1、凸函數判定方法的研究凸函數判定方法的研究雞冠山九年一貫制學校張巖2013年12月15日凸函數判定方法的研究目錄摘要ii關鍵詞iiAbstractiiKeywordsii前言iii一、凸函數的基本理論11 、預備知識12 、凸函數的概念及性質2二、凸函數的判定方法4（一）一元函數凸性的判定方法41、利用作圖判斷函數凸性42、其它判定方法5（二）多元函數凸性的判定方法81、多元凸函數的有關概念82、多元函數凸性的判定方法9三、凸函數幾個其他判定方法12四、總結14參考文獻14致謝15凸函數判定方法的研究凸函數判定方法的研究摘要：凸函數是一類非常重要的函數，借助它的凸性可以科學準確地描述函數圖像，而

2、且可以用于不等式的證明。同時，凸函數也是優化問題中重要的研究對象，研究的內容非常豐富，研究的結果已在許多領域得到廣泛的應用，因此凸函數及其性質以及凸性判定的充要條件的研究就顯得尤為重要。本文首先給出了凸函數的一些基本概念和結論，然后針對一元和多元函數，對凸函數的判定做了研究和討論，本文最后也給出幾種新的判定凸函數的方法。關鍵詞：凸函數；梯度；Hesse矩陣；泰勒定理Abstract:Convexfunctionisakindofveryimportantfunctions,withthehelpofitsconvexitywecanaccuratelydescribethegraphoffun

3、ctionsanditcanalsobeusedtoprovetheinequalities.Asthesignificantobjectinoptimizationproblems,thecontentsaboutconvexfunctionswestudyareveryabundant,theresultsobtainedsofarhasbeenappliedtomanyfields.Therefore,thetopicweconcernaboutisdeservedtobediscussed.Inthispaper,wefirstlypresentsomebasicdefinitions

4、andpropertiesofconvexfunctions,thenaimingattheunivariatefunctionandmulti-variablefunctionswegiveseveralcriterionsfordeterminingtheconvexityoffunctions.Finally,somenewprinciplesarealsogiven.Keywords:Convexfunction;Gradient;Hessematrix;TaylorTheoremiii凸函數判定方法的研究提起凸函數，人們都會想起它的許多良好性質和在數學中的重要作用。的確，凸函數是一個

5、十分重要的數學概念，它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用。在數學分析和高等數學教材中，函數的凹性和凸性一直都占據著重要的位置，關于這兩個性質的考查也常常見諸于練習和考試中.凸函數是一類非常重要的函數，廣泛應用于數學規劃，控制論等領域，函數凸性是數學分析專攻的一個重要概念，它在判定函數的極值、研究函數的圖象以及證明不等式諸方面都有廣泛的應用。凸分析作為數學的一個比較年輕的分支，是在50年代以后隨著數學規劃，最優控制理論、數理經濟學等應用數學學科的興起而發展起來的。運籌學是在二十世紀四十年代才開始興起的一門分支。運籌學的創始人定義運籌學是：“管理系統的人為了獲得關于系統運行的最優解而必

6、須使用的一種科學方法?！彼褂迷S多數學工具（包括概率統計、數理分析、線性代數等）和邏輯判斷方法，來研究系統中的人、財、物的組織管理、籌劃調度等問題，以期發揮最大的效益。隨著科學技術和生產的發展，運籌學已滲入很多領域里，發揮了越來越重要的作用。但是，凸分析的局限性也是很明顯的，實際問題中的大量函數是非凸的，因此，各種廣義凸函數的定義相繼出現，特別是近年來，“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成為引人注目的熱門課題，它們是凸分析的拓廣和發展。本文主要從凸函數出發給出凸函數的一些簡單性質及一些重要的性質，然后給出了凸函數的幾個等價定義并加以說明，然后利用函數圖象判定函數的凸性，接下來給出了一些一元

7、函數的判定方法并結合實例給出了判定函數凸性的一些等價條件，接著給出多元函數的判定方法及其應用，最后，又介紹了判定函數凸性的幾個其他的方法。iv凸函數判定方法的研究一、凸函數的基本理論(一)預備知識1 .梯度：若n元函數f(x)對自變量乂=(。“，,xn)T的各分量為的偏導數空i=(1,2,n)都存在，則稱函數f(x)在x處一階可導，并稱向量.x.-：f(x)Tf(x)開(x)、f(x)=(，1x1；興2聶?？?2.'0都為函數f(x)在x處的梯度或一階導數2 .Hesse矩陣：若n元函數f(x)具有二階偏導數，即存在，則稱矩陣2f(x)="2f(x)以次4f(x)x2a12一

8、：f(x)-x1-x2/f(x)%區£2f(x)1M&if2f(x)xn%$f(x)'已2f(x)a2甌，2f(x)為f(x)在x處的Hesse矩陣(海色矩陣)3 .泰勒展式(1) 一階泰勒展式：設f(x)在點x處具有一階連續偏導，則”*)在點*處的泰勒展開式f(x)=f(x)+Uf(x)(xx)+0(x-x)其中口(x-x)為變量x-x的高階無窮小量(xTx),或者f(x)=f(x)+f(-)T(x-x),其中£=x+8(xx)(0<8<1)。(2)二階泰勒展式：設f(x)在點x處二階連續可微(或具有二階連續偏導數)凸函數判定方法的研究則f(x

9、)在點x處的二階泰勒展開式為2H一_T1T_2一f(x)=f(x)+Vf(x)(xx)+(xx)Vf(x)(xx)+口(xx)_1_一或者f(x)=f(x)+Vf(x)T(x-x)+(xx)，V2f4)(xx),2其中t=x+9(x-x)(0<9<1)o(二)凸函數的概念及性質定義1.1設函數f(x)在區間I上有定義，若Vxi,x2W|,總有fIl(x1+x2啟2f(xi)+f乂)(1.1)22則稱f(x)為I上的凸函數.若在定義1.1中當X*x2且不等式嚴格成立，則稱f(x)為I上的嚴格凸函數.定義1.2設f(x)為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1,x2和任意的九10

10、,1)總有f+(1-九淡產九f(x2)+(1-九)f(x2)(1.2)則稱f(x)為I上的凸函數.若(1.2)改為嚴格不等式，則稱f(x)為嚴恪凸函數定義1.3設函數f(x)在區間I上有定義，若干?！?，xnwI(n之2),總有飛十+.、：f(%)+f“2)+f(%)f.n-n()則稱f(x)為I上的凸函數.1 .凸函數的一些基本性質(1)若f1(x)、f2(x廿勻為a,b】上的凸函數，則f1(x)+f2(x)也是g,b】上的凸函數。(2)設f(x)為la,b】上的凸函數，k為正常數，則kf(x)也為B,b】上的凸凸函數判定方法的研究函數(3)設u=f(x)為b,b上的凸函數，g(u)在la,b

11、上單調遞增，且也為a,b】上的凸函數，則復合函數g(f(x»也是a,b】上的凸函數。(4)若u=f(x)是奇函數，且當x20時，u=f(x)是凸函數，則當x<0時，u=f(x捉凹函數。(5)若u=f(x)是偶函數，且當x之0時，u=f(x)是凸函數，則當x>0時，u=f(x促凸函數。(6)若y=f(x是hb】上的連續遞增的凸函數，則x=f(y層遞增的凹函數。(7)若y=f(x層定義在區間(a,b止的凸函數，則y=f(x禰(a,b)上連續。(8)若y=f(x徒(-8,收)上的凸函數且不包為常數，則存在一點c使得y=f(x位(-g,c)上遞減,在(Gy)上遞增。2,凸函數的一

12、些重要性質性質1.1設函數f(x爪I上連續，若f(x)是I上Jensen意義下的凸函數，則Vox?wI及九三10,1】都有(1.2)成立。性質1.2(性質1的逆命題)設f(x)是定義在區間I上的，若又tVx1,x2w|,九w10,1都有f(，出十(1九)x2產九f(x2)十(1九)f(x2),則f(x)在I內連續。性質1.3若f(x)在區間I上連續,且滿足fxEfx1LfX2x2-x1x2-x1其中x1,x2WI,則f(x)是I上的凸函數。性質1.4若f(x)是閉區間a,b上有界的凸函數，f(x)在a,b內必連續。凸函數判定方法的研究性質1.5若函數f(X)是區間I上的連續凸函數,則有1)函數

13、f(X)在I內處處存在左、右導數f'x)與f'"x),且f_(x)«f'*x);2 )f'_(x)與f'+(x)都是x的不減函數.二、凸函數的判定方法(一)一元函數凸性的判定方法1 .利用作圖判斷函數凸性圖1-1上圖是一個凸函數f(x)的幾何圖像，其中乂=?以1+(1-九)x2,A=f(x1)，A=f(x2),C=，A+(1-九)B。若函數y=f(x)在區間I內有定義，如果對于Vx1,x2=I,連接(為，“斗)和(x2,f(x2)兩點的弦都在介于這兩點的弧段之下，則可以判定(由定義1.1)該函數在區間I內是凸函數。定義1.1是對凸函數

14、的幾何特性的直觀描述，可以通過作圖判斷函數的凸性。2 .其它判定方法引理2.1f為I上的凸函數的的充要條件是：對I上的任意三點x,<x2<x3,總有凸函數判定方法的研究f(x2f(X1)<ff(x2)(21)x2-x1x3-x2定理2.1設函數f(x祚區間I可導，f(x)在區間I內是凸函數二Vx1,x2=I,且x1wx2，有f'(x1)wf'(x2)。證明：必要性若f(x)在區間I上式凸函數，且Vx1,x2WI且X/x:x1<x<x2,由(2.1)式有fX-f-:fx-f”x-x1x-x2已知函數f(x)在x1與x2皆連續可導，根據極限保號性定理有

15、，fxi-fx2fx2-fxif,/、f(xi)-f(x2)xi2x2i于是f1(xi)Mfxi-fx2Mfx2-fxi工f(x2)xi-x2x2-xi充分性：Vx1，x2,x3=I,且x1cx<x2,根據微分中值定理，三產產蘆蘆i,2：xi<i:二x:二2:二x2有f)=f(x)f(xi)與f(x)-f(x2)=f值)。已知fi)Mf'«2)即x”x-x2f(x)f(xi)wf(x)f(x2)由引理(2.i)知函數f(x)在I上是凸的。x-xix-x2定理2.2設函數f(x)在區間I可導，f(x)在區間I內是凸函數u曲線y=f(x)位于它們的任意一點切線的上方。

16、證明：必要性V%WI,曲線y=f(x)在點(x0,f(x。)的切線方程'y(x)=f(x。)f(x0)(xx。)，從而_f(x)-y(x)=f(x)-f(x。)-f(x0)(x-x0)=f'(-)(x-xo)-f'(xo)(x-xo)=(f,(-)-f'(xo)(x-xo),其中1在x與x。之間，若函數f(x)在I上是凸的，由定理i,則f'(D-f(xo)與x-xo同號，于是VxJ,有凸函數判定方法的研究f(x)-g(x)>0o即曲線y=f(x)在其上任意點(%,f(%)的切線上方。充分性若為x,x0wI,有f(x)y(x)=f(x)-f(x0)f

17、(x0)(x-x0)>0,于是vx,x,x2wI,且x,<x<x2,有f(x)-f(Xf(x2)f(x)由弓|理1x-x1x2-xf(x歡I上是凸函數。定理2.3設函數f(x)在區間I上存在二階導數，f(x)在區間I內是凸函數uVxwI,有f"(x廬0o證明：必要性Vxj,x2=I,且<x2,已知f(x)在區間I上是凸函數，根據止理2有f(x1)主f(x2)(x1x2)+f(x2)與f(x2)2f(x1)(x2x,)十f(x1)從而f'(f(x2)f(xi)與f'(x2)(x2-xi)即函數f'(x)在區間I上單調增加，于是又Vx=I有

18、f”(x)之0充分性Vx,x2w(a,b),由泰勒公式,££屋f()Mix1)f(')(x2-xi)(x2-xi)2其中U在xi與x2之間，已知VxWI有f”(x義0,則f(x2)至f(x)+f(x)(x2灰),即f(x汽區間I上是凸函數。定理2.4設f(x)在區間I上有定義，則f(x)在區間I內為凸函數當且僅當Vxi,x2,x3eI,且xi<x2<x3有fx2-fxifx3-fxifx3-fx2x2-xi乂3-xi乂3-x2(2.(2)(2.(3)證明：必要性已知f(x)在區間I上為凸函數，有定義Vxi,x3=I,設x,<x3,有fK(i-)x3

19、<-f(xi)i-.f(x3)將fdLWxi),(Xi)乘以(x2-xi)移項變形可知：(x2-xi)(x3-xi)f(x2)<x2If(x3)x3-2f(xi)x3-xix3-xi凸函數判定方法的研究可見Vx2w(x1,x3),令九=x2x1X3-XiX2-XiX3-X2/.X3"(1-')Xi-X32Xi=X2X3-XiX3-Xi從而由(2.2)式可推到(2.3)式同理類推，由(1.2)得"%)-fJ%)-f(X2)。X3-X1X3-X2充分性-X1，X2,X3I且X1<X2<X3,有fX2-fX1fX3-fX1fX3-fX2X2-X1X

20、3-X1X3-X2若Vxw(0,1),令X2=九X3+(1-八)X1,貝U九=0X1,X3-X1從而由(2.3)式可推到(2.2)式。同理類推，由f(X3)f(X1)，f(X3)f(X2)推得(2.2)式X3-X1X3-X2定理2.5若f(x)在區間I上連續,且滿足1X2fX2其中,x2亡I,則f(x)是I上的凸函數。下面舉幾個例題說明這些判別方法的使用。例2.1求證Va,bwR,有eawLe'+eb)2證明：Va,bwR,不妨設a<b,考察函數y=ex,因為y'=y''=e、>0,故y=ex是R上的凸函數。&=b,由定理2.5知X1f(X1

21、)X2f(X2)之0,X3f(X3)ab令X1=a,X2=,2111凸函數判定方法的研究所以因此aab2baea：be2ab-a2b-a至0,aea-b2-eabae-ea：；bb-ea)-(b-a)(e2-ea)_0,.a：；b1ba2-a-(e-e)_e2-e,2a-b.1ab、e<-(e+e)o2例2.2證明不等式1(xn+yn)>(-一y)n(x>0,ya0,x#y,na1)成立。22證明：取函數f(t)=tn,(tw(0,依)_'n二_''n_2_f(t)=nt,f(t)=n(n-1)t,(t(0,二)當n>1時，f(t)>0,(

22、tw(0,y)因此，f(t)=tn在(0,F)內是凸函數，故對任何xA0,yA0,x¥y,包有1xy-f(x)+f(y)>f(),22即不等式l(xn+yn)A(_xy)n(x>0,y>0,x#y,n>1)成立22（二）多元函數凸性的判定方法1.多元凸函數的有關概念定義2.1設D<=Rn,對,小D,x?wD,數，“wb,1】，x,及x2為n維向量，若均凸函數判定方法的研究有£xi+(1九)X2wD,則稱D為凸集,即如果D中的任意兩點,x2的連線也在D內,則稱D為Rn中的一個凸集。多元凸函數的定義可由一元凸函數的定義推廣得到。定義2.2設DuRn

23、為非空凸集,Vx,ywD,V人三(0,1)，若有fx(1-)y)<.f(x)1f(y),則f(x,y)為D上的凸函數；若上述為嚴格不等式，則f(x,y)是D上的嚴格凸函數。我們可以利用函數的梯度和二階偏導數矩陣(Hesse矩陣)來判斷多元函數的凸性。2.多元函數凸性的判定方法定理2.6設f(x)為凸集DuRn內可微函數，則f(x)為D內的凸函數的充要條件是：對VxeD,x+AxeD,f(x+Axf(x)+Vf(xTAx,其中Fxx2lx=gradf(x)=|cx2<xnJCf»n/T/x=(x1，x2,xn)證明：必要性設f(x)為咕的凸函數，對Vaw|0,1,恒有f：(

24、xx)(1-：)x_二f(xLx)(1-：)f(x)“X：,x)-f*f(x”(x)令a從正趨向于0,則川十af(x3x)-f(xf(x)Zx,所以'、f(x)Tx-f(x二x)-f(x)充分性設/xWD,x+AxWD,有f(x+Ax)之f(x)+Vf(x)Zx成立。設x1,x2乏D,令x=nx1+(1口)x2,0<口<1,則凸函數判定方法的研究f(Xi)>f(x)+Vf(x)T(x1-x)(2.6)f(x2)>f(x)+Vf(x)T(x2-x)(2.7)aX(2.6)+(1-a)X(2.7)式得：:f(x1)(1-<)f(x2),f(x)f(x)T：(x

25、1一x)(1二)(x2x，或:f(x1)(1一：)f(x2)f(x)即二f(x1)(1-：)f(x2)_f-x1(1-)x2所以，f(x)是D內的凸函數。定理2.7f(x)是定義在凸集DURn內的二次可微函數，則f(x)為D內的凸函數的充要條件為f(x)的二階偏導數矩陣2f(x)處處半正定。類似的，f(x)為D內嚴格凸函數的充要條件為2f(x)處處正定。證明：必要性設人=守旺(刈，對任意的Ax,由泰勒公式得：1f(xx)=f(x)1f(x)二xxAlx2由題意知f(x+Ax)至f(x)+Vf(x)TAx,所以AxTAAx至0,即A=V2f(x)處處半正定。充分性由泰勒公式得,.T.1.Tf(x

26、1=x)=f(x)、f(x)xxAx2若A處處半正定，對任意Ax,恒有AxTAAx之0,貝f(x+Ax)之f(x)+Vf(x)Tx由定理2.6知，f(x)為D內的凸函數。例2.3求證：二元函數f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y為R2上的凸函數。(證法一)證明：因為r1f(x,y)=2xy-2丫x'2Ayj10凸函數判定方法的研究人1令f(x,y)=f(x)=x區x+b”,其中2一aac任取xi=,x2=WR,ts(0,1),則bJbJf(txi(1-t)x2)二f(tai(1t)a2,tb(1t)b2)二(t(af)(-b2)2t(a1bl)(1-t)(a2b2)tf(xi)(1

27、-t)f(x2),、22=t(&-bi)(1-t)(a2-b?)t(aibi)(1-t)(a2b2)利用一元函數g(x)=x2為xwR上的凸函數可知2(t(a-b)(1-t)(a2-b2)222-t(ai-b1)2(1-t)(a2-b2)2因此二元函數f(x,y)=x2-2xy+y2+x+y為因上的凸函數。(證法二)證明:2_2zz二2ex.2二z-2、O'/一-2zz,因為一2=2A0,2)ex2zzexey_2zz口2y)則A為半正定，所以二元函數f(x,y)=x22xy+y2+x+y為R2上的凸函數例2.4求函數f(x,y)=10(y2-4x)2+(1-4y)2的極小值。

28、解：首先討論f(x,y)的凸性，求出它的Hess即陣''320-160y'<-160y120y2-160x+32f2z-2二z二x：y；2z-2二z2因為野=320>0,detA=2560(5y2-20x+4)二x當detA>0時，A為正定，即5y2-20x+4A0是f(x,y)為嚴格凸函數的條件ii凸函數判定方法的研究11一11一令fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,即x=,y=，而x=,y=酒足不等式644644115y2-20x+4>0,所以f(x,y)有唯一極小值,f(,-)=00三、凸函數幾個其他判定方法定義3.1令SuRn是一一個

29、非空集，f:S>Repif=(x,a)f(x)Wa,xwS,awR稱集合epifuRn*是f的上圖像。定理3.1令SuRn是一個非空凸集，f:StR在S上是凸的當且僅當f的上圖像epif是凸集。證明：充分性因為f在S上是凸的,對Vx1,x2w$,(為,4),(x2,a2)亡epif,九w(0,1)有fX(1-)x2)三-f(x1)1-f(x2)<x1(1-)x2由于S是凸集，故兒Xi+(1K)x2WS,則(Xi(1y)X2,a1(1-心)epif即f是凸的。必要性因為epif是凸的，)CtVx1,X2WS,(x1,f(x1),(x2,f(x2)WepifJuW(0,1),有(

30、9;x1(1-'；)x2,1f(x1)(1-；)f(x2)epif即fX1(1-1)x2)-f(x1)1一生)f(x2)得證。定理3.2設SURn為一非空凸集合，f:STR為凸的當且僅當對Vv,函數h:STR,h(t產f(x+tv)在tx+tvwS上是凸的。定理3.3設SURn為一非空開凸集合，f:STR在S上可微，則f為凸的當且僅當對VXi,X2=S,f(X2)f(Xi)>Vf(XiT(X2Xi)。12凸函數判定方法的研究定義3.2令f：SuRn->Rn,&uS。稱f在S上是單調的，若對vx,y二S,有f(x)f(y：(xy)主0成立。定理3.4設SuRn為一非空

31、開凸集合，f:StR在S上可微，則f在S上為凸的當且僅當f單調，即對Vx,X2WS,有(Vf(X)-f(X2)(Xi-X2心0。1例3.1函數f(x)=xTAx+bTx+c,其中A=(aj)nn為半正定的對稱陣，2 jb=(b),b2,),為給定的常向量，為常數，則f(x)為凸函數。證明：利用定理3.4來驗證。/x=(x1,x2),y=(y1,y2)wS有f(x)=ATx+bT,Vf(y)=ATy+bT,xy=(x1-y%-y?)貝、f(x)Jf(y)=AT(xy),于是(Vf(x)-Vf(y)(x-y)=(x-y)AT(x-y),由于A=)nn為半正定的對稱陣，于是(xy)AT(xy)之0,即(Vf(x)Vf(y)(xy)之0,所以f(x)為凸函數。13凸函數判定方法的研究四、總結凸函數在整個優化問題的研究，以至于在工程和金融管理方面都發揮著重要的作用，因為許多提煉出來的數學模型歸根結底是優化問題的求解，而凸規劃又是優化問題的一個重要