1、陜西師范大學數學系羅增儒郵編 710062 電話Emil :zrluosnnu edu cn羅增儒（1945） ，男，廣東惠州人，1962 年就讀中山大學，畢業后長期當礦山職工和子弟學校教師現為陜西師范大學數學系教授，課程與教學論（數學）博士生導師，享受國務院的政府特殊津貼，著有數學解題學引論、 數學競賽導論、 中學數學課例分析、怎樣解答高考數學題、 怎樣解答中考數學題、 數學的領悟、 直覺探索方法、 零距離數學交流、 中學數學解題的理論與實踐等書300 萬字，發表文章300 多篇從1980年開始，幾十年如一日研究高考、競賽的解題與命題，項目著眼數學素質服務基礎教育

2、數學高考解題理論的建設曾獲省級優秀教學成果獎，項目奧林匹克數學學科建設曾獲國家級優秀教學成果獎0 數學高考0.1 數學高考的全程工作從 1977 年恢復高考，歷史走過了波瀾壯闊的30 多個春秋，環繞著高考工作的文化積累正在考試學、人才學和數學等維度形成學術成果我期待著數學高考學的誕生數學高考的全程工作有4 個基本問題:1）掌握數學知識問題怎樣復習（教育學）2）提高解題能力問題怎樣解題（數學）3）運用考試技術問題怎樣答題（考試學）4）科學填報志愿問題怎樣選擇（運籌學）其中， 最核心的是解題，搞好復習是為解題積聚力量，運用考試技術是為解題作充分的發揮，分段得分技術是解題策略的運用解題能力是數學高考

3、的核心競爭力0.2 數學高考命題的風格高考命題一直在“穩中求進，穩中求變、穩中求新”，探索公平選拔、為素質教育服務的道路，已形成了一些穩定性的風格和值得注意的導向.（ 1）在全面考查“基礎知識、基本技能、基本方法”的基礎上，更突出數學思想方法的考查，突出數學與現實生活的聯系.全面覆蓋了中學數學教材中的理科15 個、文科13 個知識模塊，知識點的覆蓋面達60%（約涉及7080個知識點）；同時，試卷突出學科的核心內容，集合與函數、立體幾何、解析幾何、數列、不等式、導數的應用等重點內容在試卷中占有較高的比例，整體結構合理，也達到了必要的考查深度；此外， 在模塊單一型試題為主體的基礎上還會進行知識之間

4、的交叉、滲透和綜合試卷在全面覆蓋基礎知識的同時，會注重能力的考查，特別是邏輯思維能力，運算能力和空間想象能力至于實踐能力和創新意識方面則是努力體現（五個能力）在數學思想方法方面，七個基本數學思想在試卷中都會涉及，其中， 函數與方程的數學思想方法、數形結合的數學思想方法、化歸與轉化的數學思想方法會體現得較為突出中學階段基本數學思想方法主要 “有用字母表示數的基本思想方法”， “集合與對應的基本思想方法” ，以及函數與方程的基本數學思想 （通過函數題，綜合題）數形結合的基本數學思想分類與整合的基本數學思想化歸與轉化的基本數學思想特殊與一般的基本數學思想有限與無限的基本數學思想或然與必然的基本數學思

5、想主要解題方法（待定系數法、會有不同程度的體現（通過函數題，解析幾何綜合題，構造圖形等）（通過綜合題，排列組合題，參數討論題）（通過綜合題）（通過綜合題）（通過極限、微積分函數題）（通過概率、統計題）換元法、配方法、 反證法、代入法、 消元法、數學歸納法）（ 2） 在主體上考查中學數學的同時，會體現進一步學習高等數學的需要. 特別是一些有挑戰性的壓軸題，尤其各省獨立命題之后，更是 “注重理論數學， 檢測考生后繼學習的潛能”（有人看到了高考與競賽的相互滲透）.（ 3）新課程理念的滲透. 雖然新世紀課程改革剛剛起步（高中教材才開始試用），但其三維目標和十個基本理念會開始滲透（課程改革改到哪里，高考

6、改革也改到哪里）. 如，命題范圍拓展了，出現人文關懷，體現“情感、態度、價值觀”課程目標 .（ 4）在命題技術上，可以看到：以教材為依據，又不拘泥于教材.在知識交匯處設計命題.能力立意. 改變了過去的知識立意.減少題量，降低難度，增加學生分析思考的時間對三類題型設計了兩個從易到難的三個小高潮.變小量難題把關為全卷把關.試題切入容易深入難（階梯題）避免死記硬背的內容和繁瑣的運算（試卷提供難記易忘的公式）文理分卷，難度有區別（姐妹題）0.3 數學高考復習的組織工作（ 1）指導思想（ 2）高考復課的階段安排（ 3）數學復習題的編擬（ 4）數學模擬考試的組織與講評（ 5）數學高考臨場的策略 0.4 數

7、學高考的研究工作（ 1）高考數學的特征（ 2）數學高考解題的特點（ 3）數學高考選擇題的求解（ 4）數學高考填空題的求解（ 5）數學高考解答題的求解（ 6）數學高考解題的錯誤分析（解對了也會有策略性錯誤）（ 7）高考數學命題的研究（ 8）數學高考試卷的構成（ 9）數學高考的題型（ 10）數學高考設問的研究（ 11）數學高考難度的研究（12）數學高考賦分的研究（13）0.5 高考臨場的基本建議（ 1）保持內緊外松的臨戰狀態（ 2）使用適應高考的答題策略（ 3）運用應對選拔的考試技術高考答題的技術提前進入角色 .迅速摸清“題情”.執行“三個循環”.做到“四先四后”.答題“一慢一快”.立足中下題目，

8、力爭高上水平立足一次成功，重視復查環節內緊外松 .0.6 高考填報志愿.升學優先.就業優先.專業優先.成本優先.地區優先.幾項兼顧.家長決定.1 解答高考數學題的必要基礎1-1 明確解題過程1-1-1 數學解題的一般程序（波利亞：怎樣解題）弄清題意主要是弄清條件是什么?結論是什么?各有幾個?如何建立條件與結論之間的邏輯聯系例 1 已知三個方程x2 mx 4 0,2x 2 m 1 x 16 0,2x 2mx 3m 10 0中至少有一個方程有實根，求實數m 的取值范圍解法 1 若正面求解，三個方程至少有一個方程有實根，將出現7 種可能，情況復雜，但其反面則只有一種情況：三個方程都沒有實根，問題變得

9、極為簡單有21 m 4 4 m 4 m 40,22 4 m 14 16 4 m 5 m 30,23 4m 4 3m 10 4 m 5 m 2 0,4 m 4,即3 m 5,2 m 5,得2 m 4.再求補集，得三個方程至少有一個方程有實根時實數m的取值范圍為(,2 U 4,).評析 這個解法思路是可行的，答案是正確的，但由“7種可能，情況復雜”，得出“正面求解，情況復雜”卻是認識的封閉和邏輯的混亂.“三個方程至少有一個方程有實根時實數m的取值范圍”就是三個集合A2Ai m: i m 4 4 0,2A2m: 2 4 m 14 16 0.2A3 m: 3 4m 4 3m 10 0的并集，其求解并不

10、比解法 1復雜.解法2 “三個方程至少有一個方程有實根”就是第一個方程有實根、或第二個方程有 實根、或第三個方程有實根，得2m的取值范圍為1m 4 4 0 m4 或 m 4,2或24 m14 160m汕m 5,或34m243m 100m2或 m 5,3求、的并集，可得三個方程至少有一個方程有實根時實數(,2 U 4,)評析 由上面的兩個解法可以看到(1)問題表征影響解題方向與解題長度.將三個方程至少有一個方程有實根 ”表征為7種可能：某個方程有實根 3種可能、某兩個方程有實根 3種可能、三個方程都有實根 1種 可能，接下來還有7種情況的合并，書寫量確實較大；解法 1只看到這一思路“情況復雜”，

11、 沒有看透復雜的原因，其提出的“反面求解”思路雖然可行，但未必就比“正面求解”的解 法2平坦；所以，我們從這三個思路中看到了問題表征對解題方向與解題長度的影響.(2)知識影響解題.其實，由集合運算的性質A1 I A2I A3 AUA2UA3知，解法1與解法2是等價的，解法1的作者要是調動起了這一知識，就不至于對“正面求解” 一概得出消極的結論.(3)反思有助于理解.如果對列舉“ 7種可能”的思路作反思就會看到，這種先分后合的步驟，其實已使得后 4種情況的書寫成為簡單重復或多余回路；同樣，如果對解法1作反思，也有機會發現“反面求解”其實有“正面求解”的等價思路.例2滿足條件1,2 UM 1,2,

12、3的所有集合M的個數是(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4審題：M是1,2,3的子集，3 M,得（1）正面：1,2,3中含有3的子集個數.（2）反面：1,2,3中不含3的子集個數.擬定計劃探索解題思路的發現過程，波利亞的建議是分兩步走：努力在已知與未知之間找出直接的聯系（模式識別等）；如果找不出直接的聯系， 就對原來的問題作出某些必要的變更或修改，引進輔助問題,為此，波利亞又進一步建議：看著未知數，回到定義去，重新表述問題，考慮相關問題，分 解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發念頭，努力變化問題.這實際上是闡述 和應用解題策略，并進行資源的提取與分配，基礎是“過去的經驗和已有的知

13、識”實現計劃，是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置.回顧“回顧”是最容易被忽視的階段.波利亞解題表中的“回顧”并不完全是常規解題中的“檢驗”（正確性的保證，解題的必要步驟），主要是有分析地領會所得的解法，它包含著把“問題及其解法”（認知）作為對象進行自覺反思的元認知意圖.在內容上，弄清用到了哪些知識？哪些方法？在組織上，弄清先用哪些知識（方法）？后用哪些知識（方法）？哪個與哪個作了配合？組成一個怎樣的邏輯結構？（臨場可能就來不及回顧了）1-1-2 數學解題的信息過程（1）有用捕捉.即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什么結論是什么？各有幾個？如何建立條件與結論之間的邏輯聯

14、系？捕捉有用的符號信息和形象信息.知識經驗是有用捕捉的基礎.（2）有關提取.即在“有用捕捉”的刺激下，通過聯想而從解題者頭腦中提取出解題 依據與解題方法.良好的認知構結和機智的策略選擇是連續提取、不斷捕捉的基礎.（3）有效組合.將上述兩組信息資源，加工配置成一個和諧的邏輯結構.邏輯思維能 力是有效組合的基礎.其基本要求應能說服自己、說服朋友、說服論敵.圖17例 3 1993. (23)設 f x4x2x 1 4x-2x+1(x> 0),貝U f 1 X解說 從題目中可得兩個信息:(1)是f x表達式;(2)是反函數f 1 x的自變量的取值為 0.從記憶儲存中提取函數與反函數的關系作為解題

15、的依據：f 1(0) x f(x) 0,0.再從“原課本P60例1”的回憶中，得出指數方程的解 x 1 ,再一次應用函數與反函數的關系：f(1) 0 f 1(0) 1.解題的信息過程如下圖，有 5條信息組成的一個和諧的邏輯結構:從題意 中捕捉 有用信 息131-1-3 數學解題的心理機制解題的心理過程是在問題的條件及結論的啟發下，激活記憶網絡中的一些知識點，然后沿接 線向外擴散，依次激活新的有關知識，同時，要對被激活的知識進行篩選、組織、評價、再認識 和轉換，使之協調起來，直到條件與結論之間的線索接通，建立起邏輯演繹關系.(擴散一一激活)1-2 夯實解題基礎冒著過于簡單化的風險，解題可以理解為

16、“把知識內容連接成一個邏輯鏈條”，因此，解題首先要有知識基礎和組織知識內容的思維能力，同時在調動和配置知識內容時還需要經驗與良好的心理所以， 盡管解題的成功取決于我們尚未徹底弄清的多種因素，但最基本的應有： 解題的知識因素，解題的能力因素，解題的經驗因素和解題的情感因素，這也就是我們常說的解題基本功值得注意的是，解題不僅是知識的使用而且也是知識的理解，不僅是能力的運用而且也是能力的培養，不僅是經驗的呈現而且也是經驗的積累，不僅是情感的表現而且也是情感的養成 一句話，解題不僅僅是基本功的簡單體現，而且更是基本功的繼續學習（庸者重在輸出，智者重在輸入），同樣是“天天畫蛋”，有的人“熟而生厭”、 “

17、熟而生笨”，而達芬奇卻畫出個國際大師1-2-1 解題的知識因素（認知結構）人的思維依賴于必要的知識和經驗，數學知識正是數學解題思維活動的出發點與憑借豐富的知識并加以優化的結構能為題意的本質理解與思路的迅速尋找創造成功的條件既然，解題就是把知識內容連接成一個邏輯鏈條，那么，沒有知識內容那來的知識邏輯鏈！解題研究的一代宗師波利亞說過：“ 貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本” 每一個希望提高解題效率、獲得解題成功的人，都必須下決心，在“知識豐富”與“結構良好”兩方面花大力氣，所以我們建議在第一階段復習要做到“四過關”：能準確理解書中的任一概念；能獨立證明書中的每一定理；能熟練求解書中

18、的所有例題；能歷數書中各單元的作業類型 .測試 （形成良好的認知結構，思維路線圖）例4-1閉上眼睛，你能回憶幾條數學定理，說出幾個數學名詞？越多越好！例4-2當我說“函數”時，你能想起相關的多少個概念和定理？越多越好！例4-3說出一條會證的定理。例4-4說出一道會做的題目。對于學好數學來說，記住知識還不是最難的（連記都不想記談不上學好），還要通過解題去深入理解、疏通聯系、優化結構所以， 有人說： 數學不是教會的，而是學會或做會的1-2-2 解題的能力因素（思維能力）思維是人腦對客觀現實概括的和間接的反映數學解題中既有邏輯思維又有非邏輯思維，其主要成分是3 種基本的數學能力：運算能力邏輯思維能力

19、空間想象能力。核心是能否掌握正確的思維方法，并表現于發現問題、分析問題、解決問題的敏稅、洞察力與整體把握其基本要求包括：（1）掌握數學中各種常用的思維方法.（如觀察、試驗、歸納、演繹、類比、猜想、分析、綜合、抽象、概括等）（2）掌握科學的解題程序.（如弄清題意、擬定計劃、執行計劃、回顧）（3）掌握解題的基本策略，能“因題制宜”地選擇對口的解題思路，使用有效的解題方 法、調動精明的解題技巧.（4）具有敏銳的直覺.應該明白，我們的數學解題活動是在縱橫交錯的數學關系中進行的，在這個過程中，我們從一種可能性過渡到另一種可能性時，并非對每一個數學細節都洞察無遺，并非總能借助于“三段論”的橋梁，而是在短時

20、間內朦朧地插上幻想的翅膀、直接 飛翔到最近的可能性上，從而達到對某種數學對象的本質領悟.例5方程未知數范圍擴大是方程產生增根的（）.（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）既不充分也不必要條件（D）充分必要條件講解 這道題目不考具體的解方程知識， 而是以方程為載體考思維能力， 包括構造反例 的能力.據2008年9月高一學生64人的測試，四個選項都有人選，比例最大的是（ B）必 要而不充分條件：ABCD未選15 人(0.23)21 人(0. 33)19 人(0. 29)7)<(0.11)2 人(0. 03)事實上，對方程 ，X10平方，方程未知數范圍擴大但沒有增根.方程未知數范圍

21、擴大不是方程產生增根的充分條件.兩邊乘以x 2 ,方程未知數范圍沒有擴大，但方程x 2 JXH 0產生增根x 2.方程未知數范圍擴大不是方程產生增根的必要條件.所以，正確答案應選（C）,但正確率只有 0. 29.而選（B）則是學生中的傾向性錯覺.這種 錯覺有的來自學生自身，有的來自教師的影響.1-2-3解題的經驗因素 （經驗題感）解題具有實踐性與探索性的特征，基礎知識要通過解題實踐來消化，思維素質要通過解題實踐來優化，解題方法要通過解題實踐來強化.在解題實踐中，既會有成功又會有失敗， 這兩方面的積累，都能形成有長久保留價值或借鑒作用的經驗.（1）解題經驗所謂解題經驗，就是某些數學知識、某些解題

22、方法與某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也向我們從反面提供有效的有序組合.成功經驗所獲得的有序組合， 就好像是建筑上的預制構件（或稱為思維組塊），遇到合適的場合，可以原封不動地把它用上（模式識別）. 一個人解題所做的腦力工作就在于回憶起經驗中用得上的東西，并且和他 的解題思維聯系起來.弗里德曼在怎樣學會解數學題（P.73）中認為“如果我們著手解答一道習題，那么,第一件事就想知道： 這是道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？換句話說，就是需要識別給定習題的類型.”這就需要平時積累經驗與類型.怎么積累呢？弗里德曼在“致讀者” 中分析學生解了大量的題但還“不開竅”時指出：“這些學生沒

23、有在應有的程度上分析所解的習題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個答案”.這就指出了一個途徑：通過解題過程的分析來積累經驗與類型.波利亞也說：“如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經解決了的問 題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征”（數學的發現序言）.解題中，“一個好念頭的基礎是過去的經驗和已有的知識.”（怎樣解題 P.9）(2 )題感解題經驗的積累，有利于解題念頭的誘發，有助于直覺性題感的形成.題感指的是人們 對問題的總體性的感受，它是思維定勢正遷移的一種潛在表現，實質是一種數學觀念、數學意識，常體現為解題中的整體把握和成功思路的預感、預測與預見.如

24、像學外語的“語感”，學音樂的“樂感” .解題經驗就好像是建筑上的預制構件(或稱為思維組塊)，遇到合適的場合，可以原封不動地把它用上(模式識別).解題所做的腦力工作就在于回憶他的經驗中用得上的東西， 并且和他的解題思維聯系起來.經驗題感的一個重要構成是美感，熟諳數學美，就能以美啟真、以美尋真，能夠從題意中領悟到審美感受，從而隨之產生解題的意向.(3)經驗積累的基本途徑中學生的解題積累， 基本上就是課本上的學習積累，因此，對課本學習內容進行總結歸類是積累經驗的一個基本途徑；分析解題過程是又一個積累經驗的重要途徑.小經驗1:總結每一章的作業，弄清一共有幾個主要類型，每一類型各有幾種解決的方 法.小經

25、驗2:分析解題過程，揭示問題的深層結構.例 6 如果 x & 1 y Jy2 11 ,則 x y 0.分析 1 由 x &1 y Jy11 x Vx2 1Jy2 1 y.記f x&_1 x問題轉化為f x f y x y.,只需f x的嚴格單調“ f x的嚴格單調”問題的深層結構.分析2由x &1 y jy11 ,有ln xx21lnyy210In x . x2 1 In y y2 1Inx21xIny21y記f x In xMx2 1 ,問題轉化為f x f y x y.只需f x的嚴格單調證明1 由x &1 y &11 ,有7x21 xvy1

26、 y,相減2 x y 0.評析 實質是證f x 尿1 x的單調性，用了兩次 vX21 x 3_1 y , 我們用差異分析法，只需消去 Jx2 1 ,代替變形過程.證明 2 由 x & _1 y Jy 1 1 ,有&_1 x 8_1 y,xx 1 x Ty21 y,相減2 2x 2y x y 0.1-2-4 解題的非智力因素 （情感態度）這里主要是指良好的心理素質，如動機、興趣、抱負、態度、品德、意志等.這些非智力因素對于解題的作用，與它對于發明發現的作用是一樣的.華羅庚教授說：“聰明在于學習、天才在于積累.” 1995年5月，在中國數學會 60周年年會上，筆者請國際數學大師陳

27、省身教授談學數學的體會，大師胸有成竹地說：首先是用功，不用功什么也談不上. 我們說,學生學習數學只有通過自身的情感體驗，樹立堅定的信心，才能是成功的.波利亞也說：“認為解題純粹是一種智能活動是錯誤的；決心與情緒所起的作用很重要.他強調說：“教學生解題是意志的教育.當學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展， 學會了等待主要的念頭， 學會了當主要念頭出現 后全力以赴.如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了. ”（怎樣解題P.92）筆者在引述波利亞的這段話時常常補充說：如果同學們在我的課程中，不能嘗盡為求解而

28、奮斗的喜怒哀樂，那么，你們最好勸我去干點別的營生，別在這里誤人子弟了.良好的心理素質：動機、興趣、態度、品德、意志等 例7已知a,b,c為互不相等的實數，且工一,求x y z.a b b c c a講解這是一個典型的題目，1951年時曾做過高考題，由于直接對三個比例式用等比定理會出現分母為 0的問題x y za b b c c ax y z所以，有一個流行的說法，此題不能用等比定理.我的學生也當老師的時候，人們還是這樣說.最關鍵的步驟：我的老師當學生的時候人們這樣說，到了設比例系數k是一個經典的處理,并被認為是a b b c c a解法則有0.反思分析分析這個解題過程我們看到三個步驟（解題過程

29、的結構分析）二用同一c aa,b, c有關第1步，引進參數k ,把三個外形不同而比值相等的代數式,一a b b c個符號k來表示，可以有效防止“形異”對“值同”的干擾.第2步，把x, y, z與a,b,c分離，以便于計算 x y z的值.第3步，計算x y z的值，這是實質性的運算，其最基本的想法是轉化為式的計算，關鍵步驟是第式.根據這個分析，設比例系數 k的作用有兩個：第一，有效防止“形異”對“值同”的干擾；第二，把x,y,z與a,b,c分離以便于計算x y z的值.但這都只是輔助步驟，前兩步 并未開始x,y,z的求和，抓住實質性的第 3步提出問題:（1）（正面思考）有與 k功能類似的替代式

30、嗎？（2）（反面思考）不用 k還能計算x y z嗎?回應1取代k得如果對x y,a b b c等值看得很清楚，那就可以把第式直接代入,解法2x .x y z a ba bx a b b c a by . z- b c c ab c c ac a 0.回應2如果式中的“形異”對“值同”的干擾還比較大，想不到作這樣的變形，看17不清當中的公因式.那可以直接用一來表示k,有c a解法3由已知有x z a b ,c az ,y b c ,c a相加得 x y z z a b z b c z- c a c a c a c az a b b c c a 0. a b這樣，我們就有了不增設參數k的2個解法，

31、只要作解題反思，人人都能做到.但是，反思還沒有結束.反思再深入 至少還可以再指出兩點：結論也是已知信息，障礙也是隱含條件.（1）結論也是已知信息.我們還浪費了一個信息，就是當我們分析解題過程時，結論已經成為了已知信息：x y z 0,即x yz.這就如同摸索在黑房子里拉開了電燈，原來我們只須證式（當初并不知道），這用等比定理是可以做到的.解法4對已知式的前兩項用等比定理，有Ja b b c c a即上/J,c a c a得x y z,得x y z 0 .原來，在我們的心里有一個誤區（涉及解題的情感態度），對三項連比式用等比定理時, 會產生分母為零，就嚇得兩項都不敢用等比定理了. 我們說，用比例

32、的性質來處理比例問題, 更接近問題的本質（也使得設比值成為多余）（2）障礙也是隱含條件.讓我們再來看、中用等比定理時產生分母為0的問題x y za b b c c ax y za b b c c a這時候的“分母為o”構成了我們解題的一個障礙，但在上述的所有解法中又都用到了“分母為0”a b b c c a 0,0）11 式這是所以，與其說式給我們帶來了麻煩，不如說式顯化了題目的一個隱含條件一個積極的收獲，當我們對尚未成功的式“視而不見”、而把目光同時注視、M式時，式讓我們看到了兩條直線重合：12xX yY z 0abX b c Y c a 0，13而式告訴我們直線13通過點1,1 ,因而直線

33、 也通過點1,1，得xyz 0 (可記為解法5)1-3 防止解題錯誤有一種簡單化的認識，以為錯誤都是知識不過關造成的，其實， 解題錯誤的類型不只一個，在知識過關的情況下也會出現差錯既然成功的解題有知識因素，能力因素，經驗因素和情感因素，那么不成功或失敗的解題也會與這些因素相關，我們總結為：知識性錯誤， 邏輯性錯誤，策略性錯誤，心理性錯誤13.1 知識性錯誤知識性錯誤主要指由于數學知識上的缺陷所造成的錯誤如誤解題意、概念不清、記錯法則、用錯定理，不顧范圍使用方法等核心是所涉及的內容是否符合數學事實例 8 能與數軸上的點構成一一對應的數集是() (單項選擇題)(A) 整數集(B) 有理數集(C)

34、無理數集(D) 實數集解 因為實數與數軸上的點構成一一對應，所以選(D ) 評析 這正是命題者的預設答案，但是命題者忘了，無理數集與實數集之間存在一一對應關系，這是無窮集合的特性：本身可以與其真子集一一對應(盡管中學生不太清楚這一點)，所以，無理數集也能與數軸上的點構成一一對應，選擇(C), (D)都成立.這樣一來，題目又與單項選擇題 “有且只有一項正確”矛盾 在這里既有錯解又有錯題，既有知識缺陷又有邏輯矛盾，但最根本的還是知識問題，由知識性錯誤導致命題的邏輯性錯誤1.3.2 邏輯性錯誤邏輯性錯誤主要指由于違反邏輯規則所產生的推理上或論證上的錯誤如虛假論據，不能推出，偷換概念，循環論證等，常常

35、表現為四種命題的混淆，充要條件的錯亂，反證法反設不真等核心是所進行的推理論證是否符合邏輯規則知識性錯誤與邏輯性錯誤既有聯系又有區別(1) 知識性錯誤與邏輯性錯誤有聯系由于數學知識與邏輯規則常常是相依共存的，從廣義上說，我們也不能把邏輯知識排除在數學知識之外，所以， 邏輯性錯誤與知識性錯誤常是同時存在的，從哪個角度進行分析取決于比重的大小與教學的需要在上面的例子中我們已經看到，當我們說它有知識性錯誤時并不排除它也有邏輯性錯誤；同樣， 當我們說它有邏輯性錯誤時也不排除它還有知識性錯誤(2) 知識性錯誤與邏輯性錯誤又有區別知識性錯誤主要指涉及的命題是否符合事實( 是否符合定義、法則、定理等) ，核心

36、是命題的真假性；邏輯性錯誤主要指所進行的推理論證是否符合邏輯規則，核心是推理論證的有效性.雖然，數學命題的事實真假性與推理論證的邏輯有效性是有聯系的，但是數學畢竟不是邏輯，數學畢竟比邏輯大得多， 我們依然應該在知識盲點的基本位置和主要趨勢上區分 知識性錯誤與邏輯性錯誤.例9 在四邊形ABCD中，AB大于其余三邊， BC小于其余三邊，則 BAD, BCD的關系為（）.（A）BADBCD（B） BADBCD（C）BADBCD（D）不能確定圖4解法1 如圖4,聯結BD,在BD的同側作 VBC1D VDCB , 則 BC1D BCD, C1D BC , C1B CD ,且 C1D 是四邊形 ABCiD

37、中的最短邊， AB是四邊形 ABCiD中的最短邊.連 ACi , 在VABCi中，由AB為四邊形的最長邊，有AB CiBBACiBCiA.在VACiD中，由CiD為四邊形的最短邊，有AD CiDDACiDCiA .+得BAD BCiD BCD .選（A）.評析 對照圖4,反復檢查也找不到任何知識上的問題，但是，這個解法默認了四邊形 ABCiD為凸四邊形，因而、式 相加，得出 BAD小于 BCiD ,若ABCiD為凹四邊形（如 圖5）,便會出現、式相減，得 BAD與 BCiD無法確定 大小.解法2如圖6,取一個平行四邊形 ABCD ,使VCBD為等腰直角三角形，作VCBD的外接圓。，以D為圓心、

38、以DC為半徑，畫弧交 AB延長線于E,連DE交eO于C1，交BC于圖5C2,又在線段CiE內取點C3,連BCi,BC3,則在四邊形 ABCD i i,2,3中，AB大于其余三邊， BCi小于其余三邊，有BADBC2D ,BADBCiD ,BADBC3D，選（D）.評析 解法i “默認四邊形 ABGD為凸四邊形”，得出 了一個假命題，有知識性錯誤，對四邊形分類不全又有邏輯 性錯誤，而“默認”本身還可能有心理原因，但從錯誤的基本位置上看，主要還是對四邊形分類不全造成的，所找出的反例主要是考慮了四邊形的多種 情況.i. 3.3 策略性錯誤這主要指由于解題方向上的偏差，造成思維受阻或解題長度過大.對于

39、考試而言，即 使做對了，若費時費事，也會造成潛在丟份或隱含失分，存在策略性錯誤.在解題探求中, 思維受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索階段的策略性錯誤是很難完全消除的.例 i0sini5osin75o 的值是.（i992年數學高考全國卷理科第（20）題）思路i本來題目很簡單，也有課本的現成背景，用一次誘導公式、一次倍角公式、次特殊角的函數值，一共 3個知識點便可得出答案原式 sin150 cos15o （誘導公式）-sin 30o （倍角公式）1 一，一一 一.（特殊角的函數值）4一 1填.但是，有的考生卻用了如下解法：4思路2 原式1 cos30osin(45o30o)(sin 450

40、cos30ocos45o sin30o)19（廄）也於8至此，就再也算不下去了，應該說，解法的每一步運算都沒有知識性錯誤，但從整體 上看，有解題方向調控上的策略性錯誤.第一，使用的基礎知識過多、 書寫的解題長度過大， 會導致考試的“潛在丟分”或“隱 含失分”.第二，根式運算還要繼續化簡為最終結果：證明 （而 歷V2 "1 ,這是一種84典型的“會而不對、對而不全”.1. 3.4 心理性錯誤這主要指解題主體雖然具備了解決問題的必要知識與技能，但由于某些心理原因而產生的解題錯誤.如順序心理、滯留心理、潛在假設，以及看錯題、抄錯題、書寫丟三落四等.654326例 11 設a6xa5xa4x

41、a3xa2xa1xa03x 1 ,求 a6a5a4+a3a2a1a。.（1985年高考數學理科第題）講解將已知式與求值式逐項對齊，并進行差異分析6a6x5432a5xa4xa3xa2xa1x a0a6a5a4a3a2a1a063x 1?可見，已知中的每一項都有字母x,結論中的每一項都沒有字母 x. “沒有字母x”是什么意思？可以理解為每一項的字母x都等于1： x6 1,x5 1,x4 1,x3 1,x2 1,x(消除差異)，把x 1代人已知式，得a6 a5 a a3 a?a a。說明 在差異分析觀點之下，取值 x 1就不是一個妙手偶得的特殊技巧了，而是一個 策略思想的具體實施.并且，這一經驗積

42、累，又與“特殊化”的策略思想相通，可以用來處 理很多數學問題，比如下面幾道類似而又有變通的高考題(化歸為往年的高考題)：例 11-1 已知(1 2x)7 a0 a1xa2x2L a7x7,那么 a1 a2 La7 (1989年高考數學第(16)題)解設f x (1 2x)7,則a1a2 L a7f 1 f 0 (1 2)7 12.填 2.說明 我們在閱卷中發現，相當一部分考生令x 1得答案為 1,其實得到的是aoa1a2而所求的值，應再減去a01,從而21(1999年局考數學理科第(8)解法1 設f x (2xa a2 a4)2=a0 a2 a4f 1 f 1222=a°aia222

43、a3 a42a0a2 2a2a42a2a42a1a3a7究其原因，是考生一見題型很熟悉(如課本相關習題中見過)，沒有認真看清題目的小變化，就匆匆作答，結果“會而不對” .例 2-19-2 若(2xV3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,則(a0a2a4)2(a1、2a3)的值為()(A) 1(B) 1(C) 0(D) 2題)V3)4,則2a a3a a3 a。 a2 a a a3(23)4( 2、3)4(4 3)4 1 .選(A).解法 2 (a0 a2 a4)2 (a1 a3)2至此，就再也算不下去了，應該說，解法的每一步運算都沒有知識性錯誤，但從整體上看，有解題方向調控上的策略性錯誤1

44、.3. 5 突破一個“老大難”高考閱卷啟示我們，許多中上水平考生常在“會而不對、 對而不全”上拉開錄取與落榜的距離 . 這是一個“老大難”問題 .（ 1） 會而不對. 有的考生，拿到題目不是束手無策，而是在正確的思路上，或考慮不周、或推理不嚴、或書寫不準，最后答案是錯的，這叫“會而不對”（2）對而不全另一些考生，思路大體正確，最終結論也出來了，但丟三落四，或缺欠重大步驟，中間某一邏輯點過不去；或遺漏某一特殊情況、討論不夠完備；或潛在假設、或以偏概全，這叫“對而不全”1-4 運用答題策略1-4-1 分段得分的基本認識.（ 1）分段得分的法定依據是高考“分段評分”.（ 2）分段得分的基本內容是防止

45、“分段扣分”，爭取“分段給分”（ 3）分段得分的技術基礎是解題策略.（ 4）分段得分的總體功能是：進可全題解決，退可分段得分.1-4-2 分段得分的主要技術1）分解分步缺步解答2）引理思想跳步解答3）以退求進退步解答4）正難則反倒步解答5）掃清外圍輔助解答(2) 解答高考數學題的主要建議高考題的特殊性：一道數學題成為高考題后，將具有不同于平時作業題的特性，如能力的代表性，分數的選拔性，時間的限定性，評分的階段性 .需要我們迅速解決兩個基本問題：從何處下手？向何方前進？2-1 模式識別2-1-1 模式識別的認識（1） 基本含義.在學習數學的過程中，所積累的知識和經驗經過加工會得出一些有長久保存價

46、值或基本重要性的典型模式與重要類型. 當我們遇到一個新問題時，首先辨認它屬于我們已經掌握的哪個基本模式，然后檢索出相應的解題方法來解決，這是我們在數學解題中的基本思考，也是解高考題的重要策略.（ 2）怎樣積累模式.總結課本內容，歸納基本模式學完一章節（或跨章節）后，總結一共有幾個題目類型，每個題型有哪些解決方法？分析解題過程，提煉深層結構可以重點分析最近三五年的高考綜合題，揭示“形異而質同”的深層結構(3) 模式識別在求解高考題中的具體化：化歸為課本已解決過的問題 .化歸為往屆高考題 .拿到一道高考題，在理解題意后，立即思考問題屬于哪一學科、哪一章節？與這一章節的哪個類型比較接近？解決這個類型

47、有哪些方法？哪個方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進的方向也大體確定了.(4) 模式識別的層次.直接用，轉化用，分解組合用 .(5) 模式識別解高考題的有效性因為課本是學生知識資源的基本來源，也是學生解題體驗的主要引導離開了課本，學生還能從哪里找到解題依據、解題方法、解題體驗？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課本”這個根本課本是高考命題的基本依據有的試題直接取自教材，或為原題、或為類題有的試題是課本概念、例題、習題的改編有的試題是教材中的幾個題目、幾種方法的串聯、并聯、綜合與開拓少量難題也是按照課本內容設計的，在綜合性、靈活性上提出較高要求按照高考怎樣出題來處

48、理高考怎樣解題應是順理成章的這是一種行之有效解題策略這種做法體現了化歸思想和模式識別的解題策略，對50%H80%勺高考題都是有效的.所以，拿到一道高考題，在理解題意后，應立即思考問題屬于哪一學科、哪一章節？與這一章節的哪個類型比較接近？解決這個類型有哪些方法？哪個方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進的方向也大體確定了就是說，從辨認題型模式入手，向著提取相應方法、使用相應方法解題的方向前進2-2 差異分析(1) 基本含義.如果我們把題目的條件與結論之間的差異稱為目標差，那么解題的實質就在于設計一個使目標不斷減少的過程. 通過尋找目標差，不斷減少目標差而完成解題的思考方法，叫做差異

49、分析法.(2) 差異分析法的使用.通過題目中出現的元素，元素間所進行的運算，以及元素之間所存在的關系去找出差異.對于所找出的目標差，要運用基礎知識和基本方法立即作出減少目標差的反應減少目標差的調節要一次又一次地發揮作用，使得目標差逐漸減少、步步積累，最終完成解題.運用差異分析法可以簡捷回答解題中的兩個基本問題，從何處下手？向何方前進？就從找目標差開始，就向著目標差減少的方向前進.2-3 層次解決人們在創造性解決問題的過程中，思維是按層次展開的，先粗后細，先寬或窄，先對問題作一個粗略的思考，然后逐步深入到實質與細節，或者說，先作大范圍的搜索，然后再逐步收縮包圍圈. 通常分成三個層次，層層深入地解

50、決.（1） 1） 一般性解決：即在策略水平上的解決，以明確解題的總體方向. 這是對思考作定向調控 .在這一層面上，根據中學階段的實際，自覺應用函數觀點和方程觀點是十分有益的（2） 功能性解決：即在數學方法水平上的解決, 以確定具有解決功能的解題手段, 這是對問題解決作方法選擇.（3） 特殊性解決. 即在數學技能水平上的解決, 以進一步縮小功能性解決的途徑, 明確運算程序或推理步驟. 這是對技巧作實際完成.2-4 數形結合1）基本含義又用圖形的直觀性質來說明代數在解題中，既用數的抽象性質來說明幾何形象的事實，抽象的事實，在數與形的雙向結合上尋找解題思路.（ 2）數形結合的途徑通過坐標系轉化構造（

51、 3）數形結合的原則等價性原則雙向性原則簡單性原則2-5 案例分析( 1)案例 1 感悟高考解題的基本思路654326例 1-1 設a6xa5xa4xa3xa2xa1xa03x 1 ，求a6a5a4 +a3a2a1a0 1985 年高考數學理科第二題講解 將已知式與求值式逐項對齊，并進行差異分析可見，消除差異應同時取65432a6xa5xa4xa3xa2xa1x a0a6a5a4a3a2a1a065432x 1,x1,x1,x1,xa6 a5 a4 a3 a2 a1 a063x 1，?1,x 1, 所以取x 1代人已知式，63 1 6 =3241評析 在差異分析觀點之下，取值x 1 就不是一個

52、妙手偶得的特殊技巧了，而是一個策略思想的具體實施并且，這一經驗積累，又與“特殊化”相通，可以用來處理很多數學問題，比如下面幾道類似的高考題：例 1-2 已知 (1 2x)7a0 a1xa2x2La7x7 那么a1a2L a7a4x4,則（a。a2 a4）2 （a11989年高考數學第（16）題（4分）例 1-3 若（2x J3）4 a0 a1x a2x2 a3x3、2a3）的值為（）（D） 2a2O04x2004 （x R），則（a。a1）（a。（A） 1（B）1（C） 01999年高考數學理科第（8）題例 1-4 若（1 2x）2°°4 ao a1x a2x2 La2） （a。a3）L（a。22004） -2004年天津理科第（15）題（4分）例 1-5 已知（1 x）5a。axa2x2a3x3a4x4a5x5,則（a0a