1、第一篇三角函數與解三角形專題05三角形中的邊角、面積計算問題對應典例三角形邊角面積的基本計算（方程思想的應用）典例1三角形的邊角計算與三角函數求值相結合典例2以三角形為背景的開放性問題（新題型）典例3三角形形狀的判斷典例4解二角形與不等式相結合問題典例5解三角形與三角形的心相結合問題典例6解三角形與平面幾何圖形相結合問題典例7【典例1】【2019年全國統一高考數學試卷（理科 ）（新課標I）2. 2 _ 一VABC 的內角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,設（sin B sinC） sin A sinBsinC .（1）求 A;若 J2a b 2c，求 sinC 【思路引導】（1）

2、利用正弦定理化簡已知邊角關系式可得：b2 c2 a2 bc ,從而可整理出cosA,根據A 0,可求得結果；（2）利用正弦定理可得 J2sin A sin B 2sin C ,利用sin B sin A C、兩角和差正弦公式可得關于sin C和cosC的方程，結合同角三角函數關系解方程可求得結果2(1) sin B sinC解:sin BsinC2r2c . 2 Asin B 2sin BsinC sin Csin A,222即：sin2 B sin2Csin2 A sin Bsin C由正弦定理可得:222 b c a 1b c a bc cos A -2bc 2Q A 0,兀， A =.3

3、(2) Q 72a b 2c ,由正弦定理得：J2sin A sin B 2sin C又 sinB sin A C sin AcosC cos Asin C , a25 / 19-33cle 八2 cosC sinC 2sin C整理可得：3sinC63 cosc22 .Q sin C cos C_ 23sinC 63 1 sin2C解得：sinC -64叵或娓喪因為 sin B 2sin CV2sin A 2sinC 0所以 sinC2?故sin。、.6 、,24(2)法二：Q 近a2c ,由正弦定理得： .2 sin A sinB 2sin又 sinB sin A Csin AcosC c

4、os Asin C , a 3舊吏=cosC1 八八sinC 2sinC2整理可得:3sinC、673cosC，即 3sinc3 cosc2.3sin-6sin2 八(0,),C (36一,一),所以 C 一6 26sinCsin(- -)-64 6【典例2】【2020屆安徽省亳州市高三上學期期末教學質量檢測】bVABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知一 sin A Bacos A(1)求 A;(2)若2b 朋a 岳，求cosB.【思路引導】(1)由正弦定理將邊化角，再利用兩角和差的正弦公式化簡可得;(2)利用正弦定理將邊化角，利用三角恒等變換可得sin,從而求出角B ,再用兩角和

5、的2余弦公式計算可得.【解】(1)由正弦定理得：sin-B sinC sin AcosCsin B sin Asin C sin AcosC即 sin A C sin AsinC sin AcosC整理，得 cosAsinC sin Asin C 因為 sin Csin A又 Q A 0,(2)由正弦定理得：2sin B3sin A、.2sinC2sin B /3 sin x 2 sinsin B cos Bsin,所以 cosB cos 一 34coscos43sin sin 432222【典例3】【山東省德州市 2019-2020學年高三上學期期末】已知a , b , c分別為 ABC內角

6、A, B ,C的對邊，若ABC同時滿足下列四個條件中的三個：ba 2痘 3c ; cos 2A 2cos2 -c 3(a b)1a 76 ; b 2V2.(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組，并求對應ABC的面積.(若所選條件出現多種可能，則按計算的第一種可能計分)【思路引導】(1)由可求得cosB的值，由可求出角 A的值，結合題意得出 A B ,推出矛盾，可得出不 能同時成為 ABC的條件，由此可得出結論;(2)在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出 ABC的面積.解：由詈鬻；3 a2 c2 b22鬲，

7、222-所以 cosB acb-6,2ac3由 cos 2A 2cos2 1 得，2cos A2 cos A 1 0 , 21 .，一.解得cosA 3或cosA 1 (舍)，所以A , 23因為cosB 1,且B 0,，所以B -，所以A B ，矛盾.323所以 ABC不能同時滿足，故 ABC滿足，或，;(2)若ABC滿足，,因為b2a2 c2 2accosB ,所以 86 c2 2 6 c 二，即 c2 4c 230.解得 c .6 2.所以 ABC的面積S 1acsinB 近 V2. 2若 ABC滿足，由正弦定理asinAbsinB2.2sin B，解得 sin B 1,所以c J2,所

8、以 ABC的面積S1 . 一 bcsin A 2J3.【典例4】【2020屆廣東省中山市高三上學期期末】已知 ABC的三個內角 A, B, C所對的邊分別為a, b, c.(1)若 cos A: cos B : cosC2: 2: 7,求 sin B ;(2)若 sin A: cos B : tan A 2: 2: 7 ,試判斷 ABC 的形狀.【思路引導】cosB的值，結合同角(1)利用余弦定理將已知條件轉化為邊的形式，求得 c -,再利用余弦定理求得2三角函數的基本關系式求得sin B的值.（2）結合已知條件得到 sin A cosB , 2tan A7sinA,結合A為銳角，求得A由此證

9、得三角形ABC是直角三角形.2: 2: 7,解：（1） , cos A: cosB : cosC.2222. 2. b c a a ba b ,:2bc2ab2c2ac222a c 八 r . 2 一2 2:7, . 4a 7ac 2a22c2 04a c a2c 0,22a c2acb2a ,， 人，c 一或c 4a （舍去），cosB 2. D 215 sin B 1 cos B 4（2） sin A: cos B : tan A2: 2: 7 , 1 sin A cosB , 2tan A7sin A,A B 或 A B -22一（舍去），22cos A 0, A 為銳角.，A B 7

10、A B -2ABC為直角三角形.【典例5】【2020屆山東省淄博實驗中學高三上學期期末】在 ABC中，角A, b, C的對邊分別為a , b , c,已知4acosA ccosB bcosC .（1）若a 4, ABC的面積為JT5,求b, c的值;（2）若sinB ksinC k 0 ,且角C為鈍角，求實數k的取值范圍.【思路引導】先由正弦定理和三角恒等變換，同角的三角函數基本關系求出cos A、sin A 的值;（1）利用余弦定理和三角形的面積公式列出方程組，求出b、c的值;（2）利用正弦定理和余弦定理，結合角C為鈍角，求出k的取值范圍.解：SBC 中，4ac0sA= ccosB bcos

11、C，-4sinAcosA= sinCcosB sin BcosC =sin（C+B）=1cosA 4, 加A * c0sA,154（1） a = 4, . a2= b2+c2-2bCcosA = b2+c2 gbc = 16;1又 AABC 的面積為：Saabc=1一 bc g5；15bcsin A 2=24bc = 8；由組成方程組，解得 b=4, c=2或b=2, c= 4;（2）當 sinB = ksinC（k>°），b=kc，a2= b2+c2- 2bc?cosA= ( kc) 2+c2- 2kc?s?1(k2 ：k+1) c2；又C為鈍角，則a2+b2< c2,

12、一 c 1c -11即(k2 jk+1) +k2<1,解得Ovkvj；所以k的取值范圍是 0,-.【典例6】【2020屆湖南省湘潭市高三模擬考試】VABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.已知C 2A, a 4, c 6 .(1)求 b;(2)求VABC內切圓的半徑【思路引導】(1)由C 2A,得c 2acosA,即可計算出cosA,再由余弦定理計算出邊 b.11（2）由面積公式s ABC a b c r （r為內切圓的半徑），及S ABC - bcsinA解得. /LJ V-/解：（1）由 C 2A,得 sinC sin2A 2sin AcosA ,3貝U c 2aco

13、sA又 a 4, c 6 ,所以 cosA -.423由余弦te理得，a b c 2bccos A,即 16 36 b 2 6b _ ,4即 b2 9b 20 0,解得 b 4或 5.若b 4, a 4, C 2A,15、74則VABC為等腰直角三角形，與 c 6矛盾，舍去，故b 5.（2）當b 5時，VABC的面積為-bcsin A 2,15.7則VABC內切圓的半徑r77.2C 44 5 6【典例7】【遼寧省丹東市2019-2020學年高三總復習階段測試】B C .ABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知bsin = asinB .(1)求 A;(2)若b= 2, c=

14、3, BAC平分線AD交BC于點D ,求AD的長.【思路引導】(1)由正弦定理化簡已知等式，結合 sinBwQ可得sin-BC=sinA ,利用三角形內角和化簡，進而可求2A的值(2)由已知利用三角形的面積公式可得3 AD - AD = 33 ,即可求解.422解：如圖:2B C，由正弦te理可得 sinBsin=sinAsinB ,2一 B C一 一Q sinB 0, sin= sinA, Q A B C= 180 ,2.B C A AAA Asin= coscos 2sin cos Q cos 22 '222'2.A 1sin - - ,A= 60 .0,(2) Qb=2,

15、 c=3, A=60 ,SV ABCJbcsinA=全，c 1,3 c 1,1 Svabd=b AD sin30= AD, SvACD = _b AD sin30= AD, 2422山 31 E 3 .36,3由一AD AD =,可得 AD =4225【針對訓練】1.12020屆湖北省荊州中學、宜昌一中等 荊、荊、襄、宜四地七校高三上學期期末】 在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為b、c,且 a b c, sin a、.2a2b(I)求角B的大小;J5,求c及ABC的面積.【思路引導】(1)由正弦定理化簡得應sin A 2sinBsinA，再由 a根據三角形的內角的范圍可求得角B的大小;(

16、2)根據余弦定理得b2c2 2ac cosB建立關于c的方程,解之可得c,再根據三角形的面積公式可求得三角形的面積解：(I)Q sinA、.2a2b2bsinA，由正弦定理可得2sinA2sinBsinA，sinA0,sinBQac,所以0 B(i)b 、,5,由余弦定理可得:、,5(72)2 c2 2 22 c -,即22c 3 0,解得c 3或c 1 (舍去)，故 c 3.所以sabc 2應砧22.1天津市和平區2019-2020學年高三上學期期末數學試題】b2 4bccosC，且 A C 2在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知c2a2(1)求cosC的值;(2)求cos

17、 B 的值. 3【思路引導】(1)C2 a2b2 4bccosC ,由余弦定理可得a 2c ,再由正弦定理可得 sin A 2sin C ,將A C2代入化簡可得2sinCcosC ,從而求出cosC的值.(2)由條件a C一，可知 2cos B 一 35cos 62C ,又 cosC2.5，進而可求出5sin C , sin 2c ,以及cos2C的值，利用兩角差的余弦即可求出結果 .解：(1) , c2 a2 b2 4bccosC ,由余弦定理可得 a 2c,由正弦定理得 sin A 2sin C ,又 AC,sin A sin C2一 cosC , 22sinC cosC ,又 sin2

18、C2 cosC 1，解得 cosC2 J5(2)由(1)知 sinC sin 2C 2sin C cosC42,cos 2C 52cos2 C 1 35-1 cos B - cos3cos2C55coscos2C sin 66sin2C.3 33 3103.12020屆河南省高三上學年期末】ABC內角A, B , C的對邊.已知a3, csinCsin A bsin B ,且 B 60(1)求ABC的面積；(2)若D , E是BC邊上的三等分點，求 sin DAE.【思路引導】(1)利用正弦定理化簡已知條件，結合余弦定理求得c ,根據三角形面積公式求得三角形ABC的面積.(2)首先利用余弦定理

19、求得 AD，求得b,判斷出AC AD,由此證得 AE CD ,解直角三角形求得sin DAE.解：(1) . csinC sin A bsinB,，由正弦定理得 c2 a2 b2.a 3, b2 c2 3.1又 B 60 , . b2 c2 9 2 3 c- c2 3 , . c 4 ,21 ABC 的面積 S -acsin B 3向. 2(2)設D靠近點B ,則BD DE EC 1.在ABD中，由余弦定理，得 ad4-42 2 1 4 cos60J13.又 b 后飛 T13,，AC ad.DE EC , AE CD,故 sin DAE DE .AD 134 .【福建省福州市2019-2020

20、學年高三上學期期末質量檢測】在 ABC 中，AC 1,BC <7 (1)若 A 150 ,求 cosB；(2) D為AB邊上一點，且 BD 2AD 2CD ,求 ABC的面積.【思路引導】(1)根據已知條件和利用正弦定理可求出sinB,再利用同角三角函數基本關系式可求出cosB；ACD為等邊三角形可得 A 60 ,從而求出(2)根據題意知ACD為等腰三角形，再利用余弦定理得出ABC的面積.解：(1)在 ABC中，由正弦定理及題設得sin B sin A sin B sin150近一,解得sin B12.7，即 7 9x2 1 6x cos A ,1 ,2x又0 B 30 所以CosB喜嚕

21、(2)設AD CD x,則BD 2x.在 ABC中，由余弦定理得,2'_2_2 _ _BC AB AC 2AB AC cosA,» »1 AC在等月ACD中，有 八2cosA AD聯立，解得x 1或x 1 (舍去).所以 ACD為等邊三角形，所以 A 60 ,11所以 S ABC AB AC sin A 3 1 sin 6022解法二：(1)同解法(2)設 AD x,貝U CD x, BD 2x,因為 ADC BDC ,所以cos ADCcos BDC ,由余弦定理得，得4x2 x2 74x22x2 12T22x所以x2 1 ,解得x 1或x 1 (舍去).334所

22、以 ACD為等邊三角形，所以 A 60 ,11所以 S ABC AB AC sin A 3 1 sin 60 225.12020屆山東省棗莊、滕州市高三上學期期末】AC在 向bcosC a) csinB；2a c 2bcosC ；bsin A V3asin 這三個條件中任選一個,2補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題 在 ABC中，內角a, B,C的對邊分別為a, b,c,且滿足, b 2J3, a c 4,求 ABC的面積.【思路引導】無論選哪一個，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導公式sinA sin(B C),展開后，可求得 B角，再由余弦定理b2 a2 c2 2accosB求得ac

23、 ,從而易求得三角形面積.在橫線上填寫 ay/3(bcosC a) csinB” .解：由正弦定理，得 ,3(sin BcosC sin A) sin CsinB.由 sinA sin(B C) sin BcosC cosBsinC,得 73cos Bsin C sin CsinB.由 0 C ，得 sin C 0 .所以 J3cosB sin B .又 c0sB 0 (若 cosB 0 ,則 s1nB 0, sin2 B cos2 B 0 這與 sin2B cos2 B 1 矛盾)，.由余弦定理及b 2J3 ,所以tanB事.又0 B ，得B3一o o 02得(2憫a c2 ac cos,3

24、即12 (a c)2 ac.將a c 4代入，解得ac 4.所以Saabc1-acsin B2在橫線上填寫2a c 2bcosC”解：由 2a c 2bcosC 及正弦定理，得 2sin A sinC 2sin BcosC .又 sinA sin(B C) sin BcosC cosBsin C ,所以有 2cosBsinC sin C 0.1_因為C (0,),所以sin C 0 .從而有cos B一 .又B (0,),22 所以B 由余弦定理及b 2卮3得(2、3)2 a2 c2 2accos3即12 (a c)2 ac.將a c 4代入，解得ac 4.所以SvabC一 acsin B 2

25、在橫線上填寫 bsin A73a sin A-C ”2B解：由正弦te理，得 sin Bsin A y3sin Asin2由 0 A ，得 sin A ,B _ B B B所以 sin B J3cos由一倍角公式，得 2sin 一cos一 J3cos. 2222,_ BB -B 3 一 B2由0 ，得cos 0 ,所以sin .所以一，即B 一 22222233由余弦定理及b 2石，得（2，3）22accos23即12 (a c)2 ac.將a c 4代入，解得ac 4.所以SAABC-acsin B 26.12020屆福建省莆田市(第一聯盟體)上學期高三聯考】在VABC中，內角A, B,C所

26、對的邊分別為a,b, c,已知sin AcosBsin Bcos A2c b(1)求 A;(2)設AC 2,點D在AB上，且AD 3DB ,若VBCD的面積為J3 ,求BC的長.【思路引導】(1)由正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式化簡即可求解;(2)由題意得出ABC的面積，由三角形面積公式得出c 8,再由余弦定理求出 BC的長.sin AcosB 2c b sin AcosB 2sinC sin B解：(1) ,sin BcosA b sinBcosA sin Bsin AcosBl- 2sin C sin Bcos Asin AcosB 2sin C cos A sin Bcos Asin

27、 AcosB sin B cosA 2sin CcosA. sin A B 2sin CcosA.sinC 2sin CcosA又二 C 0,，.二 sin C 0“1 r “ C"cosA 一，且 A 0, A 23(2)AD 3DB , Svabc4SVBDCSvBDCJ3，8VABC 46,且 AC 2-bcsin A 4芯,即 1 2c 3 4由222c 82.22,a b c 2bccosA2 a 64 4 2 8 2cos 3a 2.13.7.12020屆福建省漳州市高三第一次教學質量檢測】在VABC中，內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且?t足Sin(2A

28、 C) 2 2cos(A C). sin A(1)當 sinB 2sinA時，求 cosA的值；(2)若D為AC的中點，且 AC 4, bd 2,求VABC的周長.【思路引導】(1)利用三角恒等變換將sin(2A C) 2 2cos(A C)化簡為sinC 2sin A,再由正弦定理將角化邊, sin A最后利用余弦定理即可求出 cosA的值.(2)設 BDC ，則 BDA a,在 BDC和 BDA中，分別利用余弦定理求出邊 a ,即可求出三角形的周長.解：解：(1)由 sin(2A_C2 2 2cos(A C)可得 sin(2A C) 2sin A 2sin Acos(A C),sin A&

29、#39;sin Acos(A C) cosAsin(A C) 2sin A 2sin A cos(A C),sin Acos(A C) cosAsin(A C)2sin A,sinC 2sin A ,由正弦定理可得c 2a.Q sin B 2sin A, b 2a .(2 a)2 (2 a)2 a272 2a 2a 8222則由余弦定理可得 cosA b-c2bc在VBDC和V BDA中，利用余弦定理可得222BC2 DC2 BD22DC BDcos ，AB2 AD 2 BD2 2AD BDcos( ),2 2 2cos(結合(1)可得 a2 22 22 2 2 2cos , (2a)222

30、22兩式相加可得5a2 16,即a 迤,故VABC的周長l a 2a 512,54 4 58.【2020年1月遼寧省沈陽市一?！縑ABC的內角A, B, C的對邊分別為a,b, c,已知 acosBbcosA Jac7,sin2 A sin A.(1)求A及a;(2)若b c 2 ,求BC邊上的高.【思路引導】(1)根據正弦定理化簡可得 a;根據二倍角正弦公式化簡可得 A;(2)先根據余弦定理求得 bc,再根據三角形面積公式求BC邊上白高.解：(1) Q acosB b cos A5. A 。 Aac sin AcosB sin BcosA 7jasinC 77、sin C asin C a7

31、Q sin 2 A sin A 2sin Acos A sin A cos A1 - -Q A (0, 2(2)由余弦定理得a2 b2 c2 2bc cos Ab2c2 bc,7 (bc)2 bc,bc,bc3,設BC邊上的高為h.>1 ,. 1S/abc-bcsinA -223.3V.Q S/ABC2 ah、7h3-3 u,h43:王14即BC邊上的高為321149.【安徽省阜陽市2019-2020學年高三教學質量統測】ABC的內角A, B, C的對邊分別為a , b, c,已知 sin A sinB absinC csinC，點 D為邊BC的中點，且AD J7.(1)求 A;(2)若

32、b 2c,求ABC的面積.【思路引導】(1)化簡等式代入余弦定理即可求得A;uuu(2)由AD為 ABC的中線得2ADuuuABuuu .AC ,同時平萬可得28 c2 b2 bc,與 b2c聯立解出b, c的值，代入三角形面積公式即可得解解：(1)由 sin A sin B a bbsinC csinC ,可得 a2 b2 bc c2,由余弦定理可得cosA2bc所以A .3(2)因為AD為 ABC的中線,uuu urn uuu2AD AB AC，uur2兩邊同時平方可得4ADuuu 2 uuur2AB ACuuu uuur2 AB AC cosA ,故 28 c2 b2 bc.因為b 2c

33、,所以c 2, b 4.所以 ABC的面積S ABC -bcsin A 2石.ABC 一210.【河南省八市重點高中聯盟 2019-2020學年高三12月聯考】在 ABC中，AB AC 10.1(1)當 cos ACB -, AC 3時，求 sin ABC 的值; 91(2)當 BC 6,cos BAC 一時，求 ABC 的面積.3【思路引導】(1)直接由cos ACB1 , ,45一求出sin ACB 空3,再由正弦定理可得求出相應的結果.99(2)由 cos 1BAC -求出sin BAC ,再利用余弦定理可求 AB AC ,然后代入三角形面積公式即可求 3解.4.59解：（1）因 AB AC 10, AC 3, AB 7cos ACB1-,sin ACB 9由正弦定理可得 sin ABC si