1、第 2 講空間點、線、面的位置關系做高考真題做高考真題O明命題趨向明命題趨向做真題1.（2019 高考全國卷 n）設 a,B 為兩個平面，則 a/B 的充要條件是（）A.a 內有無數條直線與 3 平行B.a 內有兩條相交直線與 3 平行C.a,平行于同一條直線D.a,（3 垂直于同一平面解析：選 B.對于A,a 內有無數條直線與（3 平行，當這無數條直線互相平行時，a 與3 可能相交，所以 A 不正確；對于 B,根據兩平面平行的判定定理與性質知，B 正確；對于 C,平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正確；對于 D,垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體

2、的相鄰兩個側面都垂直于底面，但它們是相交的，所以 D不正確.綜上可知選 B.2.（2019 高考全國卷出）如圖，點N為正方形ABCD勺中心，ECD為正三角形，平面ECD_平面ABCDM是線段ED的中點，則（）解析：選 B.取CD勺中點Q連接ONEQ因為乙ECM正三角形，所以EOLCD又平面ECD平面ABCD平面ECD平面ABCBCD所以EQL平面ABC而正方形ABCD勺邊長為2,則EO=小,ON=1,所以EN=EO+ON=4,得EN=2.過M作CD的垂線，垂足為P,連接BR則MP=坐，C2|,所以BM=MP+Bp=（3）2+（3）2+22=7,得B陣所以BMhEN連接BDBE因為四邊形ABC時

3、正方形，所以N為BD的中點，即ENMB均在平面BD印，所以直線BMEN是相交直線，選 B.A.BMhEN且直線BMEN是相交直線B.BWEN且直線BMEN是相交直線C.BMhEN且直線BMEN是異面直線D.BWEN且直線BMEN是異面直線3.（2018 高考全國卷 H）在長方體ABCDABCD中，AB=BC=1,AA=-=衛二,imin|2乂鄧5所以二面角AMAN的正弦值為*?.山東省學習指導意見1 .點、線、面之間的位置關系借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解可以作為推理依據的公理和定理(四個公理、一個定理).2 .空間位置

4、的判定與說明以立體幾何的上述定義，公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定(四個判定定理、四個性質定理)能運用定理證明一些空間位置關系的簡單命題.研考點考向研考點考向Q破重點睚點破重點睚點空間線面位置關系的判定考法全練1.（多選）下列命題正確的是（）A.梯形一定是平面圖形B.若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行C.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面D.若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合解析：選AC.對于A,由于兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可以確定一個平面，故A正確；對于B,兩條直線和第三條直線所成的角相等，

5、則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯誤；對于C,兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面，故C正確；對于D,若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故D錯誤.2. （2019江西七校第一次聯考）設n是空間中兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若m/n,n?a,則m/aB.若m?a,n?3,a/B,則m/nC.若a/（3,mla,則mlBD.若m?a,n?B,m/B,n/a,則a/3解析：選C.若m/n,n?a,則m/a或m?a,所以選項A不正確；若n?a,n?3,a/B,則m/n或m與n異面，所以選項B不正確；由面面平行的性質、線面垂直的性質及判定知選項C是

6、正確的；若?0,門？3，1/3，門/0,則0/3或0與3相交，所以選項D不正確.故選C.3. （2019武漢市調研測試）已知兩個平面相互垂直，下列命題中，一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線；一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面；過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確的命題是（）A.B.C.D.解析： 選C.構造正方體ABCDABCD,如圖， ， 在正方體ABCDABCD中， 平面ADDi，平面ABCDAD?平面ADDAi,BD?平面ABCD彳SAD與BD不垂直，故錯；連接OC因為AO為圓的

7、直徑，所以ACLOC因為SO垂直于底面圓QAC?底面圓O所以ACLSO因為SSOC=Q所以ACL平面SOC又SC?平面SOC所以ACLSC所以SAC為直角三角形，故正確.由于點D是圓O上的動點，所以平面SAM能總垂直于平面SBD故錯誤，連接DO并延長交圓O于E,連接S耳PO因為P為SD的中點，O為DE的中點,所以OR/SE又OP?平面PABSE平面PAB所以SE/平面PAB故正確，故選 C.5.（2019河北省九校第二次聯考）已知兩條不同的直線mn,兩個不重合的平面a3,給出下面五個命題：，在正方體ABCDABCD中，平面ADDA，平面ABCDl是平面ADDA內的任意一條直線，l與平面ABCt

8、D同AB平行的所有直線垂直，故正確;，在正方體ABCDABCD中，平面ADDA，平面ABCDAD?平面ADDA,但AQ與平面ABCD5垂直，故錯;，在正方體ABCDABCD中，平面ADDA，平面ABCD且平面ADDAn平面ABCD：AD,過交線AD上的點作交線的垂線l,則l可能與另一平面垂直，也可能與另一平面不垂直，故錯.故選 C.4.（2019福建省質量檢查）如圖，AB是圓錐SO的底面圓O的直徑,D是圓O上異于A,B的任意一點， 以AO為直徑白圓與AD的另一個交點為C,P為SD的中點.現給出以下結論：SAC直角三角形；平面SADL平面SBD平面PAB、與圓錐SO的某條母線平行.其中正確結論的

9、個數是（）A.0B.1C.2D.3解析：選 C.如圖，4im/n,mla?na；a/B,n?a,n?B?m/n;m/n,m/a?n/a；mla,m/3?a(3；a“B，Eln,mla?nX3-其中正確命題的序號是.解析：命題，顯然正確；命題，m,n可能異面，故為假命題；命題，可能n?a,故為假命題；命題，由線面垂直、線面平行的性質以及面面垂直的判定知為真命題；命題，由m/n,mla,得n，a,又a/B,所以n3,故為真命題.綜上，正確的命題為.答案：判斷與空間位置關系有關的命題真假的 3 種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理進行判斷.(2)借助于反證法

10、，當從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設或公認的結論相矛盾的命題，進而作出判斷.(3)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，進行肯定或否定.空間中平行、垂直關系的證明典型例題胡回由四棱柱ABCDABGD截去三棱錐Ci-BCD后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABC西正方形，O為AC與BD的交點,E為AD的中點，AiEL平面ABCD(1)證明：AO/平面BCD；(2)設M是OD勺中點，證明：平面AEML平面BiCD.【證明】取BD的中點0,連接CO,A1O,由于ABCDABCD為四棱柱，所以AO00CAiO=OC因此四邊形AiOCS平行四邊形，所以

11、AO/OC.又OC?平面BCD,AO?平面BCD,所以AO/平面BCD.(2)因為AC!BDE,M分別為AD和OD的中點，所以EMLBD又AiEL平面ABCDBD?平面ABCD所以AEBD因為BD/BD所以EMLBD,AEBD.又AE,EM?平面AEMAEnEM=E,所以BD，平面AiEM又BD?平面BiCD,所以平面AiEML平面BiCD.倒儂平行關系及垂直關系的轉化空間平行、垂直關系證明的主要思想是轉化，即通過判定、性質定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關系相互轉化.對點訓練I.如圖，在四棱錐RABCDK平面PABL平面ABCDAD/BCPA一一一一一 1 一一、，LABCDLAD,B

12、C=CD=/DE為AD的中點.面面平行的判定面面平行的性質面面痛直的判定面面垂直的件質D(1)求證：PACD(2)求證：平面PBDL平面PAB證明：(1)因為平面PABL平面ABCD平面PAH平面ABCDAB,又因為PALAB,所以PAL平面ABCD所以PALCD(2)由已知，BC/ED且BC=ED所以四邊形BCD國平行四邊形,又CD!ADBC=CD所以四邊形BCDEM正方形，連接CE圖略)，所以BDLCE又因為BC/AE,BC=AE所以四邊形ABCEM平行四邊形，所以CE/AB則BDLAB由(1)知PA1平面ABCD所以PALBD又因為PAHAB=A,則BDL平面PAB且BD?平面PBD所以

13、平面PBDL平面PAB2.如圖，已知斜三棱柱ABCABC中，點D,D分別為ACAG上的點.“AD公一,十.當等于何值時，BC/平面ABD?DCAD-(2)若平面BCD/平面ABD,求DC勺值.解：,一一AD如圖，取D為線段AC的中點，此時=1,DiCi連接AB交AB于點0,連接OD.由棱柱的性質，知四邊形AABB為平行四邊形，所以點0為AB的中點.在ABC中，點QD分別為AB,AC1的中點,所以OD/BC.又因為OD?平面ABD,BG?平面ABD,所以BG/平面ABD.AiD一所以當k=1時，BG/平面ABD.DG(2)由已知，平面BGD/平面ABD,且平面ABGA平面BDG=BG,平面ABG

14、A平面ABD=DO.因此BG/DO,同理ADIIDG.平面圖形的折疊問題典型例題ABGtD3,AD/BG/ADG=90,AB=BG把BAG&AG折起到PAGW位置，使得P點在平面ADGh的正投影O恰好落在線段AG上，如圖所示，點E,F分別為棱PG,GD的中點.(2)求證：GDL平面POF若AD=3,GD=4,AB=5,求三棱錐E-GFO勺體積.【解】【解】(1)證明：因為點P在平面ADGh的正投影O恰好落在線段AG上,所以POL平面ADG所以POAG由題意知O是AG的中點，又點E是PG的中點,所以OBPA又OB平面PADPA?平面PAD所以O日平面PAD同理，OF/平面PAD又OEHOF=QO

15、EOF?平面OEF所以平面OEF/平面PAD(2)證明：因為OF/ADADGD所以OFLGDADAO因為DG=OB，ADDG=.DGADAiO又因為而1,OB_DGAD所以 AT1,即君1.考點考點如圖，在直角梯形(1)求證：平面OEF/平面PAD又POL平面AD。CD?平面AD。所以POLCD又OFnPO=O,所以CDL平面POF因為/ADC=90,AD=3,CD=4,1 一所以SAC戶/X3x4=6,而點OF分別是ACCD的中點，由題意可知ACP邊長為 5 的等邊三角形,所以 OP=5J3,即點P到平面ACD勺距離為13,又E為PC的中點，所以E到平面CFO勺距離為4,故VE-CFO=gx

16、3-x4-=53.平面圖形折疊問題的求解方法(i)解決與折疊有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關系往往會發生變化，抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.對點訓練,一一-，兀 1-，一.如圖 1,在直角梯形ABCW,AD/BC/BA氏萬，AB=BC=2AD=a,E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將ABB&BE折起到圖 2 中ABE的位置，得到四棱錐A1-BCDE證明：CDL平面AOC(2)當平面ABE1平面BCDE寸，四棱錐A-BCDE勺體積為 36 啦，求a

17、的值.一，=，.，_1_一.解：(1)證明：在題圖 1 中，因為AB=BC=/AD=a,E是AD的中點，/BAA、，所以13SLCFO40ACD=2所以BE!AC即在題圖 2 中，BEAQBEOC從而BE!平面AOC又CD/BE所以CDL平面AOC（2）由已知，平面ABE，平面BCDE且平面ABEP平面BCDEBE,又由（1）知，AOBE所以AO,平面BCDE即AiO是四棱錐A-BCDE勺高.由題圖 1 知，AO=*AB=*a,平行四邊形BCDE勺面積S=BE-OC=a2.從而四棱錐Ai-BCD的體積為V=SxAiO=2xa2xa=-a3,3326由千 w3=36y2,得 a=6.練典型習題練

18、典型習題Q提數學素養提數學素養一、選擇題1.（2019合肥市第一次質量檢測）平面a外有兩條直線 a,b,它們在平面a內的投影分別是直線 mn,則下列命題正確的是（）A.若ab,則mlnB.若mln,則abC.若 m/n,則 a/bD.若m與n相交，則a與b相交或異面解析：選 D.對于選項 A,當直線a,b相交，且所在平面與平面 a 垂直時，直線m,n重合，故 A 不正確；對于選項 B,不妨在正方體ABCDABC1D中考慮，取面對角線AB,AD,其所在直線分別記為a,b,其在平面ABCDh的投影分別為AB,AD記為mn,此時mln,但a與b不垂直，故 B不正確；對于選項 C,不妨在正方體ABCD

19、ABGD中考慮，取面對角線AB,CD,其所在直線分別記為a,b,其在平面ABCDh的投影分別為ABCD記為mn,此時m/n,但a與b不平行，故 C 不正確；又于選項D,若m與n相交，則a與b不可能平行，只能是相交或異面，故 D 正確，選 D.2.（2019 長春市質量監測（一）在正方體ABCEABCD中，直線AC與平面ABCD所成角的正弦值為（）A.1解析：選 D.由題意畫出圖形如圖所示，取AD的中點為Q連接OC,OA,易知OA，平面ABCD,所以/AiCO是直線AC與平面ABCD所成的角，在 RtAO/AC中，AC=2OA,所以 sin,“OA1/AC8 孑=，.故選 D.AC23.如圖，在三棱錐D-ABC,若AB=CBAD=CDE是AC的中點，則下列命題中正確的是（）A,平面ABCL平面ABDB.平面ABDL平面BCDC.平面ABCL平面BDE且平面ACDL平面BDED.平面ABCL平面ACD且