于于其其在在圓圓為為圓圓周周時時，）（表表示示；內內的的值值可可用用邊邊界界上上的的值值在在）（dzzzzfizfC 00)(21)(柯柯西西積積分分公公式式：積積分分有有界界性性證證明明：閉閉路路變變形形原原理理 6 柯西積分高階公式柯西積分高階公式 ),2, 1()(2!)(100)( ndzzzzfinzfCnn階階導導數數為為：的的導導數數仍仍為為解解析析函函數數，解解析析函函數數nzf)(數數學學

13、歸歸納納法法證證明明：1;2; 1 nnnn柯柯西西積積分分高高階階公公式式：)(0內內部部全全解解析析在在的的內內部部完完全全含含于于的的一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線，內內圍圍繞繞為為CzfDCzDC dzzedzzzrzzrz 122151)21cos)11 、例例求求積積分分。通通過過：應應用用柯柯西西積積分分公公式式，目目標標)(50)(zfn內內解解析析。在在為為任任意意閉閉曲曲線線，證證明明：內內連連續續，且且：在在單單連連通通域域（柯柯西西定定理理的的逆逆定定理理）、莫莫勒勒拉拉定定理理：例例BzfCdzzfBzfMoreraC)(0)()()(2 解解析析函函數數解解析析函函數

14、數導導數數仍仍為為解解析析解解析析解解析析定定理理二二連連續續與與路路徑徑無無關關證證明明：柯柯西西積積分分公公式式)()()()()(81)()()(0)(0zfzFzFzfzFpzfdfzFdzzfzzC 7 解析函數與調和函數的關系解析函數與調和函數的關系場場理理論論中中有有應應用用一一、調調和和函函數數：在在電電磁磁內的調和函數內的調和函數為區域為區域稱：稱：方程方程內滿足內滿足在區域在區域定義：定義：DyxyxLaplaceDyx),(0),(2222 處處處處為為調調和和函函數數例例、),(2222),(222222yxuyuyyuxuxxuyxyxu 二、定理：二、定理：都都是是

15、調調和和函函數數。解解析析函函數數的的實實部部和和虛虛部部證明：證明：為調和函數為調和函數解析解析),(0)(),(),()(2222222222yxuyuxuyxvyuxyvxuxvyuyvxuzfyxivyxuzf 三三、共共軛軛調調和和函函數數：的的共共軛軛調調和和函函數數。為為稱稱函函數數解解析析),(),(),(),(yxuyxvyxivyxuf 能能構構成成解解析析函函數數。并并不不是是所所有有調調和和函函數數都都函函數數虛虛部部是是實實部部的的共共軛軛調調和和順順序序不不能能換換；注注意意：)2()()1(斯斯邊邊值值問問題題。如如：映映射射問問題題；拉拉譜譜拉拉解解決決調調和和

16、函函數數的的問問題題。理理論論應應用用：利利用用解解析析函函數數的的3( 100 102)918,28p作業 ：第三章習題，求求積積分分。通通過過：應應用用柯柯西西積積分分公公式式，目目標標)(),(50)(0zfzfn數數。：判判斷斷函函數數是是否否調調和和函函目目標標6289 ,8,7,6,5,2)10299(，作作業業：第第三三章章習習題題p求求積積分分。通通過過：應應用用柯柯西西積積分分公公式式，目目標標)(),(50)(0zfzfn數數。：判判斷斷函函數數是是否否調調和和函函目目標標6路路積積分分。：用用復復合合閉閉路路定定理理求求閉閉目目標標3。：用原函數求區間積分：用原函數求區間

17、積分目標目標4分分。古古薩薩基基本本定定理理求求閉閉路路積積：用用柯柯西西目目標標 2積分。積分。：求復變函數沿曲線的：求復變函數沿曲線的目標目標1結結小小第三章第三章調調和和函函數數）閉閉路路積積分分問問題題（）復復變變函函數數積積分分（較較）實實變變與與復復變變積積分分的的比比（個個方方面面：)4(3214義義不不明明。復復變變函函數數積積分分：物物理理意意形形面面積積。實實變變函函數數積積分分：曲曲邊邊梯梯物物理理意意義義不不同同。路路徑徑無無關關。為為解解析析函函數數時時，積積分分與與)(zf。實實變變函函數數：沒沒有有此此性性質質；可可以以由由邊邊界界上上的的值值表表示示解解析析函函

18、數數：區區域域內內部部值值復復變變函函數數：較較：、實實變變與與復復變變積積分分的的比比1 、不不同同地地方方：。、相相似似地地方方：形形式式相相同同2107)0 , 1(,9)0 ,0(0942),(942),(11121)(21)(1)(2222000 ffCyxCyxfyxyxfCdzzzidzzzzfizfzfCCC內內，但但在在邊邊界界上上值值為為：在在邊邊界界實實函函：。內內的的值值處處處處為為即即：區區域域的的值值上上例例：復復函函：在在邊邊界界 、復復變變函函數數積積分分：2 、區區間間積積分分計計算算方方法法：、定定義義：2)(lim)(1110knkknzzzfdzzf )()()()()()()()()()()(0110zFzFdzzfzFzfzfdttztzfdzzfidydxivudzzfzzCCC 的的原原函函數數為為解解析析函函數數時時， 、閉閉路路積積分分問問題題：3 dttztzfdzzfzfndzzzzfinzfzCCzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfCCnnCCnkCCCk)()()()()4(), 2 , 1 , 0()(2!)()(3)()(2)()()(0)(1100)(011處處處處不不解解析析，則則：若若閉閉曲曲線線，為為圍圍繞繞的的內內部部處處處處解解析析，在在）柯柯西西公公式式：（。連連續續變變形形而而改改變變積積