1、【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)3 答案：第 4 章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項選擇題若函數(shù)f (x) 滿足條件（ D ），則存在(a , b) ，使得 f( )f (b)f (a)b在 (a , b) 內(nèi)連續(xù)B. 在 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)aA.C. 在 (a , b) 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D. 在 a , b 上連續(xù)，在 ( a , b) 內(nèi)可導(dǎo)函數(shù) f ( x)x24x1 的單調(diào)增加區(qū)間是（D）A.( ,2)B.(1, 1)C.(2,)D.(2,)函數(shù) yx24x 5在區(qū)間 (6, 6)內(nèi)滿足（ A）A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B. 單調(diào)下降C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D. 單調(diào)上升函數(shù) f ( x) 滿足 f (

2、x)0 的點，一定是f (x) 的（ C ）A.間斷點B. 極值點C. 駐點D. 拐點(a , b) ，若 f ( x) 滿足（ C ），則 f ( x) 在 x0設(shè) f ( x) 在 (a , b) 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x0取到極小值A(chǔ).f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0B.f (x0 ) 0 , f ( x0 ) 0C.f (x0 ) 0 , f ( x0 ) 0D.f (x0 ) 0, f ( x0 ) 0設(shè) f ( x) 在 ( a , b) 內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f (x)0, f( x)0 ，則 f ( x) 在此區(qū)間內(nèi)是（A ）A.單調(diào)減少且是凸的B. 單調(diào)減少且是凹

3、的C. 單調(diào)增加且是凸的D. 單調(diào)增加且是凹的（二）填空題設(shè) f ( x) 在 ( a , b) 內(nèi)可導(dǎo)， x0(a , b) ，且當(dāng) xx0 時 f( x)0 ，當(dāng) xx0 時 f ( x)0 ，則 x0 是 f ( x)的極小值點若函數(shù)f (x) 在點 x0 可導(dǎo)，且 x0 是 f ( x) 的極值點，則f(x0 )0函數(shù) yln(1x2 ) 的單調(diào)減少區(qū)間是(,0) 函數(shù) f ( x)ex2的單調(diào)增加區(qū)間是(0,)若函數(shù) f (x) 在 a , b 內(nèi)恒有 f (x)0 ，則 f (x) 在 a , b 上的最大值是f (a) 函數(shù) f ( x)25x3x 3 的拐點是(0,2)（三）計

4、算題求函數(shù) y(x1) ( x5)2 的單調(diào)區(qū)間和極值解 : y ( x5)22(x 1)( x5)(x5)( x 5) 2(x1)3( x 5)( x 1)駐點x1, x5列表：X(,1)1(1,5)5(5,)y+0-0+y上升極大 27下降極小 0上升極大值： f (1)27極小值： f (5)0求函數(shù)yx22x3在區(qū)間 0, 3內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值解： y2x 2 0 , x1(唯一駐點 )MaxMax f (0), f (1), f (3)f (3) 6MinMin f (0), f (1),f (3)f (1)23. 求曲線 y 22x 上的點，使其到點A(2, 0) 的距

5、離最短解： 設(shè) p( x, y)是y 22x上的點 ， d 為 p 到 A 點的距離，則：d( x 2) 2y2( x 2) 22x令d2(x2)2x10x 12( x2) 22x(x 2) 22xy 22x上點 (1,2)到點 A( 2,0)的距離最短 。4. 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L ，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？解 :設(shè)園柱體半徑為R，高為 h，則體積VR2h( L2h2 )h令 ：Vh( 2h)L2h 2 L23h 2 0, L3h, h3 L3R2 L,當(dāng)h3, R2 L時其體積最大3335. 一體積為 V 的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小？

6、解 :設(shè)園柱體半徑為 R，高為 h，則體積VR 2h,S表面積2 Rh2 R 22 V2 R 2R令：S2VR24 RVR3R3 V, h3 4V022答：當(dāng)R3 Vh34V2時表面積最大 .6. 欲做一個底為正方形，容積為 62.5 立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設(shè)底連長為 x，高為 h.則：62.5x2 h, h62.5，側(cè)面積為： Sx24xhx 2 250250x 2x令 S2x0,x3125 x5x 2答：當(dāng)?shù)走B長為5 米，高為2.5 米時用料最省 .（四）證明題當(dāng) x0 時，證明不等式x ln(1x) 證：由中值定理得：ln(1x)ln(1x)ln 111(0)x(1x)11ln(1x)xln(1x),