1、第二章 控制系統的數學模型 在控制系統的分析設計中，首先要建立系統的數學模型。控制系統的數學模型是描述系統內部物理量（或變量）之間關系的數學表達式。 靜態數學模型，動態數學模型。 建立控制系統數學模型的方法主要有兩種：分析法和實驗法 本章研究用分析法建立系統的數學模型的方法。 自動控制原理中數學模型的形式：時域中常用的數學模型：微分方程、差分方程和狀態方程；復數域中常用的數學模型：傳遞函數、結構圖、信號流圖；頻域中常用的數學模型：頻率特性等。 本章研究微分方程、傳遞函數和結構圖、信號流圖這幾種數學模型的建立和應用，其余幾種數學模型將在以后各種中分別詳細闡述。本章目錄 2-1 控制系統的時域數學

2、模型 2-2 控制系統的復數域數學模型 2-3 控制系統的結構圖與信號流圖 2-4 在Matlab中數學模型的表示 2-5 本章小結 2-6 控制系統建模實例2-1 控制系統的時域數學模型 本節著重研究描述線性、定常、集總參量（對應非線性，時變、分布參量）控制系統的微分方程的建立和求解方法。 本節內容：1.線性元件的微分方程2.控制系統微分方程的建立3.線性系統的基本特性4.線性定常微分方程的求解5.非線性微分方程的線性化6.運動的模態返回1.線性元件的微分方程 控制系統是由各種物理元件有機組合構成的，因此，在研究控制系統的數學模型之前，我們有必要對常見控制系統中常用的物理元件的數學模型進行研

3、究，最終將這些元件的數學模型合理組合起來就構成了整個控制系統的數學模型。 舉例說明控制系統中常用的電氣元件、力學元件等微分方程的列寫。（在允許的情況下，通常將非線性特性不強物理元件認為是線性的，以簡化處理；如果非線性較強，則不能認為是線性的。）( )iu t例例2-2-1 1 圖中是由電阻R、電感L和電容C組成的RLC無源網絡，試列寫以 為輸入量， 以 為輸出量的網絡微分方程。0( )u tL( )i t( )iu tR0( )u tC解解 設回路電流為 ，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 ( )1( )( )( )( )idi tLi t dtRi tu td tC消去中間變量 ，便得到描述網

4、絡輸入輸出關系的微分方程為 2002( )( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt顯然，這是一個二階線性微分方程，也就是上圖無源網絡的時域數學模型。( )i t( )i t01( )( )u ti t dtC例例 試列寫圖中所示RC無源網絡的微分方程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t) 。 解解 根據基爾霍夫定理，可列出以下式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(1)(220整理得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudC

5、CRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 則得 )()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi該網絡的數學模型是一個二階線性常微分方程。（兩個儲能元件）2002( )( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt討論： 比較兩個例題的時域表達式的形式)()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi2002( )( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt 均為二階線性微分方程，模型結構均為：因此，驗證了不同的系統有結構相似的數學模型（相似系統）。因此研究某一類通用的數學模型，可以對應

6、很多種系統，這在下面將要介紹的彈簧質量阻尼器系統中可以得到更進一步的證實。 另外，對無源網絡來說，電感、電容的個數決定了微分方程的階次。201202( )( )( )( )( )d c tdc taaa c tb f tdtd t例例2-2-3 3 圖為一彈簧阻尼系統，當外力F F(t)作用于系統時，系統將產生運動。試列寫外力F F(t)與位移y(t)之間的微分方程。 解解 彈簧和阻尼器有相應的彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據牛頓第二定律有 ：222( )( )( )( )d y ttky ttmdtFF)()(1tkytFdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可

7、由彈簧、阻尼器特性寫出 式中 k 彈簧系數 f 阻尼系數22( )( )( )( )dy td y ttky tfmdtdtF代入，整理且標準化 )(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 稱為時間常數； 稱為阻尼比； 稱為放大系數。 kmT/)2/(mkfkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得該網絡的數學模型也是一個二階線性常微分方程。例例 2-2 2-2 試寫圖所示電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓 為輸入量，電動機轉速 為輸出量。圖中， 分別是電樞電路的電阻和電感； 是折合到電動機軸上的總負載轉矩。勵磁磁通設為常值。( )au

8、t( )mt,aaR LcM解解 電樞控制直流電動機的工作實質是將輸入的電能轉化為機械能，也就是由輸入電樞電壓 在電樞或回路中產生電樞電流 ，再由電樞電流 與激磁磁通相互作用產生電磁轉矩 ，從而拖動負載運動。因此直流電動機的運動方程可由以下三部分組成：( )au t( )ai t( )ai t( )mMt電樞回路電壓平衡方程( )( )( )aaaa aadi tu tLR i tEdt電磁轉矩方程( )( )mm aMtC i t電動機軸上的轉矩平衡方程( )( )( )( )mmmmmcdtJftMtMtdt以上三式聯立，消去中間變量，便可得到以為輸出量，以為輸入量的直流電動機微分方程22

9、( )( )( )()()( )( )( )mmcamamamammemmaaacdtdtdMtL JL fR JR fC CtC u tLR Mtdtdtdt二階微分方程如果電樞電阻 和電動機的轉動慣量 都很小，可以忽略不計時，上式可以簡化為在工程應用中，由于電樞電路電感 較小，通常忽略不計，上式可簡化為( )( )( )( )mmmmaccdtTtK u tK Mtdt一階微分方程( )( )emaCtu t電動機轉速與電樞電壓成正比，因此，電動機可作為測速發電機使用，構成反饋系統。aLaRmJ列寫微分方程的步驟可以總結如下： 1. 根據元件的工作原理及其在控制系統中的作用，確定其輸入量和

10、輸出量。 2. 分析元件工作中所遵循的物理規律或化學規律，列寫相應的微分方程。 3. 消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關系的微分方程，便是元件時域的數學模型。一般情況下，應將微分方程寫為標準形式，即與輸入量有關的寫在方程的右端，與輸出量有關的寫在方程的左端，方程兩端變量的導數項均按降冪排列。返回)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn2.控制系統微分方程的建立 控制系統的微分方程是其各個組成元件微分方程的有機組合。 建立控制系統的微分方程時，一般先由系統原理圖畫出系統的方

11、塊圖，并分別列寫組成系統各元件的微分方程；然消去中間變量便得到描述系統輸出量與輸入量之間關系的微分方程。 列寫系統各元件的微分方程時需注意兩點：1.注意信號傳遞的單向性，前級的輸出是后級的輸入。2.注意前后連接兩個元件中，后級對前級的負載效應。 例例2-5 2-5 試列寫下圖所示速度控制系統的微分方程。解解 控制系統的被控對象是電動機（帶負載），系統的輸出量是轉速 ，輸入量是電壓 ，控制系統由給定電位器、運算放大器1(含比較作用），運算放大器2(含RC校正網絡）、功率放大器、直流電動機、測速發電機、減速器等部分組成。分別列寫各部分的微分方程：iu運算放大器1（形成并放大偏差）111121(),

12、iteuK uuK uKRR運算放大器2（RC校正網絡）12212211,duuKuKRRRCdt功率放大器32auK u直流電動機( )mmmmaccdtTK uK Mdt齒輪系1mi測速發電機ttuK 從上述方程中，消去各個中間變量，整理后便可得到控制系統的微分方程：imggiccdudTKK uK Mdtdt一階微分方程 該式可用于研究在給定電壓 或有負載擾動轉矩 時，速度控制系統的動態性能。iucM討論 從以上幾個例題所示線性元件或控制系統的微分方程可以發現，不同類型的線性元件或控制系統可具有形式相同的數學模型。例如，RLC無源網絡和彈簧-質量-阻尼器機械系統的數學模型均是二階微分方程

13、，或者例題2-5的速度控制系統可看做為一階微分方程，我們稱這些物理系統為相似系統。 相似系統揭示了不同物理現象間的相似關系，便于我們使用一個簡單數學模型去研究與其相似的復雜系統，也為控制系統的計算機數字仿真提供了基礎。返回3.線性系統的基本特性 能用線性微分方程描述的系統稱為線性系統。(自控原理主要研究的一類系統）1011110111( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc ta ta tata t c tdtdtdtd r tdr tdr tb tb tbtbt r tdtdtdt 一般

14、情況下，描述線性系統輸入與輸出關系的微分方程為:線性時不變(LTI，linear time invaritable）輸入與輸出關系的微分方程為：)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn22( )( )( )( )d c tdc tc tf tdtdt1( )( )f tf t1( )c t2( )( )f tf t2( )c t12( )( )( )f tf tft12( )( )( )c tc tc t1( )( )f tAf t1( )( )c tAc t線性系統的重要性

15、質就是滿足疊加原理，也就是滿足疊加原理的兩個性質：可疊加性和齊次性（或稱均勻性）舉例說明：設有線性微分方程為當時，上述方程的解為 ；當時，其解為 。如果 ，容易驗證，方程的解必為而當 時 ，式中A為常數，則方程的解必為這就是可疊加性。這就是齊次性（或稱均勻性)。 線性系統的疊加原理表明，兩個外作用同時加于系統所產生的總輸出，等于各個外作用單獨作用時分別產生的輸出之和，且外作用的數值增大若干倍時，其輸出亦相應增大同樣倍數。 因此，對線性系統進行分析和設計時，如果有幾個外作用同時施加于系統，則可以講他們分別處理，依次求出各個外作用單獨加入時系統的輸出，然后將他們疊加。此外，每個作用在數值上可取單位

16、值，從而大大簡化了線性系統的研究工作。返回4.線性定常微分方程的求解線性定常微分方程的求解方法有經典法拉氏變換法（詳細閱讀教材附錄A，拉氏變換P632）計算機求解(matlab) 在自動控制原理中，重點掌握拉氏變換法求解線性定常微分方程，其核心思想是將微分方程轉換為線性代數方程，以簡化計算。具體步驟可歸結為：1) 考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，將微分方程轉換為變量s的代數方程。2）由代數方程求出輸出量拉氏變換函數的表達式。3）對輸出量拉氏變換函數求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。拉氏變換表 （常用函數）拉氏變換線性定理其中，拉氏變換的微分定理特別，拉

17、氏變換的初值定理終值定理 ( )12( )0(0)nnnnL fts F ssfsf ( )F sL f t ( )(0)L ftsF sf 2( )(0)(0)L fts F ssff0(0)lim( )lim( )tsff tsF s0( )lim( )lim( )tsff tsF s 例題2-6（理解拉氏變換求解微分方程的方法，零輸入響應，零狀態響應，初值定理和終值定理） ( )L af taF s 1212( )( )( )L ftf tF sF s例2-6 在例2-1中，若已知 ，且電容上初始電壓 ，初始電流 ，電源電壓 。試求電路突然接通電源時，電容電壓 的變化規律。1H , =1

18、F , 1LCR (0)0.1Vou(0)0.1Ai( )1Viu t 0( )u t解解 已得網絡微分方程為 22( )( )( )( )ooidu tdtLCRCu tu tdtdt對各個變量取拉氏變換（注意初始條件）( )( )(0)ooodu tLsUsudt222( )( )(0)(0)oooodutLs Ussuudt00( )11(0)( )(0)oottdu tui tidtCC代入整理，得22( )0.10.2( )11ioU ssUsssss 拉氏變換法解此微分方程： 由于電路是突然接通電源的，因此 可以視為階躍輸入量，即 ，或看做 ，代入求拉式反變換得到網絡微分方程的解(

19、 )iu t( )1( )iu tt( )1iU ss( )ou t11220.50.510.10.2( )( )(1)11 1.1sin(0.866120 )0.2sin(0.86630 )oototosu tLUsLs ssssetet 部分分式法，或留數法前兩項與與初始條件無關，是由網絡輸入產生的，因此稱為零狀態響應，后一項是初始條件產生的，稱為零輸入響應。 如果電路時突然接通又立即斷開，則可看做輸入響應時脈沖函數，即 ，代入可求得網絡的輸出的單位脈沖響應，即為( )( )1iU sLt11220.50.510.10.2( )( )111.1sin0.8660.2sin(0.86630

20、)oottosu tLUsLssssetet 另外，利用拉氏變換的初值定理和終值定理，可以直接從 的表達式中直接求出網絡電壓的 的初始值和終值。0( )Us0( )u t 當 時， 的初始值為( )1( )iu tt( )ou t00(0)lim( )lim( )0.1(V)oottuu ts Us( )ou t 的終值為0( )lim( )lim( )1(V)ooottuu ts Us 返回5.非線性微分方程的線性化 非線性環節廣泛存在。 嚴格地講，幾乎所有實際物理和化學系統都是非線性的。 例如，彈簧剛度并非常值，實際上與其形變有關，是位移的函數；電阻、電容、電感等參數值也并非常值，與周圍環

21、境等有關；電動機本身的摩擦、死區等非線性因素會使其運動方程復雜化而成為非線性方程。 處理非線性的方法1.忽略，視為線性元件。2.切線法，小偏差法。（本節討論，適用范圍有限，近似法）3.非線性系統理論，如描述函數法、相平面法、逆系統法等。切線法的實質是：在小范圍內，用切線代替曲線，從而達到線性化的目的。具體做法是：在工作點附近進行泰勒級數展開，忽略高次項。切線法（小偏差法）線性化具體推導： ( )yf x 為連續變化的非線性函數。取某平衡狀態A為工作點。對應有 。當 時， 。設 在 連續可微，則將它在該點附近用泰勒級數展開為00()yf x0 xxx0yyy( )yf x00(,)xy00220

22、00( )1( )( )()()().2!xxdf xd f xyf xf xxxxxdxdx0022000( )1( )( )()()().2!xxdf xd f xyf xf xxxxxdxdx當增量 很小時，略去其高次冪項，則有0()xx0000( )( )()()xdf xyyf xf xxxdxyK x 0( )xdf xKdx略去 ，便得到函數 在工作點A附近的線性化方程為 。( )yf xyKx對于具有兩個變量的非線性函數，同樣可在某工作點用泰勒級數展開的方式簡化為線性函數（參見教材）。注意：線性化方程的參數 與工作點（平衡狀態）有關。應用微偏法，工作范圍不能過大，否則誤差大。到

23、底多大合適，與非線性曲線形狀有關。實際中的控制系統穩定運行后，一般都處在平衡點附近。確定了控制系統期望的平衡點后，可以應用切線法來解決控制系統的非線性問題。0( )xdf xKdx例例 2-7 設鐵芯線圈電路如圖，其磁通 與線圈中電流 之間關系 如下圖所示。試列寫亦 為輸入，為輸出的電路微分方程。irui解：解：設鐵芯線圈磁通變化時產生的感應電勢為1( )diuKdt根據基爾霍夫定律有：11( )( )rdidi diuKRiKRidtdidt在工程應用中，如果電路電壓和電流只在某平衡點 附近做微小變化，則002202( )1( )( )( )().2!iididiiiiididi 非線性方程

24、00( ,)i u( ) i當 足夠小時，略去高階導數，i00( )( )( )idiiiiK idi 令 ，并略去增量符號 ，便得到0( )( )ii( ) iKi1rdiK KRiudt上式便是鐵芯線圈電路在平衡點 的增量線性化微分方程，若平衡點變動， 值也應該改變。00(, )u iK返回11( )( )rdidi diuKRiKRidtdidt6.運動的模態 數學上，線性微分方程的解由特解和通解組成，通解由微分方程的特征根所決定，它代表自由運動。如果n階微分方程的特征根是 且無重根，則把函數 稱為該微分方程所描述運動的模態,也叫振型。 每一種模態代表一種類型的運動形態，齊次微分方程的通

25、解是它們的線性組合，即 12,.,n12,.,nttteee12012( ).ntttny tc ec ec e 如果特征根中有多重實根 ，則模態會具有如 的函數；如果特征根中有共軛復根 ，則其具有共軛復模態 與 ， 還可寫成實函數模態的形式，即 與2,.tttet ej()jte()jtesinatetcosatet返回2-2 控制系統的復數域（頻域）數學模型 控制系統的微分方程數學模型時域 優點： 1.物理意義直觀（各種變量意義明確）； 2.借助電子計算機可迅速準確求解（迭代法）； 缺點：手工求解復雜。 控制系統的傳遞函數數學模型頻域 優點： 1.不僅可以用來表征系統的動態性能，還可用來研

26、究系統結構或參數變化對系統性能的影響。（根軌跡法、頻率響應法） 2.手工求解簡單，便于圖解。 缺點：物理意義不直觀。返回本節內容：1.傳遞函數的定義和性質2.傳遞函數的零點和極點3.傳遞函數的極點和零點對輸出的影響4.典型元部件的傳遞函數1.傳遞函數的定義和性質 傳遞函數的定義 線性定常系統，在零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。若已知線性定常系統的微分方程為 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。 設c(t)

27、和r(t)及其各階導數初始值均為零，對上式取拉氏變換，得 )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn則系統的傳遞函數為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或寫為 傳遞函數與輸入、輸出之間的關系，可用圖表示。 G(s)R(s)C(s)例2-8 試求例2-1 RLC無源網絡的傳遞函數0( )( )iUsU s解解 RLC網絡的微分方程為：2002( )( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt對上式各項求拉氏變換（假設初始狀態為零），得02( )1(

28、 )( )1iUsG sU sLCsRCs傳遞函數的性質作為一種數學模型，傳遞函數只適用于線性定常系統。傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，即mn，且所有系數為實數。傳遞函數是系統輸入輸出關系的表達式，它只取決于系統的結構和參數，而與系統的輸入信號的形式無關，當然也與初始條件無關。傳遞函數只是對系統的數學描述（一種不完全描述，或稱黑箱描述） ，并不完全反映系統的全部內部變量，更不反映系統的實際物理構成。傳遞函數與微分方程有相通性，是一一對應的，非常容易轉換。傳遞函數的反拉氏變換是系統的單位脈沖響應。 傳遞函數可表征控制系統的動態性能，并用以求出在給定輸入量時系統的零初始條件響應，即由拉式變換的

29、卷積定理，有00( )( )( ) ( )( ) ()() ( )( )( )ttc tL C sL G s R srg tdr tgdr tg t( )( )g tL G s是系統的脈沖響應。此頁不講 傳遞函數是在零初始條件下定義的。控制系統的零初始條件有兩方面的含義：一是指輸入量是在 時才作用于系統的，因此，在 時，輸入量及各階導數均為零；二是輸入量加于系統之前，系統處于穩定的工作狀態，即輸出量及其各階導數在 時的值也為零，現實的工程控制系統多屬于此類情況。 0t 0t0t零初始條件的定義：此頁不講例例 2-9 試求例2-2 電樞控制直流電動機的傳遞函數解解 在例2-2中已經獲得電樞控制直

30、流電動機簡化后的微分方程為( )( )( )( )mmmmaccdtTtK u tK Mtdt式中，輸入有兩個，一個是輸入的電樞電壓 ，另外一個是負載擾動轉矩 。因此該系統為多輸入單輸出（MISO）系統。( )au t( )cM t 根據線性系統的疊加原理，可分別求出兩個輸入分別到輸出的傳遞函數，以便研究各個輸入分別作用下對輸出的影響和性能，將它們疊加后，便是電動機轉速的響應特征。 為求電動機的輸出轉速 與電樞電壓 之間的傳遞函數，令 ，則有( )mt( )au t( )0cMt 注：考研題型( )( )( )mmmmadtTtK u tdt 在零初始條件下，對上式各項進行拉氏變換，并整理，得

31、到電動機的輸出轉速與輸入電樞電壓之間的傳遞函數為( )( )( )mmmmaT sWsWsK Us( )( )( )1mmamWsKG sUsT s 同樣，令 得到電動機轉速與負載擾動轉矩間的傳遞函數( )0au t ( )( )( )( )( )( )( )( )( )1mmmccmmmccmcmcmdtTtK MtdtT sWsWsK MsWsKGsMsT s 電動機轉速在電樞電壓與負載轉矩同時作用下的響應為111112( )( )( )( )11( )( )11( )( )mcmmacmmmcacmmKKtLWsLUsMsT sT sKKLUsLMsT sT stt例例 2-10 若已知

32、例2-1中RLC網絡的輸入輸出傳遞函數為初始電壓 和初始電流 ，試求電容電壓 的單位階躍響應。注：考研題型(0)ou(0)i( )ou t解解 若為零初始狀態，則此題非常易求，即 1122111( )( )11oiu tLU sLLCsRCsLCsRCss因非零初始狀態，此題解法步驟如下：1.首先利用傳遞函數與微分方程的相通性，得到系統相應的微分方程。2.考慮初始條件，用拉氏變換法求解微分方程便求得非零初始條件下的解。2( )1( )( )1oiUsG sU sLCsRCs由RLC網絡的傳遞函數 ，可以直接得到網絡的微分方程為02( )1( )( )1iUsG sU sLCsRCs2002(

33、)( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt考慮初始條件，對上式各項求拉氏變換后得2000000( )(0)(0)( )(0)( )( )iLC s UssuuRC sUsuUsU s于是000022( )(0)(0)(0)( )11iU sLCsuLCuRCuUsLCsRCsLCsRCs式中，000( )(0)1(0),( )itdu tiuU sCsdt對 求拉氏反變換便得到0( )Us11000022110022(0)()(0)1( )( )(1)1(0)()(0)1(1)1LCuLCsRC uu tLUsLs LCsRCsLCsRCsLCuLCsRC uLLs LCs

34、RCsLCsRCs式中，右端第一項是電源電壓 激勵的零初始條件響應，第二項是由初始條件 和 激勵的零輸入響應。( )iu t0(0)u0(0)u返回2.傳遞函數的零點和極點*01210121()()()()( )()()()()miminnjjszb szszszG sKa spspspsp式中p1，p2pn為分母多項式的根，稱為傳遞函數的極點；z1、z2、 zn為分子多項式的根，稱為傳遞函數的零點； 零極點可為復數也可為實數。 系數 稱為傳遞系數或根軌跡增益。這種用零極點表示傳遞函數的方法在根軌跡法中使用較多。 傳遞函數式的分子分母經過因式分解后可表示成如下形式（首一式） *K 在復平面上，

35、往往用 表示傳遞函數的零點，用 表示傳遞函數的極點，這樣的圖稱為傳遞函數的零極點分布圖，如下圖。 傳遞函數的極點就是微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統的運動模態。 傳遞函數的分子和分母多項式經過因式分解也可寫為如下因子連乘積的形式(尾一式）。2212222122(1)(21)(1)( )(1)(21)(1)minjbssssG sa TsT sT sT s 式中，一次因子對應于實數零極點，二次因子對應于共軛復數零極點， 和 稱為時間常數，稱為傳遞系數或增益。傳遞函數的這種表示形式在頻率法中使用較多。注意 兩種增益的換算關系。ijT*11()()mnmijijnbKKzpa返回4.典型元

36、部件的傳遞函數 在時域中已經討論了構成控制系統的線性元件的微分方程。 同樣，在復數域（頻域）中，構成控制系統的各個元部件也有相應的數學模型，即各環節的傳遞函數。 研究思路：從典型元部件的微分方程推導出典型元部件的傳遞函數。 所選典型元部件均比較常見、常用。l電位器（比例環節） 電位器是一種把線位移或者角位移轉換為電壓量的裝置。測量元件，常用反饋回路。 電位器的電刷角位移與其輸出電壓之間可看做是簡單的線性比例關系，可表示為：( )( )u tKt 其傳遞函數為( )( )( )U sG sKs用方框圖表示為l測速發電機（微分環節） 測速發電機是用于測量角速度并將它轉化成電壓量的裝置。測量元件，常

37、用于反饋回路。 測速發電機在電樞兩端輸出與轉子角速度成正比的直流電壓，即( )( )( )dtu tKtKdt( ) t( ) t式中， 是轉子角位移， 是轉子角速度。 其傳遞函數為( )( )( )U sG sKW s( )( )( )U sG sKss或l電樞控制直流伺服電動機（慣性環節） 電樞控制的直流伺服電動機在控制系統中廣泛用于執行機構，用來對被控對象的機械運動進行快速控制。l兩相伺服電動機（與電樞控制直流伺服電動機是相似系統） 兩相伺服電動機具有重量輕、慣性小、加速特性好的有點，是控制系統中廣泛應用的一種小功率交流執行機構。l無源網絡（積分、慣性、振蕩環節） 為了改善控制系統的性能

38、，常在系統中引入無源網作為校正元件。無源網絡通常由電阻、電容、電感組成。 求無源網絡傳遞函數的的兩種方法： 1.微分方程拉氏變換法（推薦）： 首先寫出網絡的微分方程，然后在零初始條件下進行拉氏變換，從而得到輸出變量與輸入變量之間的傳遞函數。 2. 復阻抗法：引用復數阻抗直接列寫網絡的代數方程，然后求其傳遞函數。（詳見電路）慣性環節圖中所示，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，求其傳遞函數。11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG式中 RLT RK1( )( )( )( )( )( )di tu tRi tLdtU sRI sLsI s積分環節 上圖為運算放大器構成的積分環節，輸入ui

39、(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數為 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 圖中所示為RLC網絡，輸入為 ，輸出 ，其動態特性方程為 )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其傳遞函數 20222( )1( )( )12ninnU tG sU tLCsRCsss0( )u t( )iu tLCn1LCR2式中，振蕩環節l具有延遲性質的元部件（延遲環節） 在實際生產中，有很多場合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應和管道混合過程，多個設備串聯以及測量裝置系統等。遲延過大往往會使控制效果惡化，甚至使系統失去穩定。延遲環節(時滯環節) 延遲

40、環節是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時間后才重現輸入信號，其動態方程為 )()(trtc其傳遞函數是一個超越函數 sesRsCsG)()()(式中稱延遲時間 典型環節小結注： 拋開具體結構和物理特點，控制系統的元部件一般可分為比例、積分、微分、慣性、振蕩、延遲環節或幾種環節的組合。返回2-3 控制系統的結構圖與信號流圖 控制系統的結構圖與信號流圖也是一種數學模型。是控制理論中描述復雜系統的一種簡便方法。 在控制工程中，為了便于對系統進行分析和設計，常將各元部件在系統中的功能及各部分之間的聯系用圖形來表示，即系統結構圖（或稱方框圖）和信號流圖。 與結構圖相比，信號流圖符號簡單，便于繪制和應用

41、。但是信號流圖只適用于線性系統，而結構圖也可用于非線性系統的描述。 從系統的結構圖或信號流圖中可以方便的求得系統的傳遞的函數。1.系統結構圖的組成和繪制2.結構圖的等效變換和簡化3.信號流圖的組成及性質4.信號流圖的繪制5.梅森增益公式6.典型反饋控制系統傳遞函數的幾個基本概念返回本節內容1.系統結構圖的組成和繪制 控制系統的結構圖是控制系統組成框圖的具體化（定量）表現。 控制系統的結構圖是由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包括以下四種基本單元：信號線、 引出點、 比較點、 方框（或環節）1. 繪制系統結構圖時，首先列寫系統各元部件的微分方程或者傳遞函數，并將它們用方框表示

42、。2. 然后，根據各元部件的信號流向，用信號線依次將個方框連接便得到系統的結構圖。繪制系統結構圖的步驟：注：系統結構圖中的方框與實際系統的元部件并非一一對應。（一個實際元部件可以用一個或幾個方框表示；而一個方框也可以代表幾個元部件或者是一個子系統，或是一個大的復雜系統。)例例 2-11 下圖所示為一個電壓測量裝置，也是一個反饋控制系統。 是待測量電壓， 是指示的電壓測量值。如果 不同于 ，就產生誤差電壓 ， 經調制、放大以后，驅動兩相伺服電動機運轉，并帶動測量指針移動，直至 。這時指針指示的電壓值即是待測量的電壓值。試繪制該系統的結構圖。1e2e2e1e12eee21ee電壓測量裝置原理圖解解

43、 系統由比較電路、機械調制器、放大器、兩相伺服電動機及指針機構組成。首先，考慮負載效應分別列寫各元部件的運動方程，并在零初始條件下進行拉氏變換，有：比較電路調制器放大器兩相伺服電動機繩輪傳動機構測量電位器12( )( )( )E sE sE s( )( )U sE s( )( )aaUsK E s2( )( )( )( )mmssmammmmmMC ssMMC UsMJ ssf ss ( )( )mL srs 21( )( )E sK L s 根據各元部件在系統中的工作關系，確定其輸入量和輸出量，并按照各自的運動方程分別畫出每個元部件的方框圖。 最后，用信號線按信號流向依次將各元部件的方框連起

44、來，便得到系統結構圖。 如果兩相伺服電動機直接以前所學的簡化形式表示，則結構圖可以進一步簡化。實際上，是虛線框內結構圖的簡化。 例例 畫出下圖所示無源RC網絡的結構圖。dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011解解 可將無源網絡視為一個系統，組成網絡的元件就對應于系統的元部件。選取變量如圖所示，根據電路定律，寫出其微分方程組為 零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得 )(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsU

45、sIsIsIRsUsUsIRsUsUsI RC網絡方框圖 各環節方框圖 返回2.結構圖的等效變換和簡化控制系統結構圖簡化的目的： 化繁為簡，求取閉環系統的傳遞函數。結構圖的簡化一般方法： 在遵循等效原則的情況下，結構圖的三種基本運算結構圖的變換結構圖的簡化(1)a.RC網絡思考：a圖的電路傳遞函數是否等于b圖兩個電路傳遞函數之積？兩個串聯連接的元件的方框圖應考慮負載效應。兩個串聯連接的元件的方框圖應考慮負載效應。b.c.(2) 應該說，結構圖的變換與運算是手段； 結構圖的化簡才是目的。 化簡的基本原則是：等效原則。（3）結構圖的簡化結構圖的簡化例例 2-14 簡化圖2-32系統結構圖，并求系統

46、傳遞函數。G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41請你寫出結果請你寫出結果,行嗎？行嗎？比較點后移(注意，不宜前移）-解耦合34343431G GGG G H234233432321G G GGG G HG G H123423234312341( )( )( )1GG G GC ssR sG G HG G HGG G G HG2H1G1G3比較點移動比較點移動G1G2G3H1錯！錯！G2無用功無用功向向同類移動同類移動G1G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1返回3.信號流圖的組成及性質 信號流圖是跟結構圖類似的一種圖示模型。 梅森(

47、Mason)（或翻譯為梅遜）較早嘗試信號流圖的組成：它是由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡。UIR歐姆定律與信號流圖典型的信號流圖該信號流圖由 五個節點和八條支路組成。由上圖，可以得到描述五個變量因果關系的一組代數方程式為：11213324435245xxxxexxaxfxxbxxdxcxgx信號流圖的基本性質：信號流圖只適用于線性系統。節點標志系統的變量，支路相當于乘法器。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞。對于給定系統，節點變量的設置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖中的常用名詞術語：源節點（輸入節點）：只有輸出支路，無輸入支路。阱節點（輸出節點）：只有輸入支路，無輸出支路。混合節點：

48、既有輸入又有輸出的支路。前向通路：信號從輸入節點到輸出節點，每個節點只通過一次的通路，叫做前向通路。前向通路上各支路增益的乘積，稱為前向通路總增益，一般用 表示。回路：起點和終點在同一節點，而且信號通過每一節點不多于一次的閉合通路稱為單獨回路，簡稱回路。回路中所有支路增益的乘積叫做回路增益，用 表示。不接觸回路：回路之間沒有公共節點時，這種回路叫不接觸回路。kPaL信號流圖的簡化 （結構圖的簡化規則同樣適用）（1）加法規則（并聯）：n個同方向并聯支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （2）乘法規則（串聯） ：n個同方向串聯支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之積，如圖（b）。 （3

49、）混合節點可以通過移動支路的方法消去，如圖（c）。 （4）回環（反饋）可根據反饋連接的規則化為等效支路，如圖（d）。 返回4.信號流圖的繪制（1）由系統微分方程繪制信號流圖（2）由系統結構圖繪制信號流圖（1）由系統微分方程繪制信號流圖：步驟：a) 列寫控制系統的微分方程； b) 通過拉氏變換，將微分方程變換為S的代數方程；c) 對系統的每個變量指定一個節點，并按照系統中變量的因果關系，從左向右順序排列；d) 根據數學方程式將各個節點變量正確連接，并標明支路增益，便可得到系統的信號流圖。例例 2-17 繪制圖2-24的RC無源網絡的信號流圖。由基爾霍夫定律，列寫網絡的微分方程如下：1002211

50、112( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )iiu ti t Ru tu ti t Ri t dti t Ru tCi ti ti t11002121112( )( )( )( )( )(0)1( )( )( )( )( )iU sI s RUsUsI s RuIsI s RCssI sIsI s拉氏變換后01102211112( )( )( )( )( )( )( )(0)( )( )( )iU sUsI sRUsI s RIssRCI sCuI sI sIs按照因果關系，重新排列：（2）由系統結構圖繪制信號流圖（考研題型）：例例 將圖2-43所示系統方框圖化為

51、信號流圖并化簡求出系統的閉環傳遞函數 )()()(sRsCs 解解：信號流圖如圖 (a)所示。化G1與G2串聯等效為G1G2支路，G3與G4并聯等效為G3+G4支路，如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡化為 支路，又與G3+G4串聯，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG進而求得閉環傳遞函數為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG返回5.梅森增益公式（mason gain rule) 簡單的系統結構圖或者信號流圖經過等效變換簡化后，可直接求得系統的傳遞函數。 復雜的結構

52、圖或者信號流圖，等效變換簡化很繁瑣；此時宜用梅森公式直接求取傳遞函數。 本節不加證明的給出梅森增益公式的結論與具體用法。并結合具體例子練習。（考研必考，考試重點）梅森增益公式：例例2-19 試用梅森公式求例2-14(p49)系統的傳遞函數我們可直接對系統結構圖或者信號流圖利用梅森公式。從源節點到阱節點只有一條前向通路，其總增益為有三個單獨回路，回路增益分別是11234pGG G G1232LG G H 2343LG G H 312341LGG G G H 沒有不接觸回路，且前向通道與所有回路均接觸，故11 由梅森增益公式求得系統的傳遞函數為12341112341232343( )1( )1GG

53、 G GC spR sGG G G HG G HG G H 123412323431 GG G G HG G HG G H 2-21例例 利用梅遜公式求圖中所示系統的傳遞函數 C(s) / R(s)。解解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有4條前向通道，對應 與 為p1=G1G2G3G4G5 1=1p2=G1G6G4G5 2=1p3=G1G2G7G5 3=1p4= -G1G6H2G7G5 4=1圖中有五個單回環，其增益為：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之

54、積L1L2 = G3G5H1H2 kkp系統的特征式為 21654321)(1LLLLLLLL系統的傳遞函數為 )()(sRsC123451645127515672325123453645327533512567231GG G G GGG G GGG G GGG G G GG HG HG G G G HG G G HG G G HG G H HG G G H H例例 求圖示信號流圖的閉環傳遞函數 解解：系統單回環有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統的特征式 為： 212151311GGGGLii前向通道有四條： P1 = -G1

55、1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統的傳遞函數為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii返回6. 典型反饋控制系統傳遞函數的幾個基本概念（考研重點概念與公式）(a)(b)(c)疊加原理(d) 閉環系統的誤差傳遞函數閉環系統的誤差傳遞函數拓展（魯棒性）當輸入信號和擾動信號同時作用時，系統的輸出為122121( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )1( )( )( )nC ss R ss N sG s G s R sG s N sG s G s H s 上式如果滿足121( )( )( )1,( )

56、( )1G s G s H sG s H s則可簡化為1( )( )( )C sR sH s上式表明，在一定條件下，系統的輸出只取決于反饋通路傳遞函數 及輸入信號 ，與前向通路傳遞函數無關，也不受擾動作用的影響。特別是當 ，即單位負反饋時， , 從而實現了對輸入信號的完全復現，且對外界擾動和內部參數變化引起的控制性能改變具有較強的抑制能力（這種能力可稱為控制系統的魯棒性，Robustness)。( )H s( )R s( )1H s ( )( )C sR s魯棒性定義：控制系統在其特性或參數發生攝動時仍可使品質指標保持不變的性能。魯棒性是英文robustness一詞的音譯，也可意譯為穩健性。魯

57、棒控制是控制理論研究中一個重要方向。魯棒與最優控制周克敏著周克敏的兩本學術著作Robust and Optimal Control(魯棒與最優控制)和Essentials of Robust control(魯棒控制基礎)被世界上各大學廣泛用作研究生教材,其中包括美國麻省理工,斯坦福,柏克利,加州理工學院等知名大學。現在已被SCI引用達700多次。 H愛趣無窮思考：研究單位（負）反饋系統的普遍意義具有普遍意義的單位反饋形式：等效于研究:給定和輸出在數值上相等2.4 在MATLAB中數學模型的表示 控制系統的數學模型在系統分析和設計中是相當重要的,在線性系統理論中常用的數學模型有微分方程、傳遞函

58、數、狀態空間表達式等,而這些模型之間又有著某些內在的等效關系。MATLAB主要使用傳遞函數和狀態空間表達式來描述線性時不變系統(Linear Time Invariant簡記為LTI)。 1. 傳遞函數 單輸入單輸出線性連續系統的傳遞函數為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多項式的根稱為系統的零點,分母多項式的根稱為系統的極點。令分母多項式等于零,得系統的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 因傳遞函數為多項式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項式的。MATLAB中多項式用行向量表

59、示,行向量元素依次為降冪排列的多項式各項的系數,例如多項式 P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為 P=1 0 2 4 注意盡管s2項系數為0,但輸入P(s)時不可缺省0。 MATLAB下多項式乘法處理函數調用格式為 C=conv(A,B) 例如給定兩個多項式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應先構造多項式A(s)和B(s),然后再調用conv( )函數來求C(s)A =1,3; B =10,20,3;C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多項式為10s3 +50s2 +63s +9 MATLAB提供的conv(

60、)函數的調用允許多級嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 有了多項式的輸入,系統的傳遞函數在MATLAB下可由其分子和分母多項式唯一地確定出來,其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子多項式，den為分母多項式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；對于其它復雜的表達式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列語句來輸入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,