1、初中數學相似三角形新題型掃描一、網格證明題 例1. （2005年浙江省臺州市）如圖1，在4×4的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上。（1）填空：ABC_°，BC_；（2）判斷ABC與DEF是否相似，并證明你的結論。圖1解：（1）ABC135°，（2）能判斷ABC與DEF相似（或ABCDEF），這是因為ABCDEF135°，ABCDEF評析：本題寓填空、識圖、說理于一體，利用網格解決相似問題，使學生基礎知識得以應用，思維能力得以提高。二、情景應用題 例2. （2005年濰坊市）如圖2所示，某市經濟開發區建有B、C、D三個食品加

2、工廠，這三個工廠和開發區A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且ABCD900米，ADBC1700米。自來水公司已經修好一條自來水主管道AN，B、C兩廠之間的公路與自來水管道交于E處，EC500米。若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負擔，每米造價800元。圖2（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應怎樣設計？并在圖形中畫出；（2）求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價各是多少元？解：（1）過B、C、D分別作AN的垂線段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即為所求的造價最低的管道線路。如圖3所示。圖3（2）（米）（米）ABE

3、CFE得（米）BHECFE，得（米）ABEDGA，（米）所以，B、C、D三廠所建自來水管道的最低造價分別是（元），（元），（元）。評析：將相似與應用有機結合，是本題的一個特色，本題雖沒有復雜的運算及偏怪之弊，但涉及的知識面寬，知識點多，它不僅綜合考查學生能力，而且通過本題使學生明白，社會實踐離不開數學。三、分類討論題 例3. （2005年北京市）在ABC中，B25°，AD是BC邊上的高，并且，則BCA的度數為_。解：（1）當高AD在ABC內時，如圖4。圖4又ADBCDA，ADBCDABADACDCADACD90°CADBAD90°B25°，BCA65&#

4、176;（2）當高AD在ABC外時，如圖5。圖5同理可證ADBCDAABDCAD25°ACD65°BCA180°ACD115°評析：本題一方面考查相似三角形的判定和性質，另一方面考查分類討論的思想方法。四、新定義圖形題 例4. （2005年福建省南平市）定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形。探究：（1）如圖6，已知ABC中C90°，你能把ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由。圖6（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結三角形各邊中點，就可將原三角

5、形分割為四個都與它自己相似的小三角形。我們把DEF（圖7）第一次順次連結各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖7-1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖7-2）依此規則操作下去。n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數），設此時小三角形的面積為。若DEF的面積為10000，當n為何值時，？（請用計算器進行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）當n1時，請寫出一個反映之間關系的等式（不必證明）。解：（1）如圖8，過點C作CDAB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線。圖8理由：BB，CDBACB90°BCDACB（2）

6、DEF經n階分割所得的小三角形的個數為當時，當n6時，當n7時，當n6時，評析：這道題的求解過程反映了標準所倡導的數學活動方式，如觀察、實驗、推理、猜想，而不僅僅是記憶，模仿，從而明白：研究問題要由表及里，由此及彼，學以致用。五、運動變化題 例5. （2005濟南）如圖9，在一個長40m、寬30m的長方形小操場上，王剛從A點出發，沿著ABC的路線以3m/s的速度跑向C地。當他出發4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發沿王剛走的路線追趕，當張華跑到距B地的D處時，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上，此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上。（1）求他們的影子重疊時，

7、兩人相距多少米（DE的長）？（2）求張華追趕王剛的速度是多少（精確到0.1m/s）？圖9解：（1）由陽光與影子的性質可知DEACBDEBAC，BEDBCABDEBAC（2），王剛到E點的時間為，張華追趕王剛的速度是。評析：解決運動變化的問題，應認真地分析運動的全過程，把握運動變化過程中的各種情況，特別是關鍵的點，特殊的位置。六、作圖說理題 例8. （2005年蕪湖）小胖和小瘦去公園玩標準的蹺蹺板游戲，兩同學越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹到1米25，甚至更高！”（1）你認為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明：（2

8、）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明。解：（1）小胖的話不對。小胖說“真可惜！我現在只能將你最高翹到1米高”，情形如圖10-1所示，OP是標準蹺蹺板支架的高度，AC是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，BC是地面。圖10-1OPBC，ACBC，OBPABCOBPABC又此蹺蹺板是標準蹺蹺板，BOOA，而AC1米，得OP0.5米若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設為a米（a0）如圖10-2所示，BDa米，AEa米圖10-2即DOOE同理可得DOPDEF，由OP0.5米，得EF1米綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架OP高度的兩倍，所以不可能翹得更高。（2）方案一 保持BO長度不變，將OA延長一半至E，即只將小瘦一邊伸長一半。使，則。由BOPBEF，得EF1.25米方案二 如圖10-3所示，只將支架