1、授課內容第二章p-V-T關系和狀態方程§2-1 引言1 流體最基本的性質有兩大類,一類是p、V、T、組成和熱容數據,另一類是熱數據(如標準生成焓和標準生成熵等。本章重點討論p-V-T關系和狀態方程2 推算流體p-V-T行為的途徑1狀態方程(EOSp-V-T關系的解析式。2對應態原理(CSP一種特別的狀態方程,以對比參數來表達方程,使流體性質在對比狀態下便于比較,并統一到較好的程度。3 p-V-T關系和狀態方程的重要性在計算熱力學性質時需要輸入流體最基本的性質以及表達系統特征的模型。狀態方程不僅本身是重要的p-V-T關系式,而且從p-V-T的角度反映了系統的特征,是經典熱力學中推算其它

2、性質不可缺少的模型之一。4 本章主要內容1純物質的p-V-T行為2常見的狀態方程3常用的對應態原理4混合法則§2-2 p-V-T 相圖 該圖是表示純物質在平衡狀態下壓力、摩爾體積與溫度關系的p-V-T 曲面。包括:1 單相區:S 、L 和V (G 分別表示固相、液相和蒸汽(氣相;2 兩相共存區:S/L 、V/S 和V/L 分別代表固/液、汽/固、汽/液兩相平衡區3 臨界點C :汽/液共存的最高溫度或壓力點,該點的溫度、壓力和摩爾體積分別稱為臨界溫度Tc 、臨界壓力Pc 和臨界體積Vc 。數學上表示為:(在C 點流體在臨界的特性和臨界參數在狀態方程研究中有重要作用。在T >T c

3、 和p >pc 的區域內,氣體和液體變得不可區分,稱為超臨界流體。在臨界點附近,流體的許多性質有突變的趨勢,如密度、溶解其它物質的能力等,已開發的工業過程有超臨界分離技術、超臨界化學反應等 。4 飽和線:ACB 是汽/液兩相共存區的邊界線。AC 為飽和液體線也稱為泡點線,BC 為飽和蒸汽線也稱為露點線。5 三相線:通過A 、B 的直線,是三個兩相平衡區的交界線。在三相線上有固定的溫度、壓力,此狀態下的純物質處于氣-液-固三相平衡 。若將p-V-T 曲面投影到平面上,則可以得到二維相圖,如圖2-2和圖2-3分別是純物質的p-T 圖和p-V 圖。(0T p V =(220T p V = 圖2

4、-2 純物質的p-T圖圖2-3 純物質的p-V圖 在特定條件下,存在:過熱液體在一定溫度下,當壓力低于飽和蒸汽壓(或一定壓力下,溫度高于其沸點,仍能以液體形式存在過冷蒸汽壓力高于同溫度下的飽和蒸汽壓(或溫度低于同壓力的沸點,仍能以蒸汽形式存在。過熱液體和過冷蒸汽都是亞穩定狀態。§2-3 狀態方程(EOS狀態方程是流體p-V-T的解析表達式。從研究方法上看,狀態方程可以分為理論型、經驗型和半理論型;從形式上看,又可以分為立方型(可化為V的三次多項式和高次型。一般采用如下分類:1 立方型狀態方程,如van der Waals、RK、SRK、PR等2 多常數狀態方程,如virial、BWR

5、、MH等3 理論型狀態方程第一、第二類直接以工業應用為目標,在分析、探找流體性質規律的基礎上,結合一定的理論,由半經驗方法建立模型。有若干模型參數需從實驗數據確定。本章主要介紹一、二類方程。第三類從微觀出發,是分子間相互作用與統計力學結合的結果,離實際使用有差距。狀態方程既有將p作為函數(T,V作自變量的形式,如p=p(T,V,也有以V為函數(T,p作自變量的形式,如V=V(T,p這兩種形式所適用的范圍有所不同。目前以前者為普遍,也是介紹和應用的重點。應當注意,以T,V為自變量的狀態方程,也可以用于以T,p為獨立變量的系統的性質計算,只是計算時需要先計算V(類似于數學上的求反函數。對于T,p為

6、自變量的情況也是相似的。作業P8三;P34五(1小結1 化工熱力學的含義運用經典熱力學的原理,結合反映系統特征的模型,解決工業過程(特別是化工過程中熱力學性質的計算和預測、相平衡和化學平衡計算、能量的有效利用等實際問題。2 化工熱力學的主要內容:原理-模型-應用3 基本概念:1system and surroundingclosed , open and isolated2 intensive and extensive variables3 state variable4 equilibrium state5 reversible process6 themodynamics process

7、 and cycle4 熱力學性質的計算方法變量分析、普遍關系、引入模型、數學求解5 純物質的p-V -T 相圖(phase diagram 6 純物質的p-V 圖7 狀態方程流體p-V -T 的解析表達式§2-4 立方型狀態方程立方型方程可以化為V 的三次方的形式。一般由斥力相和引力相組成。 一般情況下,p rep >0 ,而p att <0以下是典型的立方型方程,它們的常數可以通過普遍化關系式,從臨界參數T c , pc rep attp =p +p (0T p V =(220T p V =和偏心因子計算。特別是SRK和PR方程在工程上有廣泛的應用。1 van der

8、 Waals(vdW方程公式2-61vdW能同時表達汽液兩相和計算出臨界點。2準確度有限,實際中較少應用3在流體理論和狀態方程的發展中起到了重要的作用,后人進行了改進,獲得了很大發展。由可解得(2-7將a、b代入vdW方程,并用于臨界點,得或(2-8以T c和p c表達的vdW常數為(2-9(2-10vdW方程形式簡單,給出了一個固定的臨界壓縮因子0.375,計算較容易。但實際上流體的壓縮因子并非常數,數值在0.230.29之間。計算中的偏差反映了該方程的不足盡管如此,vdW方程的理論意義仍很深遠,由此發展的立方型狀態方程,多數是基于vdW方程的改進。2 Redlich-Kwong(RK方程斥

9、力相與vdW相同,引力相與T是一個簡單的T-0.5關系 公式2-11 公式2-12公式2-132RT ap-V-b V=(23,2324,2-0-26-0-cT c ccccT c cR Tp aV VV bR Tp aV VV b=+=98c ca RT V=3cVb=238c ccc c cR T R TapV b V V=-=-30.3758c cccp VZR T=2222764CcR Tap=18ccR Tbp=RTpV b V V b=-+2250427483.cc cR Ta.p p=008664ccR Tb.p=RK 方程的Z c =1/3=0.333,仍偏大。RK 方程較成功

10、地用于氣相p-V-T 的計算,但液相的效果較差,不能預測純流體的蒸汽壓。 3 Soave (SRK 方程1972年,Soave 修正了RK 方程( 2-14(,r c T a a = (2-15 (2-18規定 其在臨界溫度下的值為1,即(2-16 (2-17 臨界等溫線上,RK 方程與SRK 完全一樣。因此SRK 方程的Z c =1/3=0.333 1優點:SRK 方程考慮了烴類在不同溫度下的蒸氣壓數據,較RK 方程提高了表達純物質汽液平衡的能力,可用于混合物的汽液平衡計算,工業上獲得廣泛應用。 2缺點:RK 、SRK 方程預測液相摩爾體積不夠準確, Z c 偏大 4 Peng-Robins

11、on (PR 方程(2-19 采用了類似于SRK 方程中的a 表達式(,r c T a a =(2-22(2-20(2-21 計算得臨界壓縮因子Z c =0.307優點:PR 方程預測液體摩爾體積的準確度較SRK 有了明顯改善?？傊?立方型狀態方程的特點:形式簡單,方程常數進行了普遍化處理,可得到方程的體積根。但由于內在缺陷,難以在大范圍應用 。§2-5 多常數狀態方程多常數的高次型狀態方程涉及更多的流體物性信息,適用范圍更大,準確性更高,(0520510376461542260269921.r.T =+-(R T a p V b V V b =-+(0520510481574017

12、61.r.T =+-(11r T ,=22042748c c cR T a .p =008664c cR T b .p =(R Tap V b V V b b V b =-+-(20457235c c cR T a .p =0077796c cR T b .p =方程的預測效果更好。但計算量和復雜性增大。借助電算使其研究受到重視。 立方型方程的發展是基于了vdW 方程,而多常數狀態方程是與virial 方程相聯系。 1 virial 方程virial 方程分為密度型(2-23 和壓力型(2-24 B 、C···(或B、C ··· 稱作

13、virial 系數。任何狀態方程可以通過級數展開,轉化為Virial 方程形式。 如對vdW 方程展開成級數方程比較后即可將vdW 方程和virial 系數聯系起來。在取無窮項的情況下,兩者是等價的 1virial 系數的意義:微觀上,反映了分子間的相互作用。第二virial 系數B 反映了兩分子間的相互作用,第三virial 系數C 反映了三分子間的相互作用,. 宏觀上,virial 系數僅是溫度的函數實際應用中常采用兩項virial 截斷式 高密度時高次相的影響非常敏感。 2第二virial 系數的關聯式 對應態關聯式由Tsonopoulos 提出,較多的應用于非極性、弱極性物質 (2-2

14、6(2-27 從P-V -T 數據確定 21B C Z VV=+21''Z B p C p =+2RT ap -V -b V=2221RT b b a V V V V =+-+- 2231b a RT bR T V V V -=+ 1pV B Z RTV=+(0(1c c B pB B R T =+(0238033013850121000060701445rrrr.B.T T T T =-(123803310423000800637rrr.B.T T T =+-21BCZ V V=+21B CZ V V -=+(1CV Z B V-=+1pVC V B R T V -=+由等溫

15、條件下的p-V-T 數據,用 對 作圖,在密度不太高的條件下近似一條直線,外推至 截距為第二virial 系數B ,斜率為第三virial 系數C 。 利用Zp 圖第二virial 系數是與Z p 圖上的等溫線在p 0時的斜率有關。將V=ZRT /p 代入式(2-23,得p 0時,第三及以后各項為更高階無窮小, (2-28所以經微分處理得,(2-29隨著溫度的升高, Z p 圖上的等溫線在p 0時的斜率由負變為正,第二virial 系數B 只在某一特定溫度下變為零,這一溫度稱為Boyle 溫度,用T B 表示,即目前高階的virial 系數的估算尚不成功。高次型狀態方程與virial 方程有一

16、定的關系。較多見到的多常數高次型方程有BWR 方程和馬丁-侯方程(簡稱為MH 方程。前者的常數是從實驗數據擬合得到的,也有相關的普遍化關聯式。MH 方程的常數能從純物質的臨界參數和蒸汽壓數據計算出來。從形式上看,MH 方程的數據規律性很好。BWR 和MH 方程廣泛地應用于化工及其它領域中,與立方型方程相比,高次型方程的準確性高,適用范圍廣,但計算量稍大。 2 Benedict-Webb-Rubin (BWR 方程第一個能在高密度區表示流體p-V -T 和計算汽液平衡的多常數方程,在工業上得到了一定的應用。BWR 方程在應用中不斷被改進,常數不斷增加,準確性和使用范圍也不斷提高,但方程形式愈加復

17、雜。由于BWR 方程的數學形式上的規律性不好, 給數學推導、數值求根及方程的改進和1pV V R T - 1V 10V(221B p C pZ ZR TZR T =+1p Z B R T lim p-=0p TZ B RT lim p = (0100BB p T T Z B T lim p =-= 或20002C p R T B R T A T =+- (36bRT a a +-+(62221c exp T +- 發展帶來一定的不便。3 Martin-Hou (MH 方程我國學者侯虞鈞和美國的Martin 教授在20世紀50年代初提出,數學形式整齊2-31 溫度函數很有規律 其中9個常數反映了

18、較多的熱力學性質的普遍化規律,只需輸入純物質的臨界參數和一點的蒸汽壓數據,就能從數學公式計算所有的常數。簡便、可靠、適用范圍廣,可用于非極性至強極性化合物。是比較優秀的狀態方程。MH 方程已廣泛用于流體p-V -T 、汽液平衡、液液平衡、焓等熱力學性質推算,并被用于大型合成氨裝置的設計和過程模擬中。例1:P18用KR 方程計算異丁烷:1在420K 和2MPa 時的摩爾體積。2380K 時的飽和氣、液相摩爾體積,已知蒸汽壓2.25MPa 。 解:1查附錄Tc=408.1K, p c=3.648MPa, =0.1762計算方程常數,寫出方程形式3圖解求根由方程在圖p-V 上做出380K 和420K

19、 兩條等溫線4迭代求解 對于氣體(51k k k F Tp V b =-(1F T R T=(54752222c.T /T F T A B T C e-=+(54753333c.T /T F T A B T C e-=+(54754444c.T /T F T A B T C e -=+(54755555c.T /T F T A B T C e-=+44550B C A C =2260.562310.560.50.427482.7251080.58/(2.72510/80.58(80.58c cR T a M Pa Kcm m olp b cm m ol R T a Tp V bV V b R

20、T TV V V -=-+=-+420K380K2.25210.50(i i i i a V b R T V b p TpV V b R T V p+-=+-+=對于液體例2:欲在一7810cm 3的鋼瓶中裝入1000g 的丙烷,且在253.2(526.35K 下工作,若鋼瓶的安全工作壓力10MPa ,問是否有危險? 解: 1查臨界參數及 T c =369.85K,P c =4.249MPa,=0.152 2應用PR 方程,由軟件可計算得可以容納 的丙烷。 即所以會有危險。小結1 立方型狀態方程立方型方程可以化為V 的三次方的形式,可以得到解析的體積根。一般由斥力相和引力相組成1 van de

21、r Waals (vdW 方程利用臨界點的性質得到常數a,b 的值2 R-K 方程改進了引力項,與T 是一個簡單的T -0.5關系3 SRK 方程常數a 考慮了烴類在不同溫度下的蒸汽壓數據4 PR 方程擬合了蒸氣壓數據,預測液體摩爾體積的準確度較SRK 有了明顯改善V cm m ol 3346.0078/=m ol 781022.57346.0078=g g22.5744993.11000= 2RT ap -V -b V= RT p V bV V b =-+(R Tap V b V V b =-+(R Tap V b V V b b V b =-+-3210.520.501(i i i R T

22、 ab V V V Cp TpbR T aC b pTpV b+=-=+-=2 virial 方程兩項截斷式1 virial 系數的意義:微觀上,反映了分子間的相互作用。第二virial 系數B 反映了兩分子間的相互作用,第三virial 系數C 反映了三分子間的相互作用,.宏觀上,virial 系數僅是溫度的函數2 第二virial 系數的關聯式 對應態關聯式由Tsonopoulos 提出,較多的應用于非極性、弱極性物質 從P-V -T 數據確定由 利用Zp 圖Boyle 溫度T B3 Benedict-Webb-Rubin (BWR 方程第一個能在高密度區表示流體p-V -T 和計算汽液平

23、衡的多常數方程 4 Martin-Hou (MH 方程數學形式整齊,溫度函數有規律,是比較優秀的狀態方程21B C Z V V=+1pV B Z RTV=+(0(1c cB p BBR T =+21B C Z VV=+1pV C V B R T V -=+(221B p C pZ ZR TZR T =+1p Z B R T lim p -= 0p TZ B RT lim p = (0100BB p T T Z B T lim p =-= 或1VpV V R T §2-6 對應態原理(CSP對應態原理也是一種狀態方程,以對比參數來表達狀態方程。對比參數是指流體的真實值與臨界值的比值,包

24、括對比溫度T r 、對比壓力p r 、對比體積V r 。對應態原理是預測流體性質最有效的方法之一。主要思路是從已知的參考流體的性質(或狀態方程來獲得我們感興趣的研究流體的性質(或狀態方程,其發展主要沿兩條途徑:一是多參數對應態原理,應用多的是三參數對應態原理 一是形狀因子對應態原理 1 二參數對應態原理van der Waals 首先提出,經過運算得vdW 方程的對比形式為:(2-33式中只含有純數值和對比參數,即 或表明在相同的對比溫度和對比壓力下,任何流體的對比體積(或壓縮因子是相同的。兩參數對應態原理不夠精確,只適用于簡單的球形流體。 2 三參數對應態原理 1 Zc 作為第三參數Lyde

25、rsen 等引入Zc 作為第三參數,壓縮因子表示為 2 偏心因子作為第三參數Pitzer 研究了蒸汽壓數據,發現簡單流體在Tr=0.7時的對比蒸汽壓近似等于0.1即 而其它流體(除H2和He 的 , 由此差別提出了偏心因子的概念,即 =7.lg 1o T sr r p =-r cT T T =r cp p p =r cV V V =r r rr T p V V =-283133(rrrrV V T ,p =(r r Z Z T ,p =(r r c Z Z T ,p ,Z =rsr T .p .=0701rsr T .p .=0701 (rs sr r T p p =-0.7lg lg 簡單流

26、體該流體圖示如下: 簡單流體=0,其它流體>0。偏心因子表達了一般流體與簡單流體分子間相互作用的差異三參數方程為:是簡單流體的壓縮因子,表示 ,代表研究流體相對于簡單流體的偏差,是第三參數。和 以圖或表的形式給出。圖、表在使用中不太方便,需要進一步改進3Lee Kesler 方程1975年,由Lee 和Kesler 提出的三參數對應態原理的解析形式。除簡單流體外,選擇正辛烷作參考流體(r ,其偏心因子(r=0.3978。以得 (2-37A Z (0、Z (r分別代表簡單流體和參考流體的壓縮因子B 在L-K 方程中,簡單流體和參考流體的狀態方程均采用修正的BWR 方程。簡單流體的方程常數由

27、簡單流體的壓縮因子和焓的數據擬合,參考流體的方程常數由正辛烷的r rT p Z Z Z=+ (0,Z ZZ=+(0(1Z (0Z (1r r T p Z ,Z(0Z (1(0(0(0(r r r r Z Z Z Z Z -= -代替(r r Z Z Z Z =+-(0(0(數據得到。C 研究流體與參考流體的性質越接近,預測結果的準確性和可靠性越高。 4Teja 方程1980年, Teja 發展的三參數對應態原理采用了兩個非球形的參考流體兩個參考流體r1、r2可以采用不同的狀態方程來描述。允許根據研究流體的性質對參考流體進行適當選擇。 3 形狀因子對應態原理 基于保形溶液理論f ,h 稱為保形參

28、數,與研究流體和參考流體的Tc 、Vc 之比有關, 稱為形狀因子,研究流體和參考流體的性質非常相似時可認為是近似的保形流體對, 1, 1。一般情況, 是偏離1的。 獲得方程取決于兩個關鍵因素: A形狀因子, 決定于研究流體和參考流體的性質。Leach 等人以甲烷參考流體,針對烴類,能用于碳氫化合物的p-V -T 和汽液平衡等性質的計算 。B 參考流體的狀態方程,Z 0 通常采用多常數的高次型狀態方程。(r r r r r r Z ZZZ-=+-(1(1(2(1(2(1(Z T VZ T f V h =0,(r T =+-010.08920.8493ln (r r T V +-0.30630.4

29、5060.5(c rcZ VZ =+-0010.3903 1.0177(r r V T -0.94620.7663ln ccV h V = 0,ccTf T = 0,§2-7 流體的飽和熱力學性質常用的流體的飽和熱力學性質主要有蒸汽壓、汽化焓、汽化熵、飽和汽相摩爾體積、飽和液相摩爾體積。1 飽和蒸汽壓、汽化焓和汽化熵 1飽和蒸汽壓純物質在一定溫度下,能使汽液共存的壓力為蒸汽壓。p-T 圖上表達汽液平衡的蒸汽壓曲線始于三相點而止于臨界點 。蒸汽壓表達物性的唯一性,是溫度的一元函數,其解析式為蒸汽壓方程,不同的蒸汽壓方程的準確性和使用范圍差別較大。Clapeyron 方程反映了蒸汽壓關系

30、(2-42僅是溫度的函數假定 為不隨溫度變化的常數B ,則 ,修正后得Antoine 方程 (應用注意常數的使用條件 在缺乏蒸汽壓數據或蒸汽壓方程常數的條件下,可用經驗方法估計2汽化焓汽液相平衡轉化過程的潛熱,僅是溫度的函數,是重要的物性數據,焓值隨溫度升高而下降,達臨界點時汽化焓為零。可以由Clapeyron 方程計算,或由狀態方程推算。實際常用Watson 經驗式,從某一svap vap vap SVSL vapSVSLdpH dTT V H H HVVV=-=-2ln 1svap vapd pHdTR ZT= vapZ vapvap H R Zln sB p A T =-(ln sBp

31、A CT =-+(0(1ln s c p ffp =+ (065.927146.09648 1.28862ln 0.169347r r rfT T =-+(1615.251815.687513.4721ln 0.43577r r rfT T T =-+溫度的焓值推算其他溫度下的焓值。3汽化熵汽液相平衡轉化過程的熵變化。等于汽化焓除以汽化溫度。 2 飽和液體摩爾體積SRK 、PR 、BWR 、MH-81等狀態方程可用于氣、液相性質的計算。但一般情況下,液相誤差大于氣相。若只計算飽和液體體積,可用飽和液體摩爾體積方程。 1Rackett 方程對大多數物質的計算誤差為2% 2修正的Rackett 方

32、程Spancer and Danner 的修正式為:引入的Rackett 常數ZRA 需實驗數據擬合,與ZC 差別不大。對于存在締合的物質,結果仍不滿意。Campbell 等將Z RA 改為下列溫度的函數: 準確度有很大改善 3Tait 方程表達了等溫線上液體的V -p 關系。等溫條件下,液體的摩爾體積隨壓力的增加而減小,只有在高壓下才會明顯。p 0、V 0是給定溫度下,某一已知的參考狀態的壓力和摩爾體積;D 、E 是兩個與溫度有關的常數 。(0.38112211vapr r vapr r HT T H T T -= -27(1rT SLC C V VZ -=271(1rT SLC RAC R

33、T VZ p +-= (1RA r Z T =+-00lnp E V V D p E+=-+例:P25 2-61 飽和蒸汽壓 由Antoine 方程計算2飽和液相體積 修正的Rackett 方程3飽和氣相的摩爾體積采用virial 截斷式,由普遍化關聯式得到第二virial 系數B解二次方程得體積根§2-8 混合法則研究混合物性質時,常將混合物看成一個虛擬的純物質,并具有虛擬的特征參數,將這些虛擬的特征參數代入純物質的狀態方程中就可以計算混合物的性質。混合物的虛擬參數強烈的依賴于混合物的組成。混合法則是指混合物的虛擬參數與混合物的組成和所含的純物質的參數之間的關系式。 通常在一定的理

34、論指導下,引入適當的經驗修正,再結合實驗數據才能確定下來?；旌衔锵到y的符號和純物質符號的規定見P34表2-1 1 V irial 方程的混合法則 第二V irial 系數的混合法則為11NNi j iji j B y y B =6.5253,1989.35,36.31A B C =-1989.35ln 6.525387425273.1536.31sB p AC T=-=-=-+-0.153478153470sp M Pa Pa=271(1rT SLC RAC RT VZ p +-= (10.2820RA r Z T =+-=104.34%偏差slV=3113952.28(svVcm m ol-

35、=2210pVBR T VpV R TV B R T pVR TV B R T =+=+-=Bij 由同溫度下純組分Virial 系數Bi 、 Bj 得到2 立方型方程的混合法則兩參數立方型方程中,b 與分子的大小有關。a 是分子間相互作用力的度量: RK 方程中,SRK 、PR 方程中, 是相互作用參數,由實驗數據擬合得到。近似認為 3 BWR 方程r 數值見表2-24 MH-81方程采用溫度函數混合法則 k =3,4,5是二元相互作用參數,1=jj iiQ Q,大多數情況下混合物狀態方程的溫度函數與純物質相應的溫度函數保持相同的符號。 一般條件下,5 修正的Rackett 方程由純物質的參

36、數計算液體混合物的摩爾體積(1,2Nijiji ii B B B B y B =+=若則(20.50.51,iN ij i ji i B B B B y B = 若則1Ni ii b y b =20.51iN i i a y a = 11NNi j ij i j a y y a =1ij ija k =-ij k ijjikk =11rN r i i y = 2211(N Ni j iji j F T y y F T =(2(1ij ijF T Q =-(111(1(kNk k k i i i F T y F T +=-1Ni ii b y b =ij Q ijjiQ Q =12345(0;(

37、0;(0;(0;(0F T F T F T F T F T 1NC i C i C i C i T x T p p = 1NR A i R A ii Z x Z =11N N C i C i C i i C i i i T x V T x V = 6 對應態原理 三參數對應態原理,常用臨界參數混合法則。一般采用線性混合法則,將形狀因子對應態原理推廣到混合物,需要保形參數的混合法則。§2-9 狀態方程體積根的求解1 狀態方程體積根在p-V 圖上的幾何形態一般以p 為顯函數的立方型狀態方程可化為關于V 的三次方程,如SRK 方程T 、p 給定時,該方程最多有三個根,有物理意義的一般有兩種情況: 1三個實根2一個實根,兩個復根 2 狀態方程體積根的求解 1解析求根立方型狀態方程能化成V 的三次代數方程 其解析根為V 1、 V 2、 V 3 h >0時, h <0時, 11333,0,0112NNi j i j i j h h h y y =+=111N Ni iji j fh y y k =-R Ta bR T abV V b V p p p p 3220-+-= V kV m V n 320+=(mk L k m n L L h L L 3121331233362=- =+- =+令(k V