1、高等數學 課程相關 教材及相關輔導用書 高等數學第一版，肖筱南主編,林建華等編著, 北京大學出版社2010.8. 高等數學精品課程下冊第一版，林建華等編著,廈門大學出版社,2006.7.高等數學第七版,同濟大學數學教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數學學習輔導與習題選解（同濟第七版上下合訂本）同濟大學應用數學系編 高等教育出版社,2014.8.第九章 多元函數微分學 9.1 多元函數的基本概念 9.2 偏導數偏導數 9.3 全微分全微分 9.4 多元復合函數的求導法則 9.5 隱函數的求導公式 9.6 多元函數微分學的幾何應用 9.7 方向導數與梯度 9.8 多元函數的極值 9.9

2、 綜合例題9.2偏導數偏導數 1.偏導數的概念及計算方法 2.高階偏導數9.3全微分全微分 1.全微分的概念及計算方法 2.全微分在近似計算中的應用 一元函數的導數表示函數的變化率，對于多元函數同樣需要討論函數的變化率，我們常常需要研究某個受到多種因素制約的變量，在其他因素固定不變的情況下，只隨一種因素變化的變化率問題。 反映在數學上就是所謂的偏導數問題，現以二元函數為例，引入偏導數的概念。一、偏導數的定義與計算方法1. 偏導數的概念偏導數的概念(1) f (x,y)在點在點P0(x0,y0)處的偏導數處的偏導數),(yxfz ),(00yxx則稱此極限為函數在點處對的偏導數，記為 00yyx

3、xxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. 例如，極限(1)可以表示為 x,yxfyxxfyxfxx )(),(lim),(0000000 y,yxfyyxfyxfyy)(),(lim),(0000000即（2）偏導函數）偏導函數(3) 偏導數概念可推廣到二元以上的函數處處在在如如),(),(zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yy

4、xxyyyxfyxf 解2偏導數的計算偏導數的計算 仍然是一元函數的求導公式和求導法則，對某一個自變量求偏導時，其余的自變量看作常量。 yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立(2)(2)求求fx (x0，y0)時，可先將時，可先將y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),()

5、,(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例4解).1 , 2(),1 ,(xxfxf求求.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導數的偏導數求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解,)0 , 0(),(時時當當 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx (3)求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求；求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求；,)0 , 0(),(時時當當 yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0

6、, 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 00lim0 xx yfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 , 00lim0 yy ,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy3 . 偏導數存在與連續的關系偏導數存在與連續的關系例如例如,函數函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 但函數在該點處并不連續.偏導數存在 連續.一元函數中在某點可導 連續，多元函數中在某點偏導數存在 連續，,),(),(,(00

7、000上一點上一點為曲面為曲面設設yxfzyxfyxM 如圖),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數數),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數數為為純偏導混合偏導 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.三、高階偏導數解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例6具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？問題： 混合偏導數都相等嗎？,22yxxxu ,22yxy

8、yu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy . 02222 yuxu解221ln(),2xy例8 證明函數ru1 0222222 zuyuxu,其中 222zyxr 滿足方程證明 ,)(212222221 zyxzyxuxzyxxu2)(2123222 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 由于函數關于自變量的對稱性，所以.31 ,315232252322rzrz

9、uryryu 因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033523 rrr因此函數ru1 滿足方程0222222 zuyuxu9.39.3全微分全微分一、全微分的定義一、全微分的定義二、可微的必要和充分條件二、可微的必要和充分條件三、全微分在近似計算中的應用三、全微分在近似計算中的應用四、小結四、小結xyxy如圖，如圖， 一邊長分別為一邊長分別為x、y的長方形金屬薄片，的長方形金屬薄片， 受熱后受熱后在長和寬兩個方向上都發生在長和寬兩個方向上都發生變化，分別為變化，分別為x、y，那么，那么該金屬薄片的面積該金屬薄片的面積A改變了多少？改變了多少？xy)yy)(xx(Ayxy

10、xxyA稱為面積函數稱為面積函數A=xy的全增量，的全增量，由兩部分組成：由兩部分組成：yxxyx，y的線性部分的線性部分yx當當( (xx, ,yy) ) (0,0)時，是一個比時，是一個比22)y()x(高階無窮小高階無窮小。 定義定義 設函數設函數 在點在點(x，y)的某個鄰域內的某個鄰域內有定義，點（有定義，點（x+x，y+y）在該鄰域內，）在該鄰域內， 如果函如果函數數 在點（在點（x，y）的全增量）的全增量 )y, x( fz )y, x( fz )y,x(f)yy,xx(fz可以表示為可以表示為)(yBxAz其中其中A，B與與x,y無關，無關，)(是當是當22)y()x(0時比時

11、比高階的無窮小。高階的無窮小。則稱函數則稱函數 在點在點)y, x(fz （x，y）處）處可微可微，yBxA 稱函數在點稱函數在點(x,y)處的處的全微分全微分，記作，記作dz或或df(x,y)，即，即yBxAdz顯然，顯然，dzz一、全微分一、全微分二二 可微的必要和充分條件可微的必要和充分條件定理（可微的必要條件）定理（可微的必要條件） 如果函數如果函數 在點（在點（x，y）處可微，則它在）處可微，則它在該點處必連續，且它的兩個偏導數都存在，并且該點處必連續，且它的兩個偏導數都存在，并且)y, x(fz yyzxxzdz證明：證明：)y, x(fz 由函數由函數 在點（在點（x，y）處可微

12、有）處可微有)(yBxAz所以所以0)y,x(f)yy,xx(flimzlim0y0 x0y0 x即即)y,x(f)yy,xx(flim0y0 x因此，函數因此，函數 在點（在點（x，y）連續。）連續。)y, x(fz 又因為又因為 中的中的A，B與與)(yBxAzx，y無關，也就是該式對任意的無關，也就是該式對任意的x，y都成立。都成立。不妨取不妨取y=0，則有，則有|)x(|xAz上式兩邊同除以上式兩邊同除以x，再令，再令x0， 則有則有Ax|)x(|limAx)y, x(f)y, xx(flim0 x0 x即說明即說明 存在，且存在，且xzAxz同理可證同理可證 存在，且存在，且yzBy

13、z故有故有yyzxxzdz 注意：注意：此命題不可逆。即若兩偏導數都存在，此命題不可逆。即若兩偏導數都存在，也不能保證函數也不能保證函數 在點（在點（x，y）可微。）可微。)y, x(fz 討論函數：討論函數：0yx00yxyxxy222222由以前的討論可知，在點（由以前的討論可知，在點（0，0）處它的兩個偏導數）處它的兩個偏導數都存在，可該函數在此點卻不連續，不連續肯定不可都存在，可該函數在此點卻不連續，不連續肯定不可微。微。定理（可微的充分條件）定理（可微的充分條件） 如果函數 的兩個偏導數 在點（x，y）都存在且連續，則該函數在該點可微。)y , x( fzyz,xz 以上有關概念和定

14、理均以上有關概念和定理均可以推廣到可以推廣到三元及三元三元及三元以上的函數中去。以上的函數中去。 由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元函數函數 的全微分習慣上可寫為的全微分習慣上可寫為)y, x( fz dyyzdxxzdz類似地，三元函數類似地，三元函數 的全微分為的全微分為)z , y, x(uu dzzudyyudxxudu例例1 求函數求函數 的全微分。的全微分。62354yxxyz解：先求函數的兩個偏導數：解：先求函數的兩個偏導數：522633012104yxxyyzxyyxz所以所以dyyxxydxxyydz)3012()104(5263

15、例例2 求函數求函數 在點（在點（2，-1）處的全微分。）處的全微分。32),(yxyxf解：因為解：因為12)1,2(,4)1,2(3),(,2),(223yxyxffyxyxfxyyxf所以所以dydxdz124|)1,2( 例例3 設函數設函數 在點（在點（0，0）有增量有增量x=0.2，y=0.3，求全微分，求全微分dz。)y4x3sin(ezyx2解：解：3)y4x3cos(e3)y4x3sin(e2xz0y0 xyx2yx20y0 x4)y4x3cos(e4)y4x3sin(eyz0y0 xyx2yx20y0 x所以所以8 . 13 . 042 . 03yyzxxzdz此題可理解為

16、：此題可理解為：在點（在點（0，0）處）處x，y分別有增量分別有增量x=0.2，y=0.3時，函數也產生增量時，函數也產生增量z，并且，并且zdz=1.8。取取02. 0y,01. 0 x, 2y, 1x00則則3321)2 ,1(f2)2 , 1(f, 5 . 0)2 , 1(fyx所以所以965. 2)02. 0(201. 05 . 0398. 101. 133例例5 計算計算 的近似值。的近似值。解：解：構造函數構造函數 ，則，則33yx)y,x(f332xyx2x3)y,x(f332yyx2y3)y,x(f 設設一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的20厘米變到厘米變到20.1厘米，高由原來的厘米，高由原來的40厘米減少到厘米減少到39.5厘米，求該金屬體體積厘米，求該金屬體體積變化的近似值。變化的近似值。解解：20cm40c