1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用柱坐標計算三重積分的步驟利用柱坐標計算三重積分的步驟考慮是否用柱坐標計算考慮是否用柱坐標計算化為柱坐標系下化為柱坐標系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計算累次積分計算累次積分注意注意 對一個變量積分時，將其余變量對一個變量積分時，將其余變量視為常數視為常數的投影的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分f(x,y,z)=22g() ( )xyh z或或arctanyx( , )d d df x y zx y z 三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區域積分區域 柱坐標表示柱坐標表示被積函數被積函

2、數( cos ,sin , )fz 體積元素體積元素d d dx y zd d dz 一個勿忘一個勿忘一般先一般先z后后再再投影、發射投影、發射(cos,sin, ) d d dfzz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用球坐標計算三重積分的步驟利用球坐標計算三重積分的步驟考慮是否用球坐標計算考慮是否用球坐標計算化為球坐標系下化為球坐標系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計算累次積分計算累次積分注意注意 對一個變量積分時，將其余變量對一個變量積分時，將其余變量視為常數視為常數的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz(

3、 , )d d df x y zx y z 三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區域積分區域 球坐標表示球坐標表示被積函數被積函數( , , )F r 體積元素體積元素d d dx y z2sind d drr 一個勿忘一個勿忘2sinr一般先一般先r后后再再觀察、想象觀察、想象2( sinsin , sincos , cos )sin d d df rrrrr 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素dvdxdydz（計算時將三重積分化為三次積分）小結方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”

4、),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 確定上下曲面函數，得 z的積分限;1. 把往xoy平面上投影,得積分區域D;3. 先求關于z的定積分,得x,y的二元函數;4. 再求關于x,y的二重積分.先一后二”積分法的基本步驟:2. 對za,b用過點(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;1. 把向z軸投影,得z的積分限a,b; 3. 先求關于x,y的二重積分,得“先二后一”積分法的基本步驟:4. 最后計算單積分( )baF z dz( )( , , )zDF z

5、f x y z dxdyabxyzzzDzyxyxDO目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 回憶用投影法（先一后二）計算三重積分( , , )Df x y z dVdxdy21( , )( , )( , , )zx yzx yf x y z dz如果積分區域 在坐標面上的投影區域 D 是圓域則二重積分應當考慮用極坐標計算.這就等于用柱面坐標計算三重積分.2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 zyxyxDO目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyz2. 利用柱坐標計算三重積

6、分利用柱坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設,代替用極坐標將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關系:常數坐標面分別為圓柱面常數半平面常數z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 d ;柱面 與 xyzodzvdd ;半平面 與dzzz平面 與ddzz在柱面坐標系中體積元素為zvdddd因此zyxzyxfddd),( cos ,sin , )fz zdddddd ,D當積分域 的投影域 為與圓域有關的區域時,( , ).zz r一般選用柱面坐標 此時曲面應表示為元素區域由六個坐標面圍成目錄 上頁 下頁 返回 結束

7、如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為zvdddd因此( , , )d d df x y zx y z),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域一般應為柱體積分域一般應為柱體,錐體錐體,柱面柱面,錐面與其他曲面錐面與其他曲面 所圍空間體等所圍空間體等.2) 被積函數被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddzzddddxyzddO22( , , )g() ( )f x y zxyh z目錄 上頁 下頁 返回 結束 常見曲面的柱面坐標方程常見曲面的柱面坐標方程曲面直角坐標方程柱面坐標方程222zaxy22zar22zxyzr22zxy2zr222

8、xyara222xyax2 cosra半球面半球面圓錐面旋轉拋物面圓柱面圓柱面圓柱面222xyay2 sinra目錄 上頁 下頁 返回 結束 常見曲面的柱面坐標方程常見曲面的柱面坐標方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 利用公式用柱面坐標計算三重積分的一般步驟：1.將區域往xoy面上投影，確定平面區域Dcos ,sin ,.xryrzz3. 過D內任一點(x，y)做平行于z 軸的直線，穿區域確定z的上下限；4. 在 D上分別確定r、上下限（類同于平面極坐標）次序為：zr將的邊界曲面、被積函數 f(x，y，z),體積元素,三重積分化為柱面坐標系下形式；柱面坐標常用于：柱面坐標常用于： 圓柱體和

9、圓錐體上的三重積分。圓柱體和圓錐體上的三重積分。( , )( cos,sin, ).f x y z dvf rrz rdrddz212111( )( , )( )( , )cos , sin ,rzrrzrddrf rrz rdz目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算三重積分d d d ,z x y z22zxy4z 所圍成 .與平面其中 由拋物面OOxyz在柱面坐標系下4:24zdz24012(16)d226 210684z022020d 20d2zvdddd原式 =26 2106864.3解解:在xOy面上的投影區域D: 224,xy上邊界曲面為z 4 下邊界曲面為z .2目錄 上頁

10、 下頁 返回 結束 例例2. 計算計算 22(),xy dv22zxy解：解：222zxyz由22()xydv222200dddz22302ddz2302(2)d165故在xOy平面224,xy得交線 上投影區域為:2z02202z 所圍成 .與平面其中 由圓錐面22( , )|4xyDx yxy上邊界曲面為z 4 下邊界曲面為z .dd d dvz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解:2222zz1,1,zxyzo2124001(2)2dd 例例3. 計算三重積分d ,z v22xyz所圍成 .與拋物面其中 由球面2222xyz:22z01202知交線為由222dzz10d 20d原式 =1

11、24601146 7.1222,z上邊界:下邊界:2,z目錄 上頁 下頁 返回 結束 2axyzO其中 為例例4. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐標系下:cos2020az 0及平面zvddddzzddd2原式由柱面cos2圍成半圓柱體.cos202ddcos342032a20d0daz z298a目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系,zOMzr( ,)r 則則0200rcossinrx sinsinry

12、 cosrz 坐標面分別為常數r球面常數半平面常數錐面, rOM 令( , , ,)M r sinrcosrz MxyzOP目錄 上頁 下頁 返回 結束 半平面 及 + d ； 半徑為r及r + dr的球面；圓錐面及+d r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd 球面r圓錐面圓錐面 + d 球面球面r+d r元素區域由六個坐標面圍成：d rsin d 球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素目錄 上頁 下頁 返回 結束 元素區域由六個坐標面圍成：球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 + d

13、dddsind2rrv r drd xz y0 d rd rsin d .dv目錄 上頁 下頁 返回 結束 rddrdd如圖所示, 在球面坐標系中體積元素為dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),( , , )F r 其中( , , )( sincos , sinsin , cos)F rf rrr dddsin2rrxyzO( sin cos , sin sin , cos )f rrrdddsin2rr目錄 上頁 下頁 返回 結束 球面坐標球面坐標直角坐標直角坐標球體球體zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R0d20d:rR02002222xyz

14、R:下面介紹一些區域的球面坐標的描述目錄 上頁 下頁 返回 結束 球面坐標球面坐標直角坐標直角坐標球體球體zyxzyxfddd),(dddsin2rr2 cos0a20d:2 cosra022002222xyzaz:20d( , , )F r 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R40d20d球面坐標球面坐標直角坐標直角坐標:rR0420022222xyzRxy:球頂錐體球頂錐體目錄 上頁 下頁 返回 結束 常見的曲面在常見的曲面在球球坐標下的方程坐標下的方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 次序為次序為: r 2. 將區域往xoy面上投

15、影，確定平面區域D，4.過原點做射線，穿區域確定 r 的上下限.1. 關系式關系式sin cos ,sin sin ,cos .xryrzr3. 對任一，過z軸做半平面，找出角變化最用球面坐標計算三重積分的一般步驟：用球面坐標計算三重積分的一般步驟：將的邊界曲面、被積函數f（x，y，z）、體積元素、三重積分化為球面坐標系下形式；由D找出的上下限；大的與的截面，確定的上下限注：當積分區域注：當積分區域 由球體由球體,半球體半球體, 球面與錐面或其一球面與錐面或其一部分所圍空間體等部分所圍空間體等.222( , , )()f x y zg xyz22()h xy或目錄 上頁 下頁 返回 結束 xy

16、zO例例5. 計算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Oxyza2例例6. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標系下空間立體所占區域為:則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M目錄 上頁 下頁 返回 結束 求半

17、徑為a的球面與半頂角為的內接錐面所圍成于是所求立體的體積為 此球面的方程為x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例例6. 的立體的體積 由圓錐面和球面圍成 ,解解:采用球面坐標，錐面方程為 在球面坐標下球面方程為r2acos , :0,02 cos ,ra02.dVv2sind ddrr dddsind2rrv 2 cos20darr33016cossin d3a 0sind 20d033sincos316da)cos1 (3443aa Oxyza2M目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 計算三重積分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz解解: 在球面坐標系下:22

18、()d d dxyx y z所圍立體.202 cos2 cosarb20其中 面dddsind2rrv 2 cos2222 cossinsindbarrr20d20d是由兩個球2222xyzbz(),ab355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba2目錄 上頁 下頁 返回 結束 22()d d dxyx y z355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba25564()5ba3520sincosd 5564()5ba2520(1 cos)cosd( cos )5564()5ba2520(cos1)cosdcos5564()5ba86coscos28605564()

19、5ba124558()15ba目錄 上頁 下頁 返回 結束 2222340(4z4)daaazzz58.15a20daz22()d dZDxyx y20daz2220daz z 20d224012( 2) d4aazzz解解: :02za222:2zDxyazz例例7. 計算三重積分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz所圍立體.其中 面是由兩個球2222xyzbz(),ab22()d d dxyx y z原式原式 258()15ba目錄 上頁 下頁 返回 結束 z Oxya4.M.02 cosra0204r :解解: 在球面坐標系下d ,Iz v10(2).計算其中 由不等

20、式 2222(),xyzaa222xyz所確定. 2 cosra目錄 上頁 下頁 返回 結束 .02 cosra0204dz v:解解: 在球面坐標系下d ,Iz v10(2).計算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所確定. 2 cos30darr40cos sind 20d4401cos sin (2 cos ) d4a247.6acos drv2sin d d drr 48 a540cossind 48 a4601cos6目錄 上頁 下頁 返回 結束 所圍成的閉區域.0cos ,r222dvxyzcos30drr420cos2sind4110cosr0,22020dsin

21、20ddddsind2rrv yzx1Or222d ,Ixyzv11(2).計算其中 是由球面222xyzz:解解: 在球面坐標系下250 cos25 目錄 上頁 下頁 返回 結束 所圍成的閉區域.01,r222()dvxyz140drr02sind54.51r 0,200sind 20ddddsind2rrv 222()d ,Ixyzv10(1).計算其中 是由球面2221xyz:解解: 在球面坐標系下02cos5 Ozxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 所圍成的在第一卦限內的閉區域.01,zdxy v10dz1.801,02130d20sin cos d d ,Ixy v11(1).計算其中

22、 為柱面1,0,0,0zzxy:解解: 在柱面坐標系下2201sin8221,xy及平面2cos sin11xyzOzvdddd1dd dz 201sin dcos4目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 設 由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d221564目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結zyxdddzddddddsin2rr積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐

23、標系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業P167 9，10，11（1，2）。 第四節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xOy面上部,cos0:3ar 利用對稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面對稱, 并與xOy面相切,

24、 故在球坐標系下所圍立體為且關于 xOz dddsind2rrv yzxaOr目錄 上頁 下頁 返回 結束 4zxy1O3. 計算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21 21zDzyxyxyxdddsin52220目錄 上頁 下頁 返回 結束 2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習思考與練習六個平面圍成 ,:目錄 上頁 下頁 返回 結束 432222(),.Ixydvzxyzh計算其中 由所圍例例8xyzoh解解1)(xy22(+)d dD