1、平壁導熱平壁導熱圓柱壁導熱圓柱壁導熱球殼導熱球殼導熱肋片導熱肋片導熱第三講第三講 導熱微分方程的應用導熱微分方程的應用本節將針對一維、穩態、常物性、無內熱源情況，考察平本節將針對一維、穩態、常物性、無內熱源情況，考察平板和圓柱內的導熱。板和圓柱內的導熱。直角坐標系：直角坐標系：ztzytyxtxtc)()()(1 單層平壁的導熱單層平壁的導熱oxa 幾何條件：單層平板；幾何條件：單層平板； b 物理條件：物理條件： 、c、 已知；已知；無內熱源無內熱源 c 時間條件：時間條件： 0 :t穩態導熱 d 邊界條件：第一類邊界條件：第一類0dd22xtxot1tt221 , , 0wwttxttx直

2、接積分，得：直接積分，得：211 cxctcdxdt根據上面的條件可得：根據上面的條件可得：第一類邊條：第一類邊條：xtxtc)(控制控制方程方程邊界邊界條件條件帶入邊界條件：帶入邊界條件：12121tcttc)(dd1212112Attttqttxttxttt帶入帶入Fourier 定律定律ARr線性分布線性分布熱阻分析法適用于一維、穩態、無內熱源的情況熱阻分析法適用于一維、穩態、無內熱源的情況2 多層平壁的導熱多層平壁的導熱t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩態導熱三層平壁的穩態導熱v 邊界條件：邊界條件：1110nniittxttxv 熱阻：熱阻：nnnrr,111由熱阻分析法：

3、由熱阻分析法：niiinniinttrttq111111問：現在已經知道了問：現在已經知道了q q，如何計算其中第，如何計算其中第 i i 層的右側壁溫？層的右側壁溫？第一層：第一層： 11122111)(qttttq第二層：第二層：22233222)(qttttq第第 i 層：層： iiiiiiiiqttttq111)(2112111hhttqniiiff2mW 單位：單位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三層平壁的穩態導熱三層平壁的穩態導熱h1h2tf2tf1？傳熱系數？傳熱系數？多層、第三類邊條多層、第三類邊條3 單層圓筒壁的導熱單層圓筒壁的導熱圓柱坐標系：圓柱坐標系：ztztrrt

4、rrrtc)()(1)(12一維、穩態、無內熱源、常物性：一維、穩態、無內熱源、常物性：0)dd(ddrtrr第一類邊界條件：第一類邊界條件：2211wwttrrttrr時時(a)假設單管長度為假設單管長度為l，圓筒壁的外半，圓筒壁的外半徑小于長度的徑小于長度的1/10。對上述方程對上述方程(a)積分兩次積分兩次:211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww)ln(ln)( ;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww第一次積分第一次積分第二次積分第二次積分應用邊界條件應用邊界條件獲得兩個系數獲得兩個系數)ln()ln( 112121

5、rrrrtttt將系數帶入第二次積分結果將系數帶入第二次積分結果顯然，溫度呈對數曲線分布顯然，溫度呈對數曲線分布)ln()ln()(121211rrrrttttwww212212212211)ln( ;1)ln(rrrttdrtdrrrttdrdtwwww向上凹若 0 : 2221drtdttww向上凸若 0 : 2221drtdttww下面來看一下圓筒壁內部的熱流密度和熱流分布情況下面來看一下圓筒壁內部的熱流密度和熱流分布情況21221mW)ln(ddrrttrrtqwwW 2)ln( 2211221Rttlrrttrlqwwww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrt

6、tdrdtww1)ln(1221長度為長度為 l 的圓筒的圓筒壁的導熱熱阻壁的導熱熱阻雖然是穩態情況，但雖然是穩態情況，但熱流密度熱流密度 q 與半徑與半徑 r 成反比！成反比！mW ln21W ln2111)1(111)1(1niiiinwwlniiiinwwrrttqrrLtt通過單位長度圓筒壁的熱流量通過單位長度圓筒壁的熱流量 )(2ln21 )(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrqmW 21ln21212122121121lfffflRttrhrrrhttqh1h2(1) 單層圓筒壁單層圓筒壁思考：溫度分布應如何求出？思考：溫度分布應如何求

7、出？(2) 多層圓筒壁多層圓筒壁121111211ln211nniiiiffldhdddhttq通過球殼的導熱自己推導通過球殼的導熱自己推導5 其它變面積或變導熱系數問題其它變面積或變導熱系數問題求解導熱問題的主要途徑分兩步：求解導熱問題的主要途徑分兩步：(1) 求解導熱微分方程，獲得溫度場；求解導熱微分方程，獲得溫度場；(2) 根據根據Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量；定律和已獲得的溫度場計算熱流量； 對于穩態、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱對于穩態、無內熱源、第一類邊界條件下的一維導熱 問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時，問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時， 一維一維Fourier定律：定律：xtxAtdd)()(當當 (t), A=A(x)時，時，xtAdd分離變量后積分，并注意到熱流量分離變量后積分，并注意到熱流量與與x 無關無關(穩態穩態)，得，得1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()()()()()()(12121212212121tttttttttdttxAdxttttxx當當 隨溫度呈線性分布時，即隨溫度呈線性分布時，即 0at，則，則221