1、課題3:多邊形及其內角和第1課時(11.3.1多邊形)【導學目標】1知道多邊形、多邊形的內角、多邊形的外角、多邊形的對角線和正多邊形的有 關概念。2能夠解決與多邊形的對角線有關的問題。【導學重難點】重點：多邊形的相關概念。難點：多邊形對角線。【導學流程】一、學前準備知識點一：多邊形、多邊形的內角、多邊形的外角、多邊形的對角線和正多邊形 的有關概念。二、探索思考1自學課本，完成下列問題。(1) 在平面內，由一些線段目接組成的叫做多邊形。圖1中分別是什么多邊形？OO2中內角有(3) 多邊形的邊與它的的鄰邊的 成的角叫做多邊形的外角。圖2中外角有。(4) 連接多邊形的個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

2、(5) 併目等， 併目等的多邊形叫做正多邊形。2. 對應練習(1) n邊形有 邊， 頂點， 內角。(2) 下列圖形不是凸多邊形的是()。知識點二：解決與多邊形的對角線有關的問題1探究：畫出下列多邊形的對角線，回答問題:四辺形五邊序六邊形（1） 從四邊形的一個頂點出發可以畫 對角線，把四邊形分成了 個三角形；四邊形共有條 寸角線。（2） 從五邊形的一個頂點出發可以畫 對角線，把五邊形分成了 個三角形；五邊形共有條對角線。（3） 從六邊形的一個頂點出發可以畫 對角線，把六邊形分成了 個三角形；六邊形共有條對角線。（4） 猜想：從100邊形的一個頂點出發可以畫 對角線，把100邊形分成了 三角形；1

3、00邊形共有條對角線。從n邊形的一個頂點出發可以畫條寸角線，把n分成了 三角形；n邊形共有 對角線。練習：（1） 從n邊形的一個頂點出發可作條 寸角線，從n邊形n個頂點出發可作條寸角線，除去重復作的對角線，則 n邊形的對角線的總數為 條。（2） 過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形有2條對 角線，貝U（ m-k） =。（3）過十邊形的一個頂點可作出幾條對角線？把十邊形分成了幾個三角形？（4） 十二邊形共有 對角線，過一個頂點可作 對角線，可把十二邊形分成三角形。三、當堂反饋1下列圖形中，是正多邊形的是（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.長方形D.正方形2. 九邊形的對角線

4、有（）。A.25 條 B.31 條 C.27 條 D.30 條3過n邊形的一個頂點的所有對角線，把多邊形分成 8個三角形，則這個多邊形 的邊數是04. 一個多邊形的對角線的條數等于它的邊數的4倍，求這個多邊形的邊數是5. 如圖，/ 1,Z 2,7 3是三角形ABC的不同三個外角，則/ 1 + Z 2+Z 3=，/ BFC。10. 在 ABC中/A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個外角等于/ B的兩倍，那E么/ A=, / B=, / C=。第2課時(多邊形的內角和)【導學目標】1. 知道多邊形的內角和與外角和定理；2. 運用多邊形內角和與外角和定理進行有關的計算。【導學重難點】重點：多邊形的內

5、角和與外角和定理。難點：內角和定理的推導。【導學流程】一、學前準備1. 三角形的內角和是多少。2. 正方形、長方形的內角和是多少 。3. 從n邊形的一個頂點出發可以畫 對角線，把n邊形分成了個三角形。二、探索思考知識點一：多邊形的內角和定理探究1:任意畫一個四邊形，量出它的4個內角，計算它們的和。再畫幾個四邊 形，量一量、算一算。你能得出什么結論？能否利用三角形內角和等于180。得出這個結論？結論：。探究2:從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內角和各是多少嗎？觀察右圖，請填空：(1)從五邊形的一個頂點出發，可以引 對角線，它們將五邊形分為 三角形，五邊形的內角和等于 180 。(2)從六邊

6、形的一個頂點出發，可以引條對角線，它們將六邊形分為個三角形， 六邊形的內角和等于180。探究3： 一般地，怎樣求n邊形的內角和呢？請填空：從n邊形的一個頂點出發，可以引 對角線，它們將n邊形分為個三角形，n邊形的內角和等于180 。結論：多邊形的內角和與邊數的關系是。練習一1. 十二邊形的內角和是 。2. 個多邊形的內角和等于900 ,求它的邊數。 知識點二：多邊形的外角和探究4:如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形 的外角和。六邊形的外角和等于多少？問題：如果將六邊形換為n邊形（n是大于等于3的整數），結果還相同嗎？ 因此可得結論：。練習二1七邊形的外角和是 十二邊

7、形的外角和是 三角形的外角和是。2. 個多邊形的每一個外角都等于 36,則這個多邊形是邊形。3. 在每個內角都相等的多邊形中，若一個外角是它相鄰內角的1/2,則這個多邊形是形。三、當堂反饋1一個多邊形的每一個外角都等于 40,則它的邊數是；一個多邊形的每一個內 角都等于140，則它的邊數是。2. 如果四邊形有一個角是直角，另外三個角的度數之比為2： 3： 4,那么這三個內角的度數分別為。3. 若一個多邊形的內角和為1080,則它的邊數是 。4當一個多邊形的邊數增加1時，它的內角和增加度。3正十邊形的一個外角為。4. 形的內角和與外角和相等。5已知一個多邊形的內角和與外角和的差為1080,則這個

8、多邊形是邊形。6. 若一個多邊形的內角和與外角和的比為 7： 2,求這個多邊形的邊數。知識鏈接三角形的五心重心：三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。上述交點叫做三角形的重心。外心：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點。這點叫做三角形的外心。 垂心：三角形的三條高線交于一點。這點叫做三角形的垂心。內心：三角形的三條內角平分線交于一點。這點叫做三角形的內心。旁心：三角形的一條內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，這點叫 做三角形的旁心。三角形有三個旁心。三角學發展簡史 三角學是以研究三角形的邊和角的關系為基礎， 應用于測量， 同時也研究三角函 數的性質及其應用

9、的一門學科。三角學起源于生活實踐。 例如古埃及人為了建筑金字塔， 整理尼羅河泛濫后的耕 地以及通商航海觀察天象等測量的需要， 產生和積累了有關的三角學知識； 又如 古印度人也是由天文測量的需要而得到三角學的有關內容。 古代三角學的萌芽可以說是古希臘哲學家泰勒斯的相似理論， 而希臘的天文學家 喜帕恰斯，曾著有三角學 12 卷，大概可以認為是古代三角學的創始人。 三角測量在中國也很早出現， 公元前一百多年的 周髀算經就有較詳細的說明， 例如它的首章記錄“周公曰，大哉言數，請問用矩之道。商高曰，平矩以正繩、 偃矩以望高、覆矩以測深、 臥矩以知遠。”（商高說的矩就是現今工人用的兩邊互 相垂直的曲尺，

10、商高說的大意是將曲尺置于不同的位置可以測目標物的高度、 深 度與廣度。）1世紀時的九章算術中有專門研究測量問題的篇章， 3世紀時劉徽所著的 海 島算經中更有運用“重差術” ，通過多次觀察來解決不可達高度與距離問題。 但古代三角學只是作為天文學的一部分內容而已，直到13 世紀中亞數學家納速拉丁在總結前人成就的基礎上，著成完全四邊形一書，才為把三角學從天文 學中獨立出來奠定了基礎。直到 15 世紀，德國的雷格蒙塔努斯的論三角一 書的出版， 才標志古代三角學正式成為獨立的學科。 這本書中不僅有很精密的正 弦表、余弦表等，而且給出了現代三角學的雛形。16 世紀法國數學家韋達則更進一步將三角學系統化，在

11、他對三角法研究的第一 本著作應用于三角形的數學法則 中，就有解直角三角形、 斜三角形等的詳述， 并且還有正切定理以及和差化積定理等。使人注目的是 18 世紀瑞士數學家歐拉，他首先研究了三角函數，使三角學從原 先靜態研究三角形的解法中解脫出來， 成為反映現實世界中某些運動和變化的一 門具有現代數學特征的學科。 歐拉不僅用直角坐標來定義三角函數， 徹底解決了 三角函數在四個象限中的符號問題， 還引進了弧度值。 更可貴的是他發現了著名 的歐拉公式 eix=cosxi sinx ，把原來人們認為互不相關的三角函數和指數函數 聯系起來了，為三角學增添了新的活力。由上述可見三角學是源于測量實踐， 其后經過

12、了漫長時間的孕育， 眾多中外數學 家的不斷努力，才逐漸豐富，演變發展成為現在的三角學。三角學的歷史演變 三角學是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系為基礎， 達到測量上的 應用為目的的一門學科。 同時還研究三角函數的性質及其應用。 三角學的拉丁文 拼法為trigo no metria，是三角形tria ngulum和測量metricus兩字的合并，由德國 人皮蒂斯楚斯于 1595 年創用，原意指三角形的測量，即解三角形。 早期的三角學是天文學的一部分， 后來研究范圍逐漸擴大， 變成以三角函數為主 要對象的學科。早在公元前 300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用于測量。 例如建

13、筑金字塔、整理尼羅河泛濫后的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學者泰勒斯游埃及， 利用相似三角形的原理測出金字塔的高， 成為 西方三角測量的肇始。據中國古算書周髀算經記載，約與泰勒斯同時代的陳 子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法后來稱為“重差術” 。公元前 2 世紀 前后希臘天文學家喜帕恰斯為了天文觀測的需要， 作了一個和現在三角函數表相 仿的“弦表”，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學 的最早奠基者。公元 2 世紀，希臘天文學家、數學家托勒密繼承喜帕恰斯的成就， 加以整理發揮，著成天文學大成 13 卷，包括從 0到 90每隔半度的弦表 及若干等價于

14、三角函數性質的關系式， 被認為是西方第一本系統論述三角學理論 的著作。約同時代的門納勞斯寫了一本專門論述球面三角學的著作球面學 ， 內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣， 以及球面 三角形許多獨特性質。 他的工作使希臘三角學達到全盛時期。 公元 6 世紀初， 印 度數學家阿耶波多制作了一個第一象限內間隔 3 45的正弦表，依照巴比倫人 和希臘人的習慣，將圓周分為 360度，每度為 60 分，其中用同一單位度量半徑 和圓周， 孕育著最早的弧度制概念。 他在計算正弦值的時候， 取圓心角所對弧的 半弦長，比起希臘人取全弦長更近于現代正弦概念。印度人還用到正矢和余弦， 并給出一

15、些三角函數的近似分數式。13 世紀納西爾丁在論完全四邊形中第一次把三角學作為獨立的學科進行論 述，首次清楚地論證了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個角，可以求得 它的三個邊，或由三邊去求三個角。這是區別球面三角與平面三角的重要標志。 至此三角學開始脫離天文學，走上獨立發展的道路。 近代三角學始于歐拉的無窮分析引論 （1748 年），他第一次以函數線與半徑 的比值作為三角函數的定義，并令圓的半徑為 1，使三角研究大為簡化。歐拉創 用 a、b、c 表示三角形三邊， A、B、C 表示對應的三個角，大大簡化了三角公 式，這標志著三角學從研究三角形解法進一步轉變為研究三角函數及其應用的一 個數學分支

16、。我國古代沒有出現角的函數概念， 只用勾股定理解決了一些三角學范圍內的實際 問題。 1631 年西方三角學首次傳入中國，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國 學者徐光啟合編的大測為代表。同年徐光啟等人還編寫了測量全義 ，其 中有平面三角和球面三角的論述。 1653 年薛風祚與波蘭傳教士穆尼閣合編三 角算法，以“三角”取代“大測” ，確立了“三角”名稱。 1877 年華蘅煦等人 對三角級數展開式等問題有過獨立的探討。現代的三角學主要研究角的特殊函數及其在科學技術中的應用，如幾何計算等， 多發展于 20 世紀中。古希臘人看三等分任意角問題 對于古典時期的希臘人來說， 二等分角是一件易事。 可是， 當他

17、們在成功地用直 尺和圓規作出圓內接正五邊形后， 試圖作出邊數更多的正多邊形時， 不可避免地 遇到了如何按給定比將角分成兩部分的問題。如正九邊形的情形，這個比為2：1，于是三等分角問題產生了。希臘人以尺規來解該問題的嘗試一次又一次地以 失敗告終。他們漸漸意識到光靠直線和圓是不頂用的， 必須借助于其他復雜的曲 線才能成功。第一個意識到這一點的希臘人是希皮亞斯（Hippias）。他是伯羅奔尼撒的厄里城 人，生于公元前460年左右，是蘇格拉底（SocrateS的同代人。希皮亞斯為解 三等分角問題發明了一種稱作割圓曲線的新曲線，如圖 11-1 所示。 ABCD 為一 正方形，BED是以A為圓心的四分之一

18、圓弧。假設半徑繞 A點從AB位置勻速 轉動到AD位置，而在相同時間內直線 BC從BC位置勻速平移到 AD位置（端 點 B 始終沿 BA 運動）。則平動直線與轉動半徑的交點軌跡就是割圓曲線。其性 質是：/ BAD :/ EAD = BED: ED = AB : FH 設/ FAD = 9，AF = 9，AB = a，則割圓曲線的極坐標方程為：p =2a 0 n sinB有了割圓曲線，就可以輕而易舉地三等分任意角了。如圖11-1,要三等分/ EAD , 只需取FH的三等分點F,過F作B C平行于AD，交割圓曲線于L,連接 AL ,交 BED 于 N,易證/ EAD :/ NAD=FH : LM=F

19、H : F H=3 : 1因此AN三等分/ EAD。實際上，利用割圓曲線可以將角任意等分。E11 -3圖 11 -4圖 11-1希皮亞斯利用割圓曲線，通過線段三等分來完成角的三等分。 或許受此啟發，170 多年后大數學家阿基米德發明了另一種后人以其名字命名的新曲線一一阿基米 德螺線。它是這樣產生的：一條射線 OA從一起始位置出發繞固定端點 O做勻速轉動，而在射線開始轉動的同時，一個點從O出發沿著它做勻速運動。則該點的運動軌跡就是阿基米德螺線。其極坐標方程是p =a0。如圖11-2所示。利用該曲線的第一圈來三等分角 AOB時，只需以角的一邊OA作為原始位置，以O為固定端點，作一螺線交 OB于P。

20、取OP的三等分點Q,以O為圓心，OQ 貝U OR三等分/ AOB希臘人還巧妙地將三等分角問題作了轉化。如圖 11-3所示，設/ ABC是須三等 分的銳角，AC丄BC。作矩形ACBF，延長FA至E,而E是這樣的點：若連接BE 交 AC 于 D，貝U DE = 2AB。取 DE 的中點 G,連 AG，貝U DG = GE = AG = AB。因此/ ABG = / AGB = 2/ AEG = 2/ DBC , DE 三等分/ ABC。這樣問題 轉化為：在AE和AC之間插入長為2AB的線段ED,使ED斜向B點。這就是 希臘人所謂的斜向問題。阿基米德的同代人尼可米德（Nicomedes,約前280前

21、210年）為解決上述斜 向問題，發明了一種稱作蚌線（或蝸線）的新曲線。它是通過一種機械裝置畫出 來的，如圖11-4所示。AB是一直尺，其上有平行于尺長方向的狹孔，FE是垂直固定在AB上的第二把直尺，其上固定一釘子C。第三把直尺PC以P為尖端， 其上也有平行于尺長方向的狹孔，釘子 C可沿狹孔自由移動。D是PC上一固 定的釘子，與狹孔同在一線上，且 D可沿AB上的狹孔自由移動。移動PC，則 尖端P就畫出了蚌線。尼可米德稱 AB為“直尺”，固定點C為“極點”，不變 長度PD為“距離”。設PD = a，CF= b，Z FCP= 9，則尼可米德蚌線的極坐標 方程為p =a+bsec9。若在圖11-3中以

22、B為極點，AC為直尺，長度2AB為距離 作蚌線，交FA的延長線于E，則BE即為/ ABC的三等分線。希臘人對于三等分角問題的轉化是意猶未盡的。阿基米德便是其中一例。如圖11-5所示，將須三等分的角 AOB作為圓0的圓心角。延長BO至C,連AC交 圓 O 于 D。如果 CD = OA，那么，/ AOB = /A + Z C=Z ADO + Z C= 2/C + /C = 3/C于是過O且平行于CA的直線OE即為/ AOB的三等分線。因此三等分角問題 又轉化為：在BO延長線和圓周之間插入線段 CD，使它與半徑等長且斜向 A。 這是另一種斜向問題。r到了中世紀，意大利數學家、天文學家坎伯努斯（ Ca

23、mpanus 12201296年） 在其幾何原本的拉丁文譯本中給出了一種斜向法， 如圖11-6所示。設/ AOB 是須三等分的圓心角，OC丄OB。過A作圓的弦AD交OC于E,使得ED = OA， 則/ A = 23/ AOB。過O引DA的平行線OF, OF即為/ AOB的三等分線。易 證坎伯努斯的方法與阿基米德斜向法是一樣的。坎伯努斯以前的約當努斯（NJordanus ?1237年）其實已在他的著作中給出過同樣的方法。正如尼可米德為解斜向問題而發明了后人以其名字命名的蚌線一樣，在他1800年后的法國數學家、著名數學家帕斯卡之父埃廷內帕斯卡（Pascal, 15881651年）為解決上述阿基米德

24、斜向問題而發明了另一種蚌線，今稱帕斯卡蝸 線。如圖11-7所示，A是圓O上一點，從A向圓周上任一點P引射線，并在射 線上的P點兩側截取PQ= PQ= a（常數），則Q和Q的軌跡即為帕斯卡蝸線。A稱為極點。設圓半徑為R,則帕斯卡蝸線的極坐標方程為 P =A+2Rcos9。1896年，奧布里（Aubry）利用圓錐給出妙法。如圖11-9所示，/ AOB是須三 等分的圓O的圓心角。以圓O為底作一正圓錐VO,使斜高等于底半徑的3倍。 則展開圓錐得的/ AVB = 1/3/ AOB。折飛機解幾何“三分角”難題以直尺和圓規把一角分作三等份，是經典三大數學難題之一。折飛機的玩意又如 何和“三分角”的解法扯上關

25、系呢？若我們將“折紙飛機”攤開，便會發現如圖11-10所示的折痕一一一束束直線從 一點散發出來。原來我們可以利用這些折痕找出“三分角”的方法。首先我們可利用折痕繪出一軌跡曲線，稱之為“ C曲線”。在離P點若干距離折 出橫線AB，然后在每一條原先的折痕與 AB相交處，找出相同長度的位置，并 以點為記。將這些點連起來，便形成“ C曲線”。如圖11-11所示。紙飛機折痕匕的Pft劊T圖 11-10圈 H -11若我們想把/ QPR分作三等份，可采用以下的步驟：（一）PX : XR = 1 : 2的比值，在 AB線上定出X點。（二）由X點畫出一垂直線XS，與“C曲線”相交于S點。（三）以直線連接P和S

26、,PS便可將/ QPR的1/3解分出來（即/ QPS=1/3/ QPR）利Jin cfti線）叮把乙（?打的+f（分出來圖 11-12（四）最后，可用圓規直尺把/ SPR平分。我們更可進一步利用幾何原理，去驗證第三步驟所得出來的結果：（一）在TS線段上，作中點 M。由于/ TXS = 90, T、X、S共圓（concyclic），得 SM = MX = MT （M為T、X、S共圓的圓心）。（二）設/ MSX = 9，則 / MXS = / MSX = B ,得/ TMX = 2 9 三角形外角（ext. / of A）（三）由于 TS = 2PX（ “C 曲線”特點），PX = TM = MS

27、 = MX，得/ MPX= /XMP=2 9。（四） 由于/ QPS=Z PSX= 9 內錯角，（alt. /s, QP/ SX），因此，/ QPS=1/3 / QPX。難求的完美正方形20世紀30年代，在英國劍橋大學的一間學生宿舍里，聚集了4名學生，他們叫塔特、斯東、史密斯、布魯克斯。他們在研究一個有趣的數學問題一一完美正方 形。什么是完美正方形呢？如果一個大的正方形是由若干個大大小小的不同的正 方形構成，這個大正方形叫做完美正方形。許多人認為，這樣的正方形是根本不存在的。 假如有，為什么沒有人把它畫出來 呢？但是聚集在這里的四名大學生，敢于迎接挑戰，相信完美正方形是存在的。3年之后，4個人

28、再一次聚在一起，每個人都有了成績。布魯克斯發現了一種完 美正方形，史密斯和斯東發現了另一種，而塔特找到了進一步研究的途徑。又過了幾年，他們發現了一個由39個大小不等的正方形組成的完美正方形。這 個完美正方形不是碰運氣找到的而是在理論指導下完成的。這個完美的正方形的 每邊長為4639個單位長，39個小正方形的邊長依次為：1564, 1098, 1033, 944, 1163, 65, 491, 737, 242, 249, 7, 235, 256, 259, 478, 324, 296, 219, 620, 697, 1231, 1030, 201, 829, 440, 992, 283, 15

29、7, 126, 31, 341, 519, 409, 163, 118, 140, 852, 712, 2378個單位長。四位當年的大學生通過完美正方形的研究， 都成了組合數學和圖論專家。他們的 研究成果被應用到物理、化學、計算機技術、運籌學、語言學、建筑學等諸多領 域。數學家又提出一個新的問題：存不存在由最少數目的正方形組成的完美正方形 呢？ 1978年，借助于電子計算機的幫助，終于找到這個由最少數目的正方形組成的完美正方形，它的邊長為112個單位長，由21個小正方形組成（如圖11-13）。 這些小正方形的邊長依次為：2,4,6,7,8,9，11, 15，16，17，18，19, 24,塔特

30、教授曾于1980年來我國講學，他是世界上最著名的圖論學專家。他滿懷深 情地向人們講述了研究了 40年的完美正方形的故事。吳文俊和機器證明吳文俊是我國當代的著名數學家，中國科學院院士。他研究的幾何定理的機器證 明旨在尋求一般性的方法，它不僅適用于個別的定理，而且適用于整個某一類型 的定理，甚至可以說是某一種幾何的所有定理。 只要依照他所述的方法機械地進 行，在有限步之后，就可對整個一類定理得到統一的證真和證偽，而無分難易。要做到這一點，必須通過以數量關系為主的代數方法，而幾何的代數化乃是關鍵 性的一步。吳文俊不僅論述了初等幾何機械化的原理與方法，還研究了這些理論與方法在計 算機上的具體實施，其中

31、包括程序的編制，計算量的估計，具體定理的證明，新 定理的發明以及幾何的理論和方法對計算機使用效率的改進與各種應用等等。后來，他還致力于研究微分幾何的機械化問題以及各種有關的理論問題。吳文俊關于機器證明的成果已引起國內外邏輯學家和人工智能學者的高度重視。此外，他還致力于中國古代數學史的研究。1983年，吳文俊當選為中國數學會理事長，這是繼華羅庚之后的第二任理事長。數學中的推理、邏輯與證明數學中的推理方法有歸納推理和演繹推理。 我們看到這兩種方法都有用處，但是 各有缺點，歸納推理能用以發現新的東西，但如果所考慮的事例并不具有代表性， 或者被誤解了，那么就可能推得錯誤的結論。演繹推理能用以產生正確的

32、結論， 但必須從正確的假定出發。 在數學中經常一起使用這兩種方法： 用歸納法去導出 可接受的假設，用演繹法從假設去推導正確的結論。人類最初的數學知識是由歸納法得到的。 遠古的埃及人和巴比倫人， 通過觀察和 實驗獲得了許多數學知識， 并把這些數學知識應用于他們的日常生活之中。 古希 臘人對哲學和邏輯很有興趣，十分強調推理。他們接受了一些基本的數學假設， 然后從這些假設出發，用演繹法證明了大部分我們今天知道的幾何定理。所以， 演繹證明是數學的一個重要部分。從古希臘的時代起， 演繹法就成為數學中最重要的一種推理方法。 但是，數學家 們像其他科學家一樣，仍然通過預感、想象、類比、推測、實驗等各種方法繼

33、續 發現新的思想， 然后他們為了驗證新的思想確實成立， 苦心作成嚴格的證明。 這 種嚴格的形式證明完全不同于想象。 他們應用假設、 定義和先前已證明過的命題 去證明新的命題。他們決不說： “如此這般是正確的” ，而是說，“如果 A 成立， 那么B成立”他們了解，結論B依賴于作為出發點的假設 A，而且可能只在數 學的世界里是成立的， 在物理世界里可能沒有明顯的應用或解釋。 例如兩個波蘭 數學家，斯蒂凡巴拿赫與艾爾弗雷德塔斯基，從數學觀點用一種邏輯證明了： 一粒豌豆大小的固體球能夠分割成有限多數目的薄片， 然后裝配成太陽大小的一 個球！難怪數學被認為是一門不尋常的科學。泰勒斯：幾何證明的初試 古埃

34、及人與巴比倫人，通過長期（約三千年）的生活實踐，累積了大量直觀的、 經驗的、實驗的幾何知識一一可能對也可能錯。然后傳到了古希臘（泰勒斯、畢 達哥拉斯、德謨克里特，這些希臘先哲都曾到過埃及與巴比倫旅行、游學， 帶回了許多幾何知識） ，加上希臘人自己所創造的幾何遺產，經過一群愛智、求 完美、講究論證、追根究底、為真理奮斗的哲學家們之增益與整理，開始發酵而 產生質變。在古希臘文明的早期， 希臘人編造許多神話來解釋各種現象。 但是當他們面對幾 何時，毅然決定給經驗注入論證與證明，迫使神話與獨斷讓位給理性（ myth and dogma gave way to reason），這是數學史也是文明史上了不

35、起的創舉，最重大的 轉折點。古希臘人花了約三百年的時間 （從公元前 600300年），才將經驗式的幾何精煉 成演繹式的幾何。首先由泰勒斯（Thales,約公元前624547年，被尊稱為演 繹式幾何之父）發端，他試圖將幾何結果排成邏輯鏈條（logical chain）:排在前 面的可以推導出排在后面的，因而有了“證明”的念頭。根據亞里士多德的學生歐德孟斯（Eudemus,公元前330年左右）的說法，泰勒 斯曾游學埃及， 他是第一位將埃及的幾何知識引進希臘的人。 泰勒斯自己也發現 了許多命題，并且勤教后進，展示其背后的原理。他有時采用一般方法，有時則 采取較經驗的手法來論證。古埃及人、 巴比倫人面

36、對的是個別的、 具體的這個或那個幾何圖形。 泰勒斯開始 加以抽象化與概念化， 研究圖形本身并且給出普遍敘述的幾何命題。 這是幾何要 成為演繹系統的必要準備工作。舉例說明：在日常生活中， 我們看見車輪子是圓的、 中秋節的月亮也是圓的 于是逐漸有了 “圓形”的概念（concept）。“圓形”絕不會跟“方形”混淆。最 后抽象出“圓”的理念（idea）:在平面上，跟一定點等距離的所有點，所成的 圖形叫做圓； 定點叫做圓心， 定距離叫做半徑， 通過圓心且兩端在圓上的線段叫做直徑。另一方面，我們觀察到車輪子由直徑裂成相等的兩半，化成“理念”得 到：直徑將圓等分成兩半。這是一個普遍的幾何命題，生存在柏拉圖的

37、“理念與 形的世界”(the world of ideas and forms)。古埃及人與巴比倫人只見到這個或那 個具體的圓形，而希臘人思考的是抽象理念的“圓形”本身。 一般而言，數學史家公認下面六個幾何命題應歸功于泰勒斯： 命題一兩直線相交，則對頂角相等。命題二一個圓被其直徑等分成兩半。 命題三等腰三角形的兩個底角相等。命題四半圓的內接角為一個直角。 命題五兩個三角形若有兩個角及其夾邊對應相等，則兩個三角形全等。命題六兩個三角形若三個內角對應相等，則其對應邊成比例。這些命題都相當“直觀而顯明”。據猜測，古埃及人與巴比倫人可能也都知道這 些結果，不過是以孤立的經驗幾何知識來存在。為何需要證明

38、？最主要的理由是經驗知識可能錯誤，即“眼見不完全足憑” 。例 如，關于半徑為r的圓面積，泰勒斯從巴比倫人得到的是 3r2，又從埃及人學到 (82/9) 2r2的答案，兩者不同，因此至少必有一個是錯誤的。又如，在萊因紙草算經中說，四邊為a, b，c，d之四邊形，其面積為1/4 (a+ c) (b+ d)， 這只有在長方形的情形才成立。人類常會“看走了眼”，明明眼見“地靜”與“地 平”，怎么又有“地動”與“地圓”的爭論呢？對于同一個歷史事件或物理事實， 立場不同的人可以“英雄所見完全不同”。“鳥瞰的世界”與“人看的世界”當然 不同。人是詮釋者，也是權衡者。證明就是要以理說服自己，然后再說服他人。

39、因此，感官經驗雖是知識的根源，但是若要得到正確的知識，必須再經過論證與 證明，才能分辨對錯。這是泰勒斯深切體會到的。因此，亞里士多德說： 對于泰勒斯而言，他的主要問題并不在于“我們知道什么”，而是在于“我們是 怎么知道的”。進一步，泰勒斯要問：“為何”知道？這里涉及到知識論的兩個基本問題：(I)如何看出或發現猜測？(U)如何證明或否證一個猜測？有了猜測才談得上證明，否則證明什么呢？能夠通過證明的猜測，才成為定理。 對于命題一到六，泰勒斯如何給予“證明”呢？根據數學史家的看法，當時的“證 明”包括兩種：直觀的示明與演繹的示明。前者如蘇格拉底教男童倍平方問題就 是一個例子。我們不要忘了，泰勒斯是為

40、演繹數學立下“哥倫布的蛋”的第一人， 因此瑕疵在所難免。命題一之證明：圖 11 -15圖11 -16圖 H -17如圖11-15所示，/ 1 + Z 3 =Z 2+Z 3,兩邊同減去/ 3得/仁/2。同理可證/ 3= / 4,證畢。命題二之證明： 沿著直徑將圓折疊起來，兩半恰好重合。這只是實驗與直觀的驗證而已。 后來歐幾里得將這個命題當作一個定義，他說： “一個圓的直徑是指通過圓心而 止于圓周上的任何線段，并且此線段等分此圓。 ”命題三之證明：如圖11-16所示，沿著中線 AD將三角形折疊起來，兩半恰好重合，因此/ B= / C。證畢。這個命題又叫做驢橋定理，意指“笨蛋的難關” ，對初學者已構

41、成困難。 命題四之證明：如圖11-17所示，連結A點與圓心0,則厶AOB與厶AOC都是等腰三角形。由 命題三知/仁/ B，Z 2=Z C,又因為三角形的三內角和為一平角，所以/ 1 + Z 2= / A= 一直角，證畢。泰勒斯非常喜愛這個定理，據說他是觀察到長方形的對角線互相平分而得到的。 他為此而特別宰了頭牛慶祝一番。 因此這個定理又叫做泰勒斯定理， 再推廣就是 圓周角定理。命題五之證明： 利用移形的方法，可以使兩三角形完全疊合在一起，所以它們是全等的，證畢。命題六之證明： 見前節的“相似三角形基本定理” 。總結上述之證明， 所用到的基本原理計有： 等量代換法、等量減法、移形疊合法、 標尺作

42、中線、兩點決定一直線與三角形三內角和為一平角等等。 關于泰勒斯將幾何定理排成邏輯鏈條一事，歷史上并沒有實例。堅持真理的羅素柏特蘭羅素（Bertrand Russell, 18721970年）是著名數理邏輯家，也是一位 哲學家， 他從 23 歲開始寫作， 不斷工作 75 年，共寫出一百多本書及上千篇的論 文。他在 1950年獲得諾貝爾文學獎。他是一個和平主義者，他說： “在我的一生中，從未碰到過像從事和平主義運動 這樣毫不猶豫地奉獻全部心靈熱誠的工作， 我生平第一次發現了我把全副的天性 浸沉到工作的韻律中。 ”羅素講話很幽默風趣。 他的談話， 略帶一種滑稽的味道。 有一次他對他的議員朋 友講了一

43、句令他大吃一驚的話： “民主政治至少有一個優點，那就是一個官吏或 議員一定不會比他的選民更愚笨， 因為盡管他們是多么的愚笨， 但是總有比他更 笨的人會選舉他們的”。第一次世界大戰，德國人失敗時，羅素就在 1915年預言：“一般的德國人，將會 設法尋求如何為下一次準備得更好的方法， 而且將會更忠實地服從他們軍國主義 領袖的話。”他的預言“第一次世界大戰導致了獨裁專政的恐怖和第二次世界大 戰”，后來果然發生。在 1921 年他來北京大學講學，了解中國在鴉片戰爭之后受列強的欺凌，以及日 本的軍國主義的發展。他回英國演講，談“東方問題”作了兩項預言：（ 1 ）日本由于人口的壓力，會實行擴張主義的政策，

44、侵略中國，并且以后會和 美國發生正面沖突，進而演變成全面大戰，可是最后將會被美國擊敗。（ 2）中國如果要避免外國的征服，首先必須放棄傳統生活方式，并且普遍地發 展愛國心及足夠的武力， 可是這事可能會被發展得太過分， 因為中國人平常是冷 靜的，但是也有野蠻奮激的能力， 我們可以想像他們中的一部分也許會變成狂熱 的布爾什維克主義者。中國人必須以他們自己的力量去尋求解救之道， 而不是靠外國列強的仁慈心， 但 是最值得擔心的一件事是： 在中國發憤圖強的過程中， 不但會發展足夠的力量維 持獨立，而且可能過分地強大到開始其帝國主義的生涯。 ” 這些話果然在以后大部分都實現了。在 1916 年，他 45 歲

45、時由于反戰的活動，被“三一學院”免除教職，美國哈佛大 學卻邀請他去講學， 但英國外交部不給他護照。 因此他決定留在英國， 以公開演 說為他的職業，并且準備好“政治的哲學原理”的演講。可是陸軍部卻發禁令： 只能在英國內地如曼徹斯特作演說， 不能在“禁區” 所有英國的沿海城市發 表演說。理由是：“羅素的言論無疑已經妨礙了戰爭的進行我們已獲得了可 靠的情報，證明羅素將要發表一連串會嚴重打擊士氣的演說。 ” 但羅素聽了后說：“我唯一熱誠的希望是，我們的情報人員，以后對有關德國人 的情報不會像對我個人的這么不正確。 ”羅素參加了反戰的NCF委員會，據后來成為英國社會主義國會議員的費納布 羅克威回憶這時期

46、的羅素說： “他是令人愉快的，充滿了好開玩笑的精神，正像 一個忍不住氣的聰明的淘氣鬼， 在那段時間， 他的經濟情況相當苦， 所以來委員 會時常會遲到，有一次是因為他沒有錢付車費但這也許是因為他有時候對世 俗的瑣事很健忘的關系。還有一次，當羅素在赴會途中， 碰到一個身世可憐的乞丐， 結果他把口袋里的錢， 全部送給那位乞丐，因此他不得不走路了。 ”有時 NCF 害怕政府會禁止他們活動，而另外組織了一個地下組織，并且他們有 精密的暗碼系統來控制。 有一次，布羅克威把藏有他們秘密計劃的公事皮包遺忘 在計程車上， 而被司機送到了警察局。 當布羅克威把這情況在委員會上報告， 羅 素便會以開玩笑的口語提議：

47、 “我們休會后，馬上到蘇格蘭場去，以免再麻煩警 察大人來抓我們。”結果還好，委員會有一個成員的哥哥是高級警官，通過他把 皮包拿回來，沒有被警方打開來看。再有一次， 他們聽說他們的主要辦公室將被警察搜查， 于是他們跑到另外一個臨 時場所開會， 與此同時， 聽說外面還有六個值探在尋找他們呢。 這時羅素很興奮 地說：“他們將會來找我們，那么讓我們到一位爵士之家接受逮捕吧！ ” 于是他們分乘三輛計程車到羅素哥哥的家。羅素開心地想到當警察要進來逮捕 時，羅素伯爵不知道要說什么而驚慌的樣子？可惜哥哥不在家， 警察也沒有來逮 捕，令他很失望。獲諾貝爾獎的數學家羅素柏特蘭羅素（18721970年）是英國著名數

48、學邏輯家。對數學的喜好羅素在 5 歲時，有人告訴他地球是圓的，他拒絕去相信。他跑到花園，拿了一把 鏟開始掘洞，看是否能從他住的地方一直挖到澳大利亞去。有一次保姆告訴他，在他睡覺時天使會在旁邊守衛他。他不相信地說： “可是我 從來不曾見過她們呀！”保姆說當他睜開眼時， 天使就會溜走了。 于是小羅素決定閉著眼睛假裝睡覺， 然 后用手去抓，結果什么也沒抓到，因此他不再相信天使守衛他的故事。在他 9 歲時，女修道院長茜普頓預言：世界末日在 1881 年會發生。就在那一年 的某一天天空黑云密布， 他看到陰沉的天空， 以為世界末日到了， 可是到了年底， 世界還是存在。他從小就有追尋事實真相的熱忱。他在回憶

49、集 (Portraits form Memory)里寫 道：“我愈是對一件事情感興趣，便愈想了解有關它的事實與真相，盡管這些事 實與真相，可能使我感到不快”他最初學九九乘法表時， 并不是太順利， 曾因費了很大力氣學不會而哭。 他學代 數也不是一帆風順，可是后來經過一些努力，他進步得很快。不久他就對數學產生興趣，后來他說： “要不是想多了解數學，我早在年輕時就 自殺了。”有一天他的哥哥說要教他幾何， 他非常的高興， 因為在這之前他聽說幾何是用來 證明東西的。他的哥哥富蘭克比他大七歲，教他的是“歐幾里得”幾何，他開始教他定義，小 羅素馬上充分接受，可是當哥哥教到“公理”時，就有問題產生了。他對歐幾

50、里得第一條公理 ( Axiom ) ：“二物同時等于第三物， 則此二物彼此相等。 ” 寫成符號是：如果 A、B都有A=C , B=C，貝U A=B。哥哥說：“這些公理是無法證明的，但是你要證明其他問題以前，這些公理必須 被假定是真的。”在后來他寫的自述為什么我選擇了哲學？ 里，他回憶起這時的學習障礙： “經 他這么一說， 我的希望整個粉碎了。 我曾經想去發現一些能夠證明的東西， 那是 很美妙的一件事， 但是現在卻必須先藉著那些證明的假定才能做進一步的證明。 ” “我滿肚子不高興地看著哥哥說： 既然它們是無法證明，但是為什么我必須承 認這些東西呢？他回答說： 好吧！要是你不接受的話，我們就無法再

51、繼續學 下去。”“我想，那其他一些東西是很值得一學的，因此我同意暫時承認這些公理為真， 雖然我仍然充滿了懷疑與困惑， 我仍一直希望在這個公理的領域內發現不可爭論 的明白的證明。”“但我對數學仍然發生了很大的興趣， 事實上比任何其他的研究更能給我一種如 魚得水的感覺。 我很喜歡考慮如何把數學應用到物質世界上去， 同時我也希望將 來有一天會產生像機械的數學一樣精確的有關于人類行為的數學。 我有這種希望 是因為我喜歡論證， 而大半時間這種動機甚至勝過我對自由意志的信仰欲望， 雖 然后者我也時常感到它的力量， 但是無論如何我從未完全征服我對數學正確性的 基本懷疑。”可是，當他學習更深的數學時， 他面對

52、一些新的困難， 他的老師告訴他一些他覺 得是錯誤的證明， 這些證明后來果然被承認是錯誤的， 當時他并不曉得， 后來在 離開劍橋到德國，才知道德國的數學家已經找到更好的證明方法。到了德國， 他的眼界大開， 他才發現過去困擾他的那些難題， 實在是微不足道的 小事，而且都不是重要的東西。他說：“因為劍橋大學的考試所要求的都是一些解題的技巧， 整天死啃這東西后， 我開始對數學產生極大的反感， 這點鼓舞我向哲學方面去發展。 為了設法獲得考 試的技巧，使我想到數學不過是包括了那些玩弄技巧的魔術里的雕蟲小技罷了， 它和猜字游戲那一類玩意兒太相像了。 因此，當我通過了劍橋三年級最后一次數 學考試后，我發誓我再

53、也不看數學，并且把所有的數學書都賣光了。 ” “在這種心情之下，閱讀哲學書籍，我仿佛感覺到由山谷的小天地中解脫出來， 看到了多姿多彩的新世界。 ”他到德國念黑格爾及康德的哲學， 可是在讀康德的作品后覺得他在數學哲學方面 的立論不僅是無知而且愚昧，他轉而去讀魏爾斯特拉斯(WeierstrasS、戴德金(Dedekind)及喬治康托(George Canto、的理論。 康托是“集合論”的創造者。羅素最初看他的無窮大數目時，覺得很難懂， 有很長的時間沒法子了解， 因此他決定把他的書逐字逐句地抄在筆記本上， 這樣 慢慢咀嚼思考，可以逐步理解。當他開始讀時， 他覺得康托的理論是謬論， 簡直是荒唐不經，

54、可是等到把整本書 抄完，才發現錯誤的是他而不是康托。事實上康托的無窮數的理論是近世數學的一個重要的理論， 可惜他提出時曲高和 寡，許多有名的數學家看不起他的工作， 使得他受到刺激和人論戰， 最后病死于 精神療養院。羅素在 23 歲時畢業于劍橋大學數學系優等及格第七名，他的研究論文是幾何 學的基礎，然后他成為英國駐巴黎大使館隨員。 第二年他到德國柏林大學研究， 在24歲時被選為劍橋大學三一學院(Trinity College、的研究員。 與懷特海德老師的合作懷特海德(Alfred North Whitehead, 18611947年)是英國著名的數學和數理邏 輯學家、科學哲學家。他在 1885年

55、從三一學院畢業，就留在原校任教應用數學 和力學， 1905年在該院獲得博士學位，是羅素的老師。1890 年，羅素是劍橋大學一年級新生時，去上懷特海德的靜力學。講完課后， 教授指定全班念教科書上的第 35 篇，然后他轉過頭對羅素說：“你不必讀它， 因 為你已經了解了。 ”因為在十個月前羅素在入學資格考試中引用過它， 懷特海德看過他的考卷， 對他 的印象很深刻， 并且告訴所有劍橋大學最優秀的學生， 要注意羅素。 因此羅素在 到校一星期就認識了當時劍橋大學的精英。羅素由學生漸漸地轉變為獨立作家過程中， 得益于懷特海德的指導很多。 在懷特 海德 1947 年去世后，羅素寫了一篇懷念懷特海德的文章，在文

56、章結尾時他 說：“作為一個老師，懷特海德可以說是十分完美，他能把個人的興趣整個地貫 注于受教者身上， 他同時了解學生們的優點與缺點， 他能夠把學生最好的才智引 發出來，他從未犯過一些低劣的教師所常有的毛病像對學生強制、 譏諷及自命不 凡等，我深信所有與他接觸受他薰陶與鼓舞的優秀年輕學子們將會像我一樣對他 發生一種誠摯而永恒的感情。 ”他在 1920年去美國旅行演講， 有機會深入觀察美國社會， 在1922年他預言：“美 國將會開始其帝國主義的生涯不是領土方面的侵略，而是經濟上的征服。 ” 他對美國聽眾說： “美國不是被華盛頓政府所控制，控制你們的是油田和摩根 (Morgan， 18371913年，是當年的財政家、，美國是遍布全球的金融帝國，要 是由眼光狹窄和殘忍無情的人所控制的話，人類將面對一個可怕的惡魔。 ” 在 1928年出版的懷疑論集中，他寫道： “世界可能會有一段長的時間，在美 國和蘇聯之間形成兩大對立的集團。 前者將控制西歐及美國本土， 而后者將控制 整個亞洲。” 這些話后來都被證明是正確的。中外的數學家沒有幾個能像他這樣能獨具慧眼，對于事物的發展預測的這么準確。1950 年，羅素獲得諾貝爾文學獎。盡管這位諾貝爾文學獎的得主即是作為一個 數學家