1、第三節 直線與平面垂直內內 容容要要 求求A AB BC C直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定與性質與性質三年三年1 1考考 高考指數高考指數: :1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)(1)直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義直線直線a a與平面與平面垂直垂直直線直線a a與平面與平面內的內的_都垂都垂直直. .恣意一條直線恣意一條直線(2)(2)直線與平面垂直的斷定定理直線與平面垂直的斷定定理文字言語文字言語圖形言語圖形言語判判定定定定理理假設一條直線和假設一條直線和一個平面內的兩一個平面內的兩條相交直線都垂條相交直線都垂直，那么這條直直，那么這條直線與此平面垂直線與此平面垂

2、直. .mnAa符號言語符號言語_，_，_,_,_，_，_amanm mn nmn=Amn=Aa(3)(3)直線與平面垂直的性質定理直線與平面垂直的性質定理文字言語文字言語圖形言語圖形言語性性質質定定理理假設兩條直線垂假設兩條直線垂直于同一個平面，直于同一個平面，那么這兩條直線那么這兩條直線平行平行. .ab_，_，_aabbabab符號言語符號言語【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：能否將直線與平面垂直的定義中的思索：能否將直線與平面垂直的定義中的“恣意一條直線恣意一條直線改為改為“無數條直線？無數條直線？提示：不可以提示：不可以. .當這無數條直線平行時，直線當這無數條直線平行時，直

3、線a a有能夠在平面有能夠在平面內，或者內，或者a a與平面與平面相交但不垂直相交但不垂直. .(2)(2)直線直線aa平面平面，直線，直線bb平面平面，那么，那么a a與與b b的位置關系是的位置關系是_._.【解析】由【解析】由bb可得可得b b平行于平行于內的一條直線，設為內的一條直線，設為b.b.由于由于aa，所以，所以abab，從而，從而abab，但，但a a與與b b能夠相交，也能夠異面能夠相交，也能夠異面. .答案：垂直答案：垂直2.2.點面、線面間隔及線面角點面、線面間隔及線面角(1)(1)點到平面的間隔點到平面的間隔從平面外一點引平面的垂線，從平面外一點引平面的垂線，_的間隔

4、，叫做這的間隔，叫做這個點到這個平面的間隔個點到這個平面的間隔. .(2)(2)直線和平面的間隔直線和平面的間隔一條直線和一個平面平行一條直線和一個平面平行, ,這條直線上這條直線上_到這個平面的間到這個平面的間隔隔, ,叫做這條直線和這個平面的間隔叫做這條直線和這個平面的間隔. .這個點和垂足間這個點和垂足間恣意一點恣意一點(3)(3)直線與平面所成的角直線與平面所成的角定義定義: :平面的一條斜線與它在這個平面平面的一條斜線與它在這個平面內的內的_所成的所成的_,_,叫做這條直線與這叫做這條直線與這個平面所成的角個平面所成的角. .如圖如圖, ,斜線斜線APAP與平面與平面所成的角是所成的

5、角是_._.線面角線面角的范圍：的范圍：0 0， . .特別地特別地, ,當直線與平面平行當直線與平面平行或在平面內時，規定直線與平面所成的角為或在平面內時，規定直線與平面所成的角為_，當直線，當直線與平面垂直時，規定直線與平面所成的角為與平面垂直時，規定直線與平面所成的角為_._.射影射影銳角銳角PAOPAO20 0的角的角直角直角【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：假設兩直線與一個平面所成的角相等，那么這兩直線思索：假設兩直線與一個平面所成的角相等，那么這兩直線一定平行嗎？一定平行嗎？提示：不一定提示：不一定. .這兩直線的位置關系能夠平行、相交或異面這兩直線的位置關系能夠平行、相交

6、或異面. .(2)(2)如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1中，中，B1CB1C與與平面平面A1B1C1D1A1B1C1D1所成的角為所成的角為_，其大小為，其大小為_；D1BD1B與平面與平面ABCDABCD所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為_._.【解析】【解析】B1CB1C與平面與平面A1B1C1D1A1B1C1D1所成的角為所成的角為CB1C1CB1C1，其大小為，其大小為4545；連結；連結BD,BD,那么那么D1BD1B與平面與平面ABCDABCD所成的角為所成的角為D1BDD1BD，其正弦值，其正弦值為為 . .答案：答案：CB1C1 45C

7、B1C1 45 3333 直線與平面垂直的斷定直線與平面垂直的斷定【方法點睛】證明線面垂直的常用方法【方法點睛】證明線面垂直的常用方法方法一方法一 方法二方法二 方法三方法三 方法四方法四 利用斷定定理利用斷定定理 利用平行線垂直于平面的傳送性利用平行線垂直于平面的傳送性利用面面平行的性質利用面面平行的性質利用面面垂直的性質利用面面垂直的性質 (ab,a(ab,ab) b) (a,(a,a) a) 【提示】解題時一定要嚴厲按照定理成立的條件規范書寫解題【提示】解題時一定要嚴厲按照定理成立的條件規范書寫解題過程，否那么容易失分過程，否那么容易失分. .如用斷定定理證明線面垂直時，一定要如用斷定定

8、理證明線面垂直時，一定要表達表達“平面中的兩條相交直線這一條件平面中的兩條相交直線這一條件. . 【例【例1 1】(1)(1)知如圖，六棱錐知如圖，六棱錐P-ABCDEFP-ABCDEF的底面是正六邊形，的底面是正六邊形，PAPA平面平面ABC.ABC.那么以下結論正確的選項是那么以下結論正確的選項是_._.CDCD平面平面PAFPAFDFDF平面平面PAFPAFCFCF平面平面PABPABCFCF平面平面PADPAD(2)(2)如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABCP-ABC中，中，PAPA底面底面ABCABC，ABBCABBC，DEDE垂直平分垂直平分線段線段PCPC，且分別交，且分別交ACA

9、C、PCPC于于D D、E E兩點兩點, ,又又PB=BCPB=BC，PA=AB.PA=AB.求證：求證：PCPC平面平面BDEBDE；假設點假設點Q Q是線段是線段PAPA上任一點，判別上任一點，判別BDBD、DQDQ的位置關系，并證明他的結的位置關系，并證明他的結論；論；假設假設AB=2,AB=2,求三棱錐求三棱錐B-CEDB-CED的體積的體積. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)根據線面平行、垂直的斷定定理來判別根據線面平行、垂直的斷定定理來判別.(2).(2)利用線面垂直的斷定定理證明；證明利用線面垂直的斷定定理證明；證明BDBD平面平面PACPAC即可得出結即可得出結論；根據論

10、；根據VB-CED=VC-BDEVB-CED=VC-BDE，轉化為求，轉化為求S SBDEBDE及及CECE的問題的問題. .【規范解答】【規范解答】(1)(1)由正六邊形的性質得由正六邊形的性質得CDAFCDAF，CFABCFAB，故、，故、正確；由于正確；由于PAPA平面平面ABCABC，所以，所以PADFPADF，又，又DFAFDFAF，PAAF=APAAF=A，故故DFDF平面平面PAFPAF，即正確，即正確. .答案：答案：(2)(2)由等腰三角形由等腰三角形PBCPBC，得，得BEPCBEPC，又又DEDE垂直平分垂直平分PCPC，DEPCDEPC，BEBE平面平面BDEBDE且且

11、DEDE平面平面BDEBDE，BEDE=EBEDE=E，PCPC平面平面BDE.BDE.由得，由得，PCBDPCBD，由于，由于PAPA底面底面ABCABC，所以所以PABD.PABD.PCPC平面平面PACPAC，PAPA平面平面PAC,PCPA=PPAC,PCPA=P，BDBD平面平面PACPAC，當點當點Q Q是線段是線段PAPA上任一點時都有上任一點時都有BDDQ.BDDQ.PA=AB=2,PB=BC=2 .PA=AB=2,PB=BC=2 .ABBC,AC=2 .ABBC,AC=2 .PC=4PC=4，CE=2CE=2，且且CDECDECPACPA，由知：由知：BDDE.BDDE.VB

12、-CED=VC-BDE= SVB-CED=VC-BDE= SBDECEBDECE= = ( ( ) )2= .2= .23AB BC22 22 6BDAC32 3，CEDE,CAPACE PA222 3DE.CA32 31313122 632 334 29【互動探求】本例【互動探求】本例(2)(2)假設改為假設改為“設設Q Q是線段是線段PAPA上恣意一點，上恣意一點，求證：平面求證：平面BDQBDQ平面平面PACPAC, ,那么如何求解？那么如何求解？【證明】由【證明】由(2)(2)的解法可知的解法可知BDBD平面平面PAC.PAC.又又BDBD平面平面BDQ,BDQ,平面平面BDQBDQ平

13、面平面PAC.PAC.【反思【反思感悟】感悟】1.1.在證明垂直關系時，要留意線面垂直與面面在證明垂直關系時，要留意線面垂直與面面垂直之間的相互轉化，同時要留意經過作輔助線進展這種轉化，垂直之間的相互轉化，同時要留意經過作輔助線進展這種轉化，這是證垂直時常用到的方法這是證垂直時常用到的方法. .2.2.解題時要注重對圖形的察看與分析，從中找到線線垂直是解解題時要注重對圖形的察看與分析，從中找到線線垂直是解題的關鍵題的關鍵. .一切的垂直問題都可轉化為線線垂直來處置一切的垂直問題都可轉化為線線垂直來處置. .【變式備選】如下圖，在長方體【變式備選】如下圖，在長方體ABCDABCDA1B1C1D1

14、A1B1C1D1中，中，ABABBCBC1 1，AA1AA12 2，E E是側棱是側棱BB1BB1的中點的中點. .(1)(1)求證：求證：A1EA1E平面平面ADEADE；(2)(2)求三棱錐求三棱錐A1A1ADEADE的體積的體積. .【解析】【解析】(1)(1)由勾股定理知：由勾股定理知：A1EA1E ，AEAE ，那么那么A1A2A1A2A1E2A1E2AE2AE2，A1EAE.A1EAE.ADAD平面平面AA1B1BAA1B1B，A1EA1E平面平面AA1B1BAA1B1B，A1EADA1EAD，又又ADAEADAEA A，A1EA1E平面平面ADE.ADE.(2)(2)由題意得由題

15、意得 , ,1 121 121AA E 1S2212111AADED A AEAA E111VVSAD1 1.333 線面垂直的性質線面垂直的性質【方法點睛】【方法點睛】線面垂直性質的運用線面垂直性質的運用當直線和平面垂直時，直線與平面內的一切直線都垂直，常利當直線和平面垂直時，直線與平面內的一切直線都垂直，常利用這個結論來證明線線垂直，這種方法表達了用這個結論來證明線線垂直，這種方法表達了“線線垂直與線線垂直與“線面垂直間的相互轉化線面垂直間的相互轉化. .【例【例2 2】(2021(2021泰州模擬泰州模擬) )如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是矩形是矩形,BC,BC平面平面AB

16、E,FABE,F為為CECE上的點上的點, ,且且BFBF平面平面ACE.ACE.(1)(1)求證求證:AEBE.:AEBE.(2)(2)設點設點M M為線段為線段ABAB的中點的中點, ,點點N N為線為線段段CECE的中點的中點, ,求證求證:MN:MN平面平面DAE.DAE.【解題指南】【解題指南】(1)(1)要證要證AEBE,AEBE,只需證只需證AEAE與過與過BEBE的平面垂直或的平面垂直或BEBE與過與過AEAE的平面垂直的平面垂直. .(2)(2)要證要證MNMN平面平面DAE,DAE,只需在平面只需在平面DAEDAE內找到一條直線與內找到一條直線與MNMN平行平行, ,可采用

17、構造平行四邊形的方法可采用構造平行四邊形的方法. .【規范解答】【規范解答】(1)(1)(2)(2)取取DEDE的中點的中點P,P,連結連結PAPA、PN.PN.BCABEAEBCAEABEBFACEAEBFAEACEBFBCBAEBE.平面平面平面平面 AEBCEBEBCE平面平面P P為為DEDE的中點的中點 PNDC,PNDC,且且PN= DCPN= DCN N為為CECE的中點的中點四邊形四邊形ABCDABCD是矩形是矩形 AMDC,AMDC,且且AM= DCAM= DCM M為為ABAB的中點的中點PNAMPNAM且且PN=AMPN=AM四邊形四邊形AMNPAMNP是平行四邊形是平行

18、四邊形MNAPMNAPAPAP平面平面DAE DAE MNMN平面平面DAE.DAE.MNMN平面平面DAEDAE1212【反思【反思感悟】空間中線線垂直與平面內線線垂直不同感悟】空間中線線垂直與平面內線線垂直不同, ,添加了添加了異面直線垂直的情況異面直線垂直的情況. .因此在空間中證明線線垂直因此在空間中證明線線垂直, ,通常要思索通常要思索轉化為證明線面垂直轉化為證明線面垂直. .【變式訓練】如圖【變式訓練】如圖, ,知矩形知矩形ABCD,ABCD,過點過點A A作作SASA平面平面ABC,ABC,再過點再過點A A作作AESBAESB于點于點E,E,過點過點E E作作EFSCEFSC于

19、點于點F.F.(1)(1)求證求證:AFSC;:AFSC;(2)(2)假設平面假設平面AEFAEF交交SDSD于點于點G,G,求證求證:AGSD.:AGSD.【解析】【解析】(1)SA(1)SA平面平面ABC,BCABC,BC平面平面ABC,SABC.ABC,SABC.四邊形四邊形ABCDABCD是矩形是矩形,ABBC.,ABBC.ABSA=A,BCABSA=A,BC平面平面SAB.SAB.AEAE平面平面SAB,BCAE.SAB,BCAE.SBAE,BCSB=B,SBAE,BCSB=B,AEAE平面平面SBC,SCSBC,SC平面平面SBC,AESC.SBC,AESC.EFSC,AEEF=E

20、,EFSC,AEEF=E,SCSC平面平面AEF.AEF.AFAF平面平面AEF,AFSC.AEF,AFSC.(2)SA(2)SA平面平面ABC,DCABC,DC平面平面ABC,SADC.ABC,SADC.四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形, ,ADDC,ADDC,又又SAAD=A,SAAD=A,DCDC平面平面SAD.SAD.AGAG平面平面SAD,DCAG.SAD,DCAG.由由(1)(1)有有SCSC平面平面AEF,AGAEF,AG平面平面AEF,AEF,SCAG.SCAG.SCDC=C,AGSCDC=C,AG平面平面SDC.SDC.SDSD平面平面SDC,AGSD.SDC,AGS

21、D.【變式備選】【變式備選】如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，PDPD底面底面ABCDABCD，底面，底面ABCDABCD是直角梯是直角梯形，形，DCABDCAB，BADBAD9090，且，且ABAB2AD2AD2DC2DC2PD2PD4 4，E E為為PAPA的中點的中點(1)(1)證明：證明：DEDE平面平面PBCPBC；(2)(2)證明：證明：DEDE平面平面PAB.PAB.【證明】【證明】(1)(1)設設PBPB的中點為的中點為F F，連結，連結EFEF、CFCF，EFABEFAB，所以所以EFDCEFDC，且，且EFEFDCDC AB AB，故四邊形故四邊形

22、CDEFCDEF為平行四邊形，可得為平行四邊形，可得EDCF.EDEDCF.ED平面平面PBCPBC，CFCF平面平面PBCPBC，故故DEDE平面平面PBC.PBC.12(2)(2)由于由于PDPD平面平面ABCDABCD，ABAB平面平面ABCDABCD，所以所以ABPDABPD，又由于又由于ABADABAD，PDAD=DPDAD=D，ADAD平面平面PADPAD，PDPD平面平面PADPAD，所以，所以ABAB平面平面PAD.PAD.EDED平面平面PADPAD，故，故EDABEDAB，又又PD=ADPD=AD，E E為為PAPA的中點，故的中點，故EDPAEDPA；PAAB=APAAB

23、=A，PAPA平面平面PABPAB，ABAB平面平面PABPAB，所以所以DEDE平面平面PAB.PAB.【總分值指點】垂直關系綜合題的規范解答【總分值指點】垂直關系綜合題的規范解答【典例】【典例】(14(14分分)(2021)(2021遼寧高考遼寧高考) )如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為正方為正方形，形，QAQA平面平面ABCDABCD，PDQA,QA=AB= PD.PDQA,QA=AB= PD.(1)(1)證明：證明：PQPQ平面平面DCQDCQ；(2)(2)求棱錐求棱錐Q-ABCDQ-ABCD的體積與棱的體積與棱錐錐P-DCQP-DCQ的體積的比值的體積的比值. .12【解題

24、指南】【解題指南】(1)(1)證明證明PQDCPQDC，PQQDPQQD，進而可得，進而可得PQPQ平面平面DCQDCQ；(2)(2)設出正方形的邊長為設出正方形的邊長為a a，分別計算兩個棱錐的體積，再求體，分別計算兩個棱錐的體積，再求體積的比值積的比值. .【規范解答】【規范解答】(1)(1)由條件知由條件知PDAQPDAQ為直角梯形為直角梯形. .由于由于QAQA平面平面ABCDABCD，QAQA平面平面PDAQPDAQ，所以平面所以平面PDAQPDAQ平面平面ABCDABCD，交線為，交線為AD.2AD.2分分又四邊形又四邊形ABCDABCD為正方形，為正方形，DCADDCAD，所以所

25、以DCDC平面平面PDAQPDAQ，44分分又又PQPQ平面平面PDAQPDAQ，所以，所以PQDC.PQDC.在直角梯形在直角梯形PDAQPDAQ中可得中可得DQ=PQ= PDDQ=PQ= PD，那么那么PQQD.6PQQD.6分分又又DCQD=D,DCQD=D,所以所以PQPQ平面平面DCQ.8DCQ.8分分(2)(2)設設AB=a.AB=a.由題設知由題設知AQAQ為棱錐為棱錐Q-ABCDQ-ABCD的高，的高，所以棱錐所以棱錐Q-ABCDQ-ABCD的體積的體積V1= a3.10V1= a3.10分分由由(1)(1)知知PQPQ為棱錐為棱錐P-DCQP-DCQ的高，的高，而而PQ= a

26、PQ= a，DCQDCQ的面積為的面積為 a2 a2，221322 2所以棱錐所以棱錐P-DCQP-DCQ的體積的體積V2= a3.13V2= a3.13分分故棱錐故棱錐Q-ABCDQ-ABCD的體積與棱錐的體積與棱錐P-DCQP-DCQ的體積的比值為的體積的比值為1.1.1414分分13【閱卷人點撥】經過高考中的閱卷數據分析與總結，我們可以【閱卷人點撥】經過高考中的閱卷數據分析與總結，我們可以得到以下失分警示和備考建議：得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示 在解答本題時有兩點容易造成失分：在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)(1)證明線面垂直時不能熟練運用垂直之間的關系進證明線面垂

27、直時不能熟練運用垂直之間的關系進行轉化，求體積時無法確定棱錐的高；行轉化，求體積時無法確定棱錐的高；(2)(2)答題過程書寫不規范，步驟欠缺，在證明線面垂答題過程書寫不規范，步驟欠缺，在證明線面垂直時忽視了對直時忽視了對“平面內兩條相交直線平面內兩條相交直線”的敘述的敘述. . 備備考考建建議議 解決直線、平面的垂直問題時，還有以下幾點在備解決直線、平面的垂直問題時，還有以下幾點在備考時要高度關注：考時要高度關注：(1)(1)注意題中線線垂直關系之間的聯系注意題中線線垂直關系之間的聯系, ,推導出關鍵推導出關鍵的線面垂直關系的線面垂直關系; ;(2)(2)對幾何體體積、相關面積及線面角的計算要

28、加強對幾何體體積、相關面積及線面角的計算要加強準確性；準確性；(3)(3)重視對基礎知識的積累、解題過程的規范，并且重視對基礎知識的積累、解題過程的規范，并且要善于規范使用數學符號進行表達要善于規范使用數學符號進行表達. . 1.(20211.(2021揚州模擬揚州模擬) )如圖如圖, ,假設假設MCMC菱形菱形ABCDABCD所在的平面所在的平面, ,那么那么MAMA與與BDBD的位置關系是的位置關系是_._.【解析】【解析】MCMC菱形菱形ABCD,ABCD,據異面直線的知識知據異面直線的知識知MAMA與與BDBD的位置關的位置關系是異面系是異面. .連結連結AC,AC,那么那么BDAC,MCBDAC,MC平面平面ABCD,ABCD,MCBD,MCBD,又又MCAC=C,MCAC=C,BDBD平面平面MCA,MAMCA,MA平面平面MCA,BDMA,MCA,BDMA,MAMA與與BDBD異面垂直異面垂直. .答案：異面垂直答案：異面垂直2.(20212.(2021揚州模擬揚