1、會計學1一章節函數與極限一章節函數與極限第七節第七節 無窮小的比較無窮小的比較第八節第八節 函數的連續性與間斷點函數的連續性與間斷點第九節第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性連續函數的運算與初等函數的連續性第十節第十節 閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質第1頁/共55頁第一節第一節 映射與函數映射與函數一、一、 集合集合二、二、 映射映射三、三、 函數函數返回返回第2頁/共55頁 一、集合一、集合 集合與元素之間的關系集合與元素之間的關系aM：若：若x是集合的元素；是集合的元素；1.1.集合概念集合概念(1)(1)集合：集合：具有某種特定性質的事物的總體，具有某種特定性質的事物的

2、總體， 集合的元素通常用集合的元素通常用A，B，S，T 等表示等表示. .元素元素: : 組成這個集合的事物組成這個集合的事物 集合的元素通常用集合的元素通常用a，b，x，y等表示等表示. .集合分為有限集和無限集集合分為有限集和無限集. .a M: : 若若x不是集合的元素不是集合的元素. . (2)集合的表示法集合的表示法列舉法列舉法: :將集合的元素一一列舉出來將集合的元素一一列舉出來, ,1,2,3, N,dcbaA 描述法描述法: :|PxxM具有性質具有性質 01|2 xxB如如: :第3頁/共55頁N=全體自然數全體自然數 ，Z=全體整數全體整數 ，Q=全體有理數全體有理數 ，R

3、=全體實數全體實數.(3)常用的集合記號常用的集合記號 如果如果 ，必有，必有 , ,則稱則稱A是是B的子集，記為的子集，記為Ax Bx .BA 不含任何元素的集合，不含任何元素的集合，則稱為則稱為空集空集記為記為. 是任何集合的是任何集合的 子集子集. (4) 集合的關系集合的關系 A集合集合:集合集合A內排除內排除0的集的集. A集合集合:集合集合B內排除內排除0與負數的集與負數的集. 若若 ，且，且 , ,則稱則稱A是是B的真子集的真子集, ,記為記為 . .BA BA A B 若若 ，且，且 , ,則稱則稱A與與B相等相等, ,記為記為 . .BA AB BA 第4頁/共55頁2、集合

4、的運算、集合的運算是二個集合，定義是二個集合，定義設設A、BBxAxxBA 或或(A與與B的的并集并集)BxAxxBA 且且(A與與B的的交集交集)BxAxxBA 且且(A與與B的的差集差集)設設I表示我們研究某個問題的全體表示我們研究某個問題的全體, 則其他集合則其他集合A都是都是I的子集的子集,稱稱I為全集或基本集為全集或基本集.CAAI A的余集或補集記為的余集或補集記為:例如例如: 在實數集在實數集R中中10 xxA10 xxxAC或或則有則有第5頁/共55頁設設A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）交換律）交換律ABBAABBA ,（2）

5、結合律）結合律)()(CBACBA )()(CBACBA )()()(CBCACBA （3）分配律）分配律)()()(CBCACBA CCCBABA )(（4）對偶律）對偶律CCCBABA )(以上這些法則都可以根據集合相等的定義驗證以上這些法則都可以根據集合相等的定義驗證.第6頁/共55頁證明證明:兩個集合的并集的余集等于它們的余集的交集兩個集合的并集的余集等于它們的余集的交集.證明證明:CBAx)( BAx Ax 且且Bx cAx 且且cBx ,ccBAx ;)(cccBABA 反之反之,ccBAx Ax 且且Bx BAx ,)(cBAx .)(cCCBABA 注注:在以后的證明中在以后的

6、證明中,“ ”表示表示“推出推出”(或或“蘊含蘊含”), “ ”表示表示“等價等價”.cAx 且且cBx 于是于是.)(cCCBABA 第7頁/共55頁,ByAxyxBA 且且直積或笛卡兒乘積直積或笛卡兒乘積例如：例如： RyRxyxRR ,),(為為xOy面上全體點的集合，記為面上全體點的集合，記為.2R第8頁/共55頁3 3、區間和鄰域、區間和鄰域Oab,ba設設a, ,bR, ,且且a b, ,|),(bxaxba 開區間開區間|,bxaxba 閉區間閉區間半開區間半開區間|,(bxaxba |),bxaxba 和和稱稱a, ,b為區間的端點，為區間的端點，稱稱ba為這些區間的長度為這些

7、區間的長度. .以上這些區間都稱為有限區間以上這些區間都稱為有限區間. .),(baOab第9頁/共55頁無限區間無限區間|),axxa |),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb 用數軸可以表示區間用數軸可以表示區間, 區間常用區間常用I表示表示.Oa,a引進記號：引進記號： + + （讀作（讀作正無窮大正無窮大）( (讀作讀作負無窮大負無窮大）（讀作（讀作無窮大無窮大）b),(bO第10頁/共55頁 (2) (2) 點點a的去心鄰域：的去心鄰域：| 0 |),( axxaU。注注 若不強調若不強調的大小，點的大小，點a的去心鄰域記為的去心鄰域記為U( (a) )鄰域

8、鄰域x a a 點點a的左的左鄰域鄰域: :開區間開區間( (a-,-,a) )點點a的右的右鄰域鄰域: :開區間開區間( (a, ,a+)+)(1) (1) 設設是任一正數，稱開區間是任一正數，稱開區間( (a-,-,a+)+)為點為點a的的鄰域鄰域，記為，記為U( (a,),)，即，即| |),( axxaxaxaU點點a稱為該鄰域的稱為該鄰域的中心中心，稱，稱為該鄰域的為該鄰域的半徑半徑. .a返回返回第11頁/共55頁二、映射二、映射1、映射的概念、映射的概念定義定義 設設X、Y是二個非空集合，如果存在一個法則是二個非空集合，如果存在一個法則 , 使得對使得對X中每個元素中每個元素x,

9、 按法則按法則 , 在在Y中有唯一確定的元素中有唯一確定的元素 y與之對應與之對應, 則稱則稱 為從為從X到到Y的映射的映射,記為記為 fff,:YXf其中其中y稱為元素稱為元素x(在映射在映射 下下)的像的像,記作記作 ,即即 ,f)(xf)(xfy 元素元素x稱為元素稱為元素y(在映射在映射 下下)的一個原像的一個原像;f集合集合X稱為映射稱為映射 的定義域的定義域, 記作記作 , 即即ffD;XDf .)()(XxxfXfRf X中所有元素的像所組成的集合稱為映射中所有元素的像所組成的集合稱為映射 的值域的值域, 記作記作 或或 ,即即f)(XffR第12頁/共55頁注意注意:(1) 一

10、個映射必須具備以下三個要素一個映射必須具備以下三個要素:集合集合X, 即定義域即定義域;XDf 集合集合Y, 即值域的范圍即值域的范圍:;YRf 對應法則對應法則,f使對每個使對每個,Xx 有唯一確定的有唯一確定的)(xfy 與之對應與之對應.(2) 對每個對每個 ,元素元素x的像的像y是唯一的是唯一的;Xx 對每個對每個 ,元素元素y的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的;fRy 映射映射 的值域的值域 是是Y的一個子集的一個子集,即即 ,不一定不一定 .fYRf fRYRf 第13頁/共55頁例例1 設設 , 對每個對每個 , . RRf:Rx 2)(xxf 顯然顯然, 是一個映射是一個

11、映射, 的定義域的定義域 ,值域值域 ffRDf ,0 yyRf它是它是R的一個真子集的一個真子集.對于對于 中的元素中的元素y, 除除y=0外外,它的原它的原fR像不是唯一的像不是唯一的.如如y=4的原像就有的原像就有x=2和和x=-2兩個兩個.例例2 設設 ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY,:YXf對每個對每個 ,有唯一確定的有唯一確定的 Xyx ),(Yx )0 ,(與之對應與之對應.顯然顯然, 是一個映射是一個映射, 的定義域的定義域 ,值域值域ffXDf .YRf Oxy-11這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到這個映射表示將平面上一個圓心在原點

12、的單位圓周上的點投影到x軸的區間軸的區間-1,1上上.第14頁/共55頁例例3 設設,1 , 12,2 : f對每個對每個 ,2,2 x.sin)(xxf f這這 是一個映射是一個映射,其定義域其定義域 ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR 為為X到到Y上的映射（或上的映射（或滿射滿射）：）：f 為為X到到Y上的上的單射單射：f是從集合是從集合X到集合到集合Y的映射，的映射，f若若,YRf 都是都是X中某元素的像中某元素的像.即即Y中任一元素中任一元素y若對若對X中任意兩個不同元素中任意兩個不同元素,21xx 它們的像它們的像).()(21xfxf f為一一映射（或為一一映射（或雙射雙射）

13、：）：若映射若映射 既是單射，又是滿射既是單射，又是滿射.f如如:例例1 既非單射既非單射, 又非滿射又非滿射;例例2 不是單射不是單射,是滿射是滿射;例例3 既是單射既是單射,又是滿射又是滿射,因此是一一映射因此是一一映射.第15頁/共55頁映射又稱為映射又稱為算子算子.根據集合根據集合X、Y的不同情形的不同情形,在不同的數學分支中在不同的數學分支中,映射又有不同的慣用名稱映射又有不同的慣用名稱.如如: 從非空集合從非空集合X到數集到數集Y的映射又稱為的映射又稱為X上的上的泛函泛函.從非空集合從非空集合X到它自身的映射又稱為到它自身的映射又稱為X上的上的變換變換.從實數集從實數集(或其子集或

14、其子集)X到實數集到實數集Y的映射稱為定義在的映射稱為定義在X上的上的函數函數.第16頁/共55頁2. 逆映射與復合映射逆映射與復合映射f是是X到到Y上的單射上的單射,設設即即于是于是, 可以定義一個從可以定義一個從fR到到X的新映射的新映射g, ,:XRgf對每個對每個,fRy 規定規定,)(xyg 這這x滿足滿足.)(yxf 這個映射這個映射g稱為稱為f 的逆映射的逆映射,記作記作,1 f其定義域其定義域,1ffRD 值域值域.1XRf 注意注意:只有單射才存在逆映射只有單射才存在逆映射.例例1,2,3中中,只有例只有例3有逆映射有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf.2,2

15、,1 , 111 ffRD第17頁/共55頁設有兩個映射設有兩個映射,:,:21ZYfYXg其中其中.21YY 則可以確定一個從則可以確定一個從X 到到Z 的映射的映射, 稱為復合映射稱為復合映射,記作記作, gf 即即,:ZXgf .,)()(Xxxgfxgf 注意注意:映射映射g 和和f 構成復合映射的條件構成復合映射的條件:.fgDR fggf 兩者也不同時有意義兩者也不同時有意義.第18頁/共55頁例例4 設有映射設有映射,1 , 1: Rg對每個對每個,sin)(,xxgRx 映射映射,1 , 0 1 , 1 : f對每個對每個.1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf )

16、(sin)()( ,xfxgfxgfRx .cossin12xx 返回返回第19頁/共55頁三、函數三、函數1.1.函數概念函數概念因變量因變量自變量自變量)(xfy 定義定義 設數集設數集 ，則稱映射，則稱映射 為定義為定義D上的函數，通常簡記為上的函數，通常簡記為 D稱為定義域稱為定義域, 記作記作 , 即即 . RD RDf:fDDDf 對每個對每個 ,按對應法則按對應法則 f ,總有唯一確定的值總有唯一確定的值y與之對應與之對應, 這個值稱為函數這個值稱為函數f 在在x處的函數值處的函數值,記作記作f (x),即即y= f (x).Dx fR函數值函數值f (x)的全體所構成的集合稱為

17、函數的全體所構成的集合稱為函數f 的值域的值域, 記作記作或或 f (D) , 即即.),()(DxxfyyDfRf 第20頁/共55頁函數是從實數集到實數集的映射函數是從實數集到實數集的映射,其值域總在其值域總在R內內.函數的函數的兩要素兩要素: :定義域定義域 與對應法則與對應法則f . .fD如果兩個函數的定義域相同如果兩個函數的定義域相同,對應法則也相同對應法則也相同,那么這兩個函數就是相同的那么這兩個函數就是相同的,否則就是不同的否則就是不同的.約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有定義域是自變量所能取的使算式有( (實際實際) )意義的一切實數值意義的一切實數值. .21x

18、y 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數單值函數，否則叫與，否則叫與多值函數多值函數222ayx 例如例如:第21頁/共55頁對于多值函數對于多值函數, 往往只要附加一些條件往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數就可以將它化為單值函數,這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支.例如例如,在由方程在由方程222ayx 給出的對應法則中給出的對應法則中,附加附

19、加“ ”的條件的條件,0 y就可得到一個單值分支就可得到一個單值分支.221xayy 表示函數的主要方法有三種表示函數的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義定義: :點集點集),(),(DxxfyyxP 稱為函數稱為函數Dxxfy ),(的圖形的圖形.Doxy),(yxxyfR )(xfy 第22頁/共55頁常見的幾種函數常見的幾種函數例例5 函數函數y=2它的定義域它的定義域),( D值域值域,2 fR它的圖形是一條平行它的圖形是一條平行于于x軸的直線軸的直線.Oxyy=2例例6 函數函數 0 , , 0 ,|xxxxxy定義域定義域 D=(

20、=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR這個函數稱為絕對值函數這個函數稱為絕對值函數.Oxyxy 第23頁/共55頁1-1xyo 010001sgnxxxxy當當當當當當xxx sgn例例7 函數函數稱為符號函數稱為符號函數, ,定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =1,0,=1,0,1.1.fR第24頁/共55頁 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x表示不超過表示不超過 的最大整數的最大整數x例例8 取整函數取整函數 y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定義域定義

21、域 D=(=(,+),+),值域值域 = =Z Z. .fR第25頁/共55頁例例9 函數函數 1,110 ,2)(xxxxxfy是一個分段函數是一個分段函數.它的定義域它的定義域 D=0,+).=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy 1xy2 yxO1第26頁/共55頁2. 函數的幾種特性函數的幾種特性(1) 函數的函數的有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無界無界則稱函數則稱函數, 0,XxMDX 若若Mxf )(有有 成立，成立，f (x)在在X上有界上有界.否則稱為無界否則稱為無界.(2)(2)有界與

22、否是和有界與否是和X有關的有關的. .(1)(1)當一個函數有界時，它的界是不唯一的當一個函數有界時，它的界是不唯一的. .注意注意: :Xx 1Mxf )(1使使(3)證明無界的方法證明無界的方法: 對于任意正數對于任意正數 M ,總存在總存在第27頁/共55頁(2) 函數的函數的單調性單調性:)(xfy )(1xf)(2xfxyoI及及設函數設函數f (x)的定義域為的定義域為D, 區間區間,DI ),()(21xfxf 1x如果對于區間如果對于區間I上任意兩點上任意兩點,2x當當 時時,恒有恒有21xx 則稱函數則稱函數f (x)在區間在區間I上是單調增加的上是單調增加的;第28頁/共5

23、5頁)(xfy )(1xf)(2xfxyoI及及設函數設函數f (x)的定義域為的定義域為D, 區間區間,DI ),()(21xfxf 則稱函數則稱函數f (x)在區間在區間I上是單調減少的上是單調減少的;如果對于區間如果對于區間I上任意兩點上任意兩點1x,2x21xx 當當 時時,恒有恒有第29頁/共55頁(3) 函數的函數的奇偶性奇偶性:偶函數偶函數yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設函數設函數f (x)的定義域為的定義域為D關于原點對稱關于原點對稱,對于對于有有f (-x)= f (x)恒成立恒成立,則稱則稱f (x)為偶函數為偶函數;偶函數的圖形關于偶函數的圖形關于y

24、軸對稱軸對稱.函數函數 y=cosx是偶函數是偶函數.第30頁/共55頁奇函數奇函數)( xf yx)(xfox-x)(xfy 設函數設函數f (x)的定義域為的定義域為D關于原點對稱關于原點對稱,對于對于,Dx 有有f (-x)= -f (x)恒成立恒成立,則稱則稱f (x)為奇函數為奇函數.奇函數的圖形關于原點對稱奇函數的圖形關于原點對稱.函數函數 y=sinx是偶函數是偶函數.函數函數 y=sinx+cosx既非奇函數既非奇函數,又非偶函數又非偶函數.第31頁/共55頁(4) 函數的函數的周期性周期性:2l 2l23l 23l函數函數sinx, cosx的周期是的周期是.2 函數函數ta

25、nx的周期是的周期是. （通常說周期函數的周期是指其最小正（通常說周期函數的周期是指其最小正周期周期）.則稱則稱f (x)為周期函數為周期函數, l 稱為稱為f (x)的周期的周期.)()(xflxf 一一Dx 有有,)(Dlx 且且恒成立恒成立,設函數設函數f (x)的定義域為的定義域為D,如果存在一個正數如果存在一個正數l ,使得對于任使得對于任第32頁/共55頁有理數點有理數點無理數點無理數點1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例例10 狄利克雷函數狄利克雷函數它是一個周期函數它是一個周期函數,任何有理數都是它的周期任何有理數都是它的周期,但它沒有最小正周期但它沒有最小正周期.第3

26、3頁/共55頁3. 3. 反函數與復合函數反函數與復合函數反函數的反函數的定義定義:設函數設函數)(:DfDf是單射是單射,則它存在逆函數則它存在逆函數,)(:1DDff 稱此映射稱此映射1 f為函數為函數f 的反函數的反函數.如如:函數函數Rxxy ,3是單射是單射,其反函數為其反函數為.,31Rxxy 若函數若函數f (x)在在D上是單調函數上是單調函數,則則1 f也是也是f (D)上的單調函數上的單調函數.0 x0yxyD)(yx 反函數反函數ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數函數第34頁/共55頁)(xfy 直直接接函函數數xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數數

27、 直接函數與反函數的圖形關于直線直接函數與反函數的圖形關于直線 對稱對稱.xy 相對于反函數相對于反函數),(1xfy 原來的函數原來的函數y=f (x)稱為直接函數稱為直接函數.第35頁/共55頁復合函數復合函數定義定義:設函數設函數 )(ufy 的定義域為的定義域為,1D函數函數u=g(x)在在D上有上有定義定義,且且,)(1DDg 則由下式確定的函數則由下式確定的函數 Dxxgfy , )(稱為由函數稱為由函數u=g(x)和函數和函數 構成的復合函數構成的復合函數,它的定義域為它的定義域為D,變量變量u稱為中間變量稱為中間變量.)(ufy 函數函數g與函數與函數f 構成的復合函數通常記為

28、構成的復合函數通常記為. gf 函數函數g與函數與函數f 構成復合函數構成復合函數gf的條件是的條件是:函數函數g在在D上的值域上的值域g(D)必須含在必須含在f 的定義域的定義域fD內內,即即.)(fDDg 第36頁/共55頁注意注意: :1. 不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;)2arcsin(2xy 2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:第37頁/共55頁4. 函數

29、的運算函數的運算設函數設函數f (x), g (x)的定義域依次為的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個函數的下列運算：則可以定義這兩個函數的下列運算：和和(差差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf第38頁/共55頁例例11 設函數設函數f (x)的定義域為的定義域為(-l ,l ),證明必存在證明必存在(-l ,l )上的偶函數上的偶函數g (x)和奇函數和奇函數h (x), 使得使得)()()(xhxgxf 證證 先分析如下先分析如下:假若這樣的假若這樣的g

30、 (x)、 h (x)存在存在,使得使得)()()(xhxgxf (1)且且).()(),()(xhxhxgxg 于是有于是有).()()()()(xhxgxhxgxf (2)利用利用(1)、(2)式式,就可作出就可作出g (x), h (x).作作 . )()(21)(, )()(21)(xfxfxhxfxfxg 則則),()()(xfxhxg ),()()(21)(xgxfxfxg ),()()(21)(xhxfxfxh 證畢證畢.第39頁/共55頁5. 初等函數初等函數oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1)冪函數冪函數Rxy ( 是常數是常數)第40頁/共55頁xay xay)1( )1( a)1 , 0( (2) 指數函數指數函數)1, 0(