1、第一章第一章 集合與函數概念集合與函數概念第二章第二章 基本初等函數基本初等函數第三章第三章 函數應用函數應用數與形,本是相倚依焉能分作兩邊飛數無形時少直覺形少數時難入微數形結合百般好隔離分家萬事休切莫忘,幾何代數統一體永遠聯系莫分離 華羅庚集合集合基本關系基本關系含義與表示含義與表示基本運算基本運算列舉法列舉法 描述法描述法包含包含相等相等并集并集交集交集 補集補集圖示法圖示法 一、知識結構一、集合的含義與表示1、集合：把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合2、元素與集合的關系：或3、元素的特性：確定性、互異性、無序性確定性、互異性、無序性RQZNN、常用數集：4（一）集合的含義(

2、二)集合的表示1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并放在 內2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在x| 內3.圖示法 Venn圖,數軸二、集合間的基本關系1、子集：對于兩個集合A，B如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，我們稱A為B的子集. 若集合中元素有n個，則其子集個數為 真子集個數為 非空真子集個數為2、集合相等：BAABBA,3、空集：規定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2n2n-12n-2三、集合的并集、交集、全集、補集|1BxAxxBA或、 |2BxAxxBA且、 |3AxUxxACU且、全集：某集合含有我們所研究的各個集合的全部元素，用U表示AB

3、21 1,2,xxx例已知則0或或222.2 , Ay yxBx yxAB例求0,),0,).ABRAB題型示例考查集合的含義2 |60 ,|10 ,.Ax xxBx mxABAm 例3 設且求 的值的集合 ABAABBBA轉化的思想2, 3 ,0,1,1112,3,.23110,23AABABAmBBBAmmmmm 解：由得當時，符合題意；當m0時，1則；或-m或或考查集合之間的關系考查集合的運算.,2, 0,31)2(.,3 , 2,3 , 2 , 1 , 0,4 , 3 , 2 , 1 , 014BABAxxxBxxABCBCBAIAI求或已知，求）已知（例 UUU5 U= 1,2,3,

4、4,5 ,AB= 2 ,(C A)B= 4 ,(C A)(C B)= 1,5 ,A.例設若求UAB1234536 | 12, |0,(1),(2),AxxBx xkABkABAk 例已知集合若求 的取值范圍若求 的取值范圍返回返回 1.設設 , ,其中其中 , ,如果如果 ，求實數，求實數a a的取值范圍的取值范圍 22240,2(1)1 0Ax xxBx xax a xRABB擴展提升 2. 2.設全集為設全集為R，集合，集合 ，（1）求：）求： AB，CR(AB)；（數軸法）（數軸法）（2）若集合）若集合 ,滿足滿足 ，求實數，求實數a的取值范圍。的取值范圍。 31|xxA242|xxxB

5、02|axxCCCB211-，M421，MxxyyN2練習函數定義域奇偶性圖象值域單調性函數的復習主要抓住兩條主線函數的復習主要抓住兩條主線 1、函數的概念及其有關性質。、函數的概念及其有關性質。2、幾種初等函數的具體性質、幾種初等函數的具體性質。二次函數二次函數指數函數指數函數對數函數對數函數反比例函數反比例函數一次函數一次函數冪函數冪函數函數函數函數的概念函數的概念函數的基本性質函數的基本性質函數的單調性函數的單調性函數的最值函數的最值函數的奇偶性函數的奇偶性函數知識結構函數知識結構 BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函數的三要素：定義域，值域，對應法則函數的三要素：定義域

6、，值域，對應法則A.BA.B是兩個非空的數集是兩個非空的數集, ,如果如果按照某種對應法則按照某種對應法則f f，對于，對于集合集合A A中的每一個元素中的每一個元素x x，在，在集合集合B B中都有唯一的元素中都有唯一的元素y y和和它對應，這樣的對應叫做從它對應，這樣的對應叫做從A A到到B B的一個函數。的一個函數。一、函數的概念：一、函數的概念：思考:函數值域與集合B的關系二、映射的概念設A,B是兩個非空的集合,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y于之對應,那么就稱對應f:AB為集合A到集合B的一個映射映射是函數的一種推廣,本質是

7、:任一對唯一使函數有意義的使函數有意義的x x的取值范圍。的取值范圍。求定義域的主要依據求定義域的主要依據1 1、分式的分母不為零、分式的分母不為零. .2 2、偶次方根的被開方數不小于零、偶次方根的被開方數不小于零. .3 3、零次冪的底數不為零、零次冪的底數不為零. .4 4、對數函數的真數大于零、對數函數的真數大于零. .5 5、指、對數函數的底數大于零且不為、指、對數函數的底數大于零且不為1.1.6、實際問題中函數的定義域、實際問題中函數的定義域（一）函數的定義域（一）函數的定義域1、具體函數的定義域、具體函數的定義域220.51(1)( )2(2)( )log (1)(3)( )lo

8、g(43)xfxxfxxfxx例7.求下列函數的定義域1.【-1,2）（2，+）2.（-，-1）（1，+）3.（34,1】) 12(log)3()23(22)2(121) 1 (20 xyxxxyxxy練習：練習： 2、抽象函數的定義域、抽象函數的定義域1）已知函數）已知函數y=f(x)的定義域是的定義域是1，3，求求f(2x-1)的定義域的定義域2）已知函數）已知函數y=f(x)的定義域是的定義域是0，5)，求求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定義域的定義域(2)x|)yf x2的定義域為x4 ,求y=f(x 的定義域3)3)1.1,2 ; 2.1,4); 3. - 22，28 (

9、)lg(43)f xaxaxRa例若的定義域為求實數 的取值范圍。20;0.1612030.4aRaRaaRaa 當時，函數的定義域為，當時，函數的定義域也為函數的定義域為 ， 的取值范圍是思考：若值域為R呢？分析：值域為R等價為真數N能?。?，+）每個數。當a=0時，N=3只是（0，+）上的一個數，不成立；當a0時，真數N?。?，+）每個數即00a求值域的一些方法：求值域的一些方法： 1、圖像法，、圖像法，2 、 配方法，配方法，3、分離常數法，、分離常數法，4、換元法，、換元法，5單調性法。單調性法。12, 6x22yxx1)2)3)xey 4)5273xxy) 3(log3xy) 2(

10、, 324)( f51xxxx）三、函數的表示法三、函數的表示法1、解、解 析析 法法 2、列、列 表表 法法 3、圖、圖 象象 法法 )(3,4)()( 設)3()(,2) 1()2() 1(, 34)( ) 1 (22xfxxffxfxfxxxfxfxxxf求一次函數，且求已知求已知例例10求下列函數的解析式求下列函數的解析式待定系數法換元法（5）已知：對于任意實數x、y，等式 恒成立，求) 1(2)()(xyxxfyxf)(xf賦值法賦值法 2(6) ( )+g( )2,( )( ) .f xxf xxxxf xg x已知是偶函數，g是奇函數，且求、的解析式構造方程組法構造方程組法 (4

11、) 已知 , 求 的解析式221)1(xxxxf)0(x( )f x配湊法增函數、減函數、單調函數是增函數、減函數、單調函數是 對定義域上的對定義域上的某個區間而言的。某個區間而言的。三、函數單調性三、函數單調性定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1、x2，當x1x2時，都有f(x1) f(x2) ，那么就說函數在區間上是增函數。區間D叫做函數的增區間。如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1、x2，當x1f(x2) ，那么就說函數在區間上是減函數。區間D叫做函數的減區間。0,(,0),(0,)0,(,0),(0,)aa時 單減區

12、間是時 單增區間是0,(,)0,(,)aa 時 單增區間是時 單減區間是0,(,)220,(,)22bbaaabbaaa 時 單減區間是單增區間是時 單增區間是單減區間是0ayax（）、函數 的單調區間是 2、函數y=ax+b（a0）的單調區間是3、函數y=ax2+bx+c （a0）的單調區間是用定義證明函數單調性的步驟用定義證明函數單調性的步驟:(1) 設元，設設元，設x1,x2是區間上任意兩個實數，且是區間上任意兩個實數，且x1x2;(2) 作差，作差， f(x1)f(x2) ;(3)變形，通過因式分解轉化為易于判斷符號的形式變形，通過因式分解轉化為易于判斷符號的形式(4)判號，判號， 判

13、斷判斷 f(x1)f(x2) 的符號；的符號；（5）下結論）下結論.1. 函數函數f (x)=2x+1, (x1)x, (x1)則則f (x)的遞減區間為的遞減區間為( )A. 1, )B. (, 1)C. (0, )D. (, 0B2、若函數、若函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間在區間4,+)上是增函數上是增函數,求實數求實數a的取值范圍的取值范圍小試身手？小試身手？.11)(.11）上是增函數，在（證明：函數例xxxf3 判斷函數判斷函數 的單調性。的單調性。2xxeey拓展提升復合函數的單調性復合函數的定義：設復合函數的定義：設y=f(u)y=f(u)定義定義域域A A，u=g

14、(x)u=g(x)值域為值域為B B，若，若A BA B，則則y y關于關于x x函數的函數的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函數數f f與與g g的復合函數，的復合函數，u u叫中間量叫中間量復合函數的單調性復合函數的單調性由兩個函數共同決定；引理1：已知函數y=fg(x)，若u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，其值域為(c,d),又函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，那么，原復合函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數。x增 g(x)增 y增:故可知y隨著x的增大而增大引理2：已知函數y=fg(x)，若u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，其值域為(c,d),又函數

15、y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數y=fg(x)在區間(a,b)上是增函數。x增 g(x)減 y增:故可知y隨著x的增大而增大 復合函數的單調性若u=g(x)增函數減函數增函數減函數y=f(u)增函數減函數減函數增函數則y=fg(x)增函數增函數減函數減函數規律：當兩個函數的單調性相同時，其復合函數是規律：當兩個函數的單調性相同時，其復合函數是增增函數函數；當兩個函數的單調性不相同時，其復合函數是；當兩個函數的單調性不相同時，其復合函數是減函數減函數。 “同增異減同增異減”復合函數的單調性例題：求下列函數的單調性y=log4(x24x+3) 解 設 y=logy=log4

16、 4u u（外函數）（外函數）,u=xu=x2 24x+34x+3（內函數）（內函數）.由 u0, u=x24x+3，解得原復合函數的定義域為定義域為x|xx|x1 1或或x x33.當x(，1)時，u=x24x+3為減函數，而y=log4u為增函數，所以(，1)是復合函數的單調減區間；當x(3，)時，u=x24x+3為增函數y=log4u為增函數，所以，(3，+)是復合函數的單調增區間. 解：設u=x24x+3 ，u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數定義域)x2 (u減)解得x1.所以x(，1)時，函數u單調遞減.由于y=log4u在定義域內是增函數，所以由引理知：u=(x

17、2)21的單調性與復合函數的單調性一致，所以(，1)是復合函數的單調減區間. u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復合函數定義域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是復合函數的單調增區間. 代數解法：代數解法：解: 設 y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原復合函數的定義域為0 x2. 由于y=log13u在定義域(0，+)內是減函數，所以，原復合函數的單調性與二次函數 u=2xx2的單調性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1時單調增. 由 0 x2 （復合函數定義域） x1，(u增)解得0 x1,所以(0，1是原復合函數的單調減區間. 又u=(

18、x1)2+1在x1時單調減，由 x2， (復合函數定義域) x1， (u減) 解得0 x2,所以0，1是原復合函數的單調增區間.例2 求下列復合函數的單調區間： y=log(2xx2)例題：求函數例題：求函數 的單調性。的單調性。23221)(xxxf解：設 ， f(u)和u(x)的定義域均為R因為，u在 上遞減，在 上遞增。而 在R上是減函數。所以， 在 上是增函數。在 上是減函數。232xxuuuf)21()(23,23uuf)21()(23221)(xxxf23,23例4：求 的單調區間.1223 . 0 xxy解: 設 由uR, u=x22x1, 解得原復合函數的定義域為xR.因為 在

19、定義域R內為減函數，所以由二次函數u=x22x1的單調性易知,u=x22x1=(x1)22在x1時單調減，由 xR, (復合函數定義域) x1， (u減)解得x1.所以(，1是復合函數的單調增區間.同理1，+)是復合函數的單調減區間. uy3 . 0uy3 . 0復合函數的單調性小結復合函數y=fg(x)的單調性可按下列步驟判斷： (1) 將復合函數分解成兩個簡單函數：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數, u=g(x)稱為內層函數; (2) 確定函數的定義域； (3) 分別確定分解成的兩個函數的單調性； (4) 若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是

20、減函數），則復合后的函數y=fg(x)為增函數； (5) 若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數y=fg(x)為減函數。 復合函數的單調性可概括為一句話：“同增異減同增異減”。四、函數的奇偶性四、函數的奇偶性1.奇函數奇函數:對任意的對任意的 ,都有都有Ix )()(xfxf)()(xfxf2.偶函數偶函數:對任意的對任意的 ,都有都有Ix 3.奇函數和偶函數的必要條件奇函數和偶函數的必要條件:注注:要判斷函數的奇偶性要判斷函數的奇偶性,首先首先要看其定要看其定義域區間是否關于原點對稱義域區間是否關于原點對稱!定義域關于原點對稱定義域關于原點對

21、稱.奇奇(偶偶)函數的一些特征函數的一些特征1.若函數若函數f(x)是奇函數是奇函數,且在且在x=0處有定義處有定義,則則 f(0)=0.2.奇函數圖像關于原點對稱奇函數圖像關于原點對稱,且在對稱的區間上且在對稱的區間上不改變不改變單調性單調性.3.偶函數圖像關于偶函數圖像關于y軸對稱軸對稱,且在對稱的區間上且在對稱的區間上改改變變單調性單調性例例12 判斷下列函數的奇偶性判斷下列函數的奇偶性 11) 1 (xxxf 23)2(xxf xxxf1)3( 3 , 2,)4(2xxxf).(2)(,01);1 ()(,0.)(13xfxfxxxxfxxf）求（表達式；時）求（時且當是奇函數已知例

22、14 11230,f xfafaa例是定義在，上的減函數，若求 的取值范圍 15 110111 20,f xfafaa例已知是定義在區間，上的奇函數，在區間 ，上是減函數，且求實數 的取值范圍.函數的圖象函數的圖象1、用學過的圖像畫圖。、用學過的圖像畫圖。2、用某種函數的圖象變形而成。、用某種函數的圖象變形而成。（1）關于）關于x軸、軸、y軸、原點對稱關系。軸、原點對稱關系。（2）平移關系。）平移關系。（3）絕對值關系。）絕對值關系。反比例函數反比例函數 kyx1、定義域、定義域 .2、值域、值域 3、圖象、圖象k0k0a10a 0,a1)對數函數yx aalog其中且 a 011、定義域、定

23、義域 .2、值域、值域 R3、圖象、圖象a10a0)的大致圖像 xaxxf xy0 0aa2 a2 a 利用所掌握的函數知識,探究函數 (a0)的性質. xaxxf 1. 定義域2.奇偶性(-,0) (0 ,+) 奇函數奇函數 f(-x)=-f(x) xaxxf 210,xx上式中為使上式符號確定1212212121121221211212,(0,), 0)的單調區間的單調區間. 當當x (0 ,+)時時,確定某單調區間確定某單調區間 121212, ,.,(,., () ().(,f(x).,(0,f(x).x xax xx xx xx xx xaxf xxx當時 由是任意的 知可無限接近

24、而在同一個區間取值知a,+ )時都成立 此時 f所以a,+ )時是增函數同時可知a)時是減函數. 當當x (-,0)時時,確定某單調區間確定某單調區間 ,.(,- a), (- a,0).f xf x由是奇函數 圖像關于原點對稱所以在是增函數在是減函數綜上,函數 (a0)的單調區間是 xaxxf (-a ,0),(0,a ).(,-a ),(a ,+), fx 在是減函數在是增函數單調區間的分界點為單調區間的分界點為: a的平方根的平方根4.函數 (a0)的大致圖像 xaxxf xy0 0aa2 a2 a5.函數 (a0)的值域 xaxxf , 22,aa 1.已知函數 7f xxx (1).

25、1,2 ,.xfx求的值域 (2).2,4 ,.xfx求的最小值 (3).7, 3 ,.xfx 求的值域( ).1,2(2)( )(1)1( )8 , 82xff xff x1 在是減函數 1 即 值域為2 7:( ),7,0,7f xxx 解 函數在 07遞減 在7遞增( ).72,4 , ( )( 7)( )2,47xf xff xx2 分析知的最小值為 在最小值為2(3).7, 3( 7)( )( 3)168( )7, 38, -3xff xff xx 在是增函數 16 即- 值域為 32.已知函數 ,求f(x)的最小值,并求此時的x值. 2254xf xx 222222min4 11:

26、4444,15y2,2240225, 02xf xxxxtxtxxf xx 解原函數化為1令 y=t+ ,(t 2) 此函數在1+遞增t 此時 即時3.建筑一個容積為建筑一個容積為800米米3,深深8米的長方體米的長方體水池水池(無蓋無蓋).池壁池壁,池底造價分別為池底造價分別為a元元/米米2和和2a元元/ 米米2.底面一邊長為底面一邊長為x米米,總造價為總造價為y.寫出寫出y與與x的函數式的函數式,問底面邊長問底面邊長x為何值時為何值時總造價總造價y最低最低,是多少是多少?22:S=100,100 2008 (2)xxx解 長方體底面積米底面另一邊長為 池壁總面積為米min100t()0,1

27、0,t20 y520():,520.xxaa函數 在是減函數 在 10 +是增函數在x=10時 最小值為 元答 底面一邊長為10米時 總造價最低 為元2001002(2) 810020016 () (0)yaxaxaa xxx 總造價 函數圖象與變換1平移變換(1)水平方向的變換：yf(xa)的圖象可由yf(x)的圖象沿x軸向左平移(a0)或向右平移(a0)或向下平移(b1(2) y=log (x+1) a1ayxyxo1yxo1抓住函數中的某抓住函數中的某些性質，通過局些性質，通過局部性質或圖象的部性質或圖象的局部特征，利用局部特征，利用常規數學思想方常規數學思想方法（如類比法、法（如類比法

28、、賦值法賦值法添、拆項添、拆項等）。等）。高考題和平時的高考題和平時的模擬題中經常出模擬題中經常出 現現 。 抽象性較強；抽象性較強；綜合性強；綜合性強； 靈活性強；靈活性強； 難度大。難度大。 沒有具體給出函沒有具體給出函數解析式但給出數解析式但給出某些函數特性或某些函數特性或相應條件的函數相應條件的函數抽象函數問題抽象函數問題一、研究函數性質“賦值” 策略對于抽象函數，根據函數的概念和性質，通過觀察與分析，將變量賦予特殊值，以簡化函數，從而達到轉化為要解決的問題的目的?！纠纠?1】若奇函數若奇函數( )()f xxR，滿足，滿足(2) 1,(2)( )(2)ff xf xf，則，則(1)

29、f等于（等于（ ） A0 B1 C12 D12 (1)(1)令令x=,-2,-1,0,1,2,x=,-2,-1,0,1,2,等特殊值求等特殊值求抽象函數的函數值；抽象函數的函數值；(3)(3)令令y=-x,y=-x,判斷抽象函數的奇偶性；判斷抽象函數的奇偶性；(4)(4)換換x x為為x+T,x+T,確定抽象函數的周期；確定抽象函數的周期；(2)(2)令令x=xx=x2 2,y=x,y=x1 1或或y= ,y= ,且且x x1 1x0且且 ）y=logax(a0且且 ）同上同上1a1a一、一次一、一次函數模型函數模型:f(x+y)=f(x)+f(y) 解：解：xy令)()()0(,xfxff則

30、0 yx又令0)0(f得 fxf x()( )2)1()1(ff故，ff()() 221424 12)(，上的值域為：，在xf)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf2121,xxxx且任取)()()()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf則)()()(2121xxfyxfyxf21xx 021xx0)(21 xxf則根據題意有為增函數在函數Rxxf)(12)(2)1(0)(，在求，xffxf都有對任意的實數已知函數yxxf,)(時且當0)()()(xyfxfyxf例例1:1:上的值域解法解法2：0)(12xxfRxxxx2121，且設012 xx則, 0)(0 xfx時，由條件知當，)()(1122xxxfxf又 的增函數。為Rxxf)()()()(1112xfxfxxf54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf則的解集。求不等式時，當有對任意已知函數3)22(, 5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例例2： 解解： 31|3)22(2aaaaf的解集為：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf2121,xxxx且任取2)()(2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf則)()()