1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系 培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)（含答案）含答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1 .在正方形ABCD中，對(duì)角線 AC, BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn) B）,1 一、 小，、一/BPE= /ACB, PE交BO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF，P匕垂足為F,交AC于點(diǎn)G.2（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）.求證： BO8 4POE;（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想： BF=,并結(jié)合圖2證明你的猜想；PE 一BF（3）把正方形 ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖 3）,若/ACB=4,求的PE值.（用含a的式子表示）ADAD A口圖1圖2圖3BF 1BF 1【答案】（1）證明見解析（2） 空

2、1 （3） 空 1tanPE 2PE 2【解析】解：(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，P與C重合， . OB="OP" , / BOC=Z BOG=90 :. PFXBG , / PFB=90, ° . ./GBO=90 1BGO, Z EPO=90 ZBGO.，/GBO=/ EPO .ABOGAPOE (AAS).BF 1(2)-.證明如下：PE 2如圖，過(guò) P作PM/AC交BG于M ,交BO于N,/J/ PNE=Z BOC=90°, / BPN=Z OCB. / OBC=Z OCB =4巴/ NBP=Z NPB.NB=NP. / MBN=90&

3、#176; / BMN , / NPE=90°Z BMN ,/ MBN= / NPE. .BMNAPEN (ASA) . . . BM=PE.,1 ， 一 /, / BPE= / ACB, / BPN=Z ACB, . / BPF=Z MPF.2 . PF± BM,/ BFP土 MFP=900.又PF=PFABPFAMPF (ASA)BF="MF",即 BF=1 BM2.BF=-PE,2即三PE(3)如圖，過(guò)P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,1由(2)同理可得 BF=-BM , /MBN=/EPN.21.1 / BNM=Z PNE=9C0, .

4、. BMN( PEN.BM BNPE PN2BF=tan PEBNBM ,在 RtBNP 中 tan = = tanPN 'PEBF 1 , = tanPE 2(1)由正方形的性質(zhì)可由 AAS證得BO8 4POE(2)過(guò)P作PM/AC交BG于M ,交BO于N,通過(guò) ASA證明 BMN PEN得到BF 1，、人BM=PE,通過(guò) ASA證明BPFMPF得到BF=MF,即可得出的結(jié)論.PE 21(3)過(guò)P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,同(2)證得BF=- BM,2BM BN 一一 BN 一/ MBN=/EPN,從而可證得 BMNspen,由石日 石Q和Rt BNP中tan二百即/日

5、BF 1可求得=-tan .PE 22.如圖，在 4ABC中，/ABC=/ ACB,以AC為直徑的0O分別交 AB> BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,且 / CAB=2/ BCP(1)求證：直線CP是。的切線.(2)若 BC=2/ sin/BCP=5 ,求點(diǎn) B 到 AC 的距離.(3)在第(2)的條件下，求 4ACP的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2) 4 (3) 20【解析】試題分析：(1)利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，2/CAN=/ CAB,/ACP=90 即可；(2)利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可.試題解析：(1) - ZABC=Z ACB,.AB=AC,.AC為。O的直

6、徑，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2A BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；點(diǎn)D在。O上，直線CP是OO的切線；(2)如圖，作BF,AC/CAB=2/ BCP判斷出P. AB=AC, /ANC=90；111n L丐.CN=CBA , Z BCP=Z CAN, sin/BCP=：0sin / CAN= -1 ,CN _就=虧1 .AC=5,2 .AB=AC=5,設(shè) AF=x,則 CF=5 x,在 RtABF 中，BF?=ab2-AF2=25-x2,在 RtC

7、BF中，BF2=BC2C聲=2O (5x) 2,.-25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,3 .BF2=25 - 32=16,BF=4,即點(diǎn)B到AC的距離為4.考點(diǎn)：切線的判定3.在 RtACB和 4AEF 中，Z ACB= Z AEF= 90°,若點(diǎn) P 是 BF 的中點(diǎn)，連接 PC, PE.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB, AC上，則結(jié)論：PC= PE成立(不要求證明).問(wèn)題探究：把圖1中的4AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若 不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述

8、結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成 立，請(qǐng)說(shuō)明理由；AC (3)記=k,當(dāng)k為何值時(shí)，CPE總是等邊三角形？(請(qǐng)直接寫出后的值，不必說(shuō)) BC【答案】1 PC PE成立 2 , PC PE成立 3當(dāng)k為二？時(shí)，VCPE總是等邊三 3角形【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn) P 作 PMCE 于點(diǎn) M,由 EF，AE, BOX AC,得到 EF/ MP/ CB,從而有PC=PEPD,先證PD=PE最后根據(jù)EM FP ，再根據(jù)點(diǎn) P是BF的中點(diǎn)，可得 EM=MC,據(jù)此得到MC PB(2)過(guò)點(diǎn)F作FD±AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接 DAF0 EAF,即可得出 AD=AE；再證

9、 DA彥 EAP,即可得出FD± AC, BC± AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根據(jù)點(diǎn) P是 BF 的中點(diǎn)，推得 PC=PD 再根據(jù)PD=PE即可得到結(jié)論.(3)因?yàn)镃PE總是等邊三角形，可得 ZCEP=60, /CAB=60;由/ ACB=90 ,求出/ CBA=30 最后根據(jù)-AC k , -AC- =tan30 ；求出當(dāng) CPE總是等邊三角形時(shí)，k的值是 BC BC多少即可.【詳解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：如圖 2,過(guò)點(diǎn) P 作 PMLCE于點(diǎn) M ,EF± AE, BC± AC, . . EF/ MP / CB,E

10、M FP，丁點(diǎn)P是BF的中點(diǎn),MC PB . EM=MC,又. PMCE, .PC=PE(2) PC=PEM立，理由如下:如圖3,過(guò)點(diǎn)F作FD, AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD, / Z DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, / DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF (AAS , .AD=AE,在 ADAP和 AEAP 中， . AD=AE, /DAP=/ EAP, AP=AP, .DAPAEAP (SA§ ,.PD=PE . FD± AC, BC± AC, PMXA

11、C, .FD/ BC/ PM,DM FP, , ,MC PB 點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)， -DM=MC,又 PMMC, .PC=PD,又. PD=PE，PC=PE(3)如圖4, . CPE總是等邊三角形,/ CEP=60,°/ CAB=60 ； / ACB=90 ；/ CBA=90 - / ACB=90 - 60 =30 ；ACBCk , =tan30 °BCk=tan30.當(dāng)k為Y3時(shí)，CPE總是等邊三角形.3【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的 判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.4.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四

12、邊形ABCD,其中/ BAC=45°, /ACD=30°,點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接 AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到 AD耳D'咬AC于F點(diǎn).若 AB=6%2cm.(1) AE的長(zhǎng)為cm；(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；(3)求點(diǎn)D'到BC的距離.【答案】(1) 4尸；(2) 12cm； (3) 3#-不cm【解析】 試題分析：(1)首先利用勾股定理得出 AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出 CD的長(zhǎng)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案: / BAC=45 ； / B=90 ； . AB=BC=62cm,，A

13、C=12cm.AC 12 Z ACD=30 ,° Z DAC=90 ,° AC=12cm,(cm).點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，AE=DC=V3cm.(2)首先得出AADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E, D'關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DD交AC于點(diǎn)P,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案.(3)連接 CD, BD,過(guò)點(diǎn)D'作D'吐BC于點(diǎn)G,進(jìn)而得出 ABDCBD ( SSS ,則 /D' BG=45D' G=GBS而利用勾股定理求出點(diǎn) D到BC邊的距離.試題解析：解：(1) 4VH(2) .RtADC 中，/ACD=30,/

14、ADC=60 ,.E為CD邊上的中點(diǎn)，DE=AEAADE為等邊三角形. 將AADE沿AE所在直線翻折得 AD'AAD'的等邊三角形， /AED' =6 0 / EAC=Z DAC- / EAD=30 / EFA=90, °即 AC所在的直線垂直平分線段 ED： 點(diǎn)E, D關(guān)于直線AC對(duì)稱.如答圖1,連接DD交AC于點(diǎn)P, 此日DP+E唯為最小，且 DP+EP=DD.12cm. ADE是等邊三角形，AD=AE=V3 ,. AC垂直平分線 ED； .AE=AD,' CE=CD,' ,.AE=EC .AD' =cDv，=.在 4ABD 和 C

15、BD 中，,AB = BC BDw=BDr U/y = CDr,AABDACBD（SSS . ./» BG =D BC=45 . . D' G=GB設(shè)D' G長(zhǎng)為xcm,則CG長(zhǎng)為&y? - *cm,在RtAGtD C中，由勾股定理得 式+32-幻二（3）, 解得：恒=%2-'、石，血=卬2 +收（不合題意舍去）.答圖2cm.考點(diǎn)：1 .翻折和單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4.等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)； 5.軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短線路問(wèn)題）；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.E是。上一點(diǎn)，C在AB的延長(zhǎng)線上，A

16、D，CE交CE的延長(zhǎng)5.如圖，AB是。的直徑， 線于點(diǎn)D,且AE平分/DAC.（1）求證：CD是。的切線;(2)若 AB= 6, /ABE= 60°,求 AD 的長(zhǎng).【答案】（1）詳見解析；（2） 92【解析】【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)得到 / OAE= / DAE,再利用半徑相等得 / AEO= / OAE,等量代 換即可推出OE/AD,即可解題，（2）根據(jù)30°的三角函數(shù)值分別在 RtAABE中，AE= AB cos30 ；在 RtA ADE 中，AD=cos30 1 AE可解題.【詳解】證明：如圖，連接 OE, . AE 平分 / DAC,/ OAE= / DA

17、E. .OA=OE,/ AEO= / OAE./ AEO= / DAE. .OE/ AD.,.DCAC, OEXDC.CD是。O的切線./ AEB= 90 ； / ABE= 60 :/ EAB= 30 ；在 RtMBE 中，AE=ABcos30 =6X直=3技2，在 RtA ADE 中,/ DAE= / BAE= 30°, .AD=cos30 乂【點(diǎn)睛】 本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應(yīng)用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)表示 出所求線段是解題關(guān)鍵.6 .如圖所示的是一個(gè)地球儀及它的平面圖，在平面圖中，點(diǎn)A、B分別為地球儀的南、北極點(diǎn)，直線AB與放置地球儀的平面交于點(diǎn) D,所夾

18、的角度約為 67°,半徑OC所在的直線 與放置它的平面垂直，垂足為點(diǎn) E, DE=15cm, AD=14cm.(1)求半徑 OA的長(zhǎng)(結(jié)果精確到 0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin67 ° =0,9£os67° =0.39 tan67 ° 2.36(2)求扇形BOC的面積(兀取3.14,結(jié)果精確到1cm)【答案】(1)半徑OA的長(zhǎng)約為24.5cm ； (2)扇形BOC的面積約為822cm2 .【解析】【分析】在RtODE中，DE=15, /ODE=67,根據(jù)/ODE的余弦值，即可求得 OD長(zhǎng)，減去 AD 即為OA.(2)用扇形面積公式即可求得【詳解】

19、在 RtODE 中，DE 15cm, ODE 67cos ODEDEDO，15039OA OD AD 38.46 14 24.5 cm ,答：半徑OA的長(zhǎng)約為24.5cm .(2) ODE 67 ,BOC 157 ，一S扇形BOC360157 3.14 24.5223602822 cm答：扇形BOC的面積約為822cm2 -【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，本題把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用三角函數(shù)中 余弦定義來(lái)解題是解題關(guān)鍵.7 .如圖，建筑物承7上有一旗桿MB,從與打。相距仞血的口處觀測(cè)旗桿頂部/的仰角為5°觀測(cè)旗桿底部E的仰角為45 求旗桿刊A的高度.(參考數(shù)據(jù)：=s0

20、.77cos50Q =0.64 , 150 ° = 1.19)A【答案】旗桿小目的高度約為76m.【解析】【分析】在RtBDC中，根據(jù)tan/BDC.求出BC,接著在 RtADC中，根據(jù)AC AB-BCtan/ADC/ =即可求出AB的長(zhǎng)度u tJ 'lr t¥【詳解】BC解:.在 RtBDC 中，tanZ BDC=1, . BC=CD= 40mAC AB + BCv 在 RtA ADC 中，tan / ADC=ZB+ 40tan50 = °=1.1940.AB 7.6m答：旗桿AB的高度約為7.6m.【點(diǎn)睛】 此題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用8.已知AB是。

21、的直徑，弦 CD± AB于H,過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn) E作。的切線交 AB的 延長(zhǎng)線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.(1)如圖1,求證：KE= GE;1(2)如圖 2,連接 CABG,若/FGB=/ACH,求證：CA/ FE；23(3)如圖3,在(2)的條件下，連接 CG交AB于點(diǎn)N,若sinE= , AK= 而，求CN5,的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析；(2) AEAD是等腰三角形.證明見解析；(3) 20.613【解析】試題分析：(1)連接OG,則由已知易得 /OGE=/ AHK=90,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,從而可 得/ KGE=/ AKH=Z EKG 這樣即可

22、得至U KE=GE(2)設(shè)/FGB=x,由AB是直徑可得/AGB=90,從而可得/ KGE=90-a，結(jié)合GE=KE可得1 ,ZEKG=90- a,這樣在 4GKE中可得/ E=2 a由/ FGB/ ACH可得/ ACH=2 a這樣可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF；(3)如下圖2,作NP，AC于P,AH 3由(2)可知 /ACH=/ E,由此可得 sinE=sinZ ACH=設(shè) AH=3a,可得 AC=5a,AC 5- C - CH 4, ,一八一一CH=4a,貝U tan Z CAH=由(2)中結(jié)論易得 / CAK玄EGKN EKG之AKC,從而可AH 3AH_一得 CK=A

23、C=5a 由此可得 HK=a, tan Z AKH= 3, AK=710 a,結(jié)合 AK=710 可得 a=1,HK貝 U AC=5;在四邊形 BGKH 中，由 /BHK=/ BKG=90 ,可得 ZABG+Z HKG=18 0,結(jié)合ZAKH+Z GKG=180 ,° / ACG=Z ABG 可得 / ACG之 AKH,在 RtAPN 中，由 tanZ CAH=4 EN ,可設(shè) PN=12b, AP=9b,由3 APtan/ACG=PN tan/AKH=3可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+CP13b =5,貝U可得 b=,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN

24、的長(zhǎng).試題解析：(1)如圖1,連接OG.EF切。于 G, OGXEF, / AGO+Z AGE=90 ； . CDXABT H,/ AHD=90 ；/ OAG=Z AKH=90 ；,.OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH, / EKG4 AKH, / EKG4 AGE, KE=GE(2)設(shè) / FGB=x ,. AB是直徑，/ AGB=90 ；/ AGE = Z EKG=90 - %/ E=180 - / AGE- / EKG=2，一 1，一 / FGB= ZACH,2/ ACH=2 %/ ACH=Z E,2 .CA/ FE.(3)作 NF)±AC于 P.3 /

25、ACH=Z E, AH 3 >-sin Z E=sinZ ACH=-,設(shè) AH=3a, AC=5a,AC 5CH 4貝"CH=JaC2CH 24a，tan / CAH= -AH 31. CA/ FE,/ cak=z age, / AGE=/AKH,/ CAK=Z AKH,AH,_ .AC=CK=5a HK=CK- CH=4a, tan / AKH=3, AK= JaH 2HK2 A0a， HK. AK= .10 ,.瓦a 樂(lè), - a=1. AC=5, / BHD=Z AGB=90 ； / BHD+/ AGB=180 ,°在四邊形 BGKH 中,/ BHD+Z HKG

26、+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+Z HKG=180 ； / AKH+Z HKG=180 ,°/ AKH=Z ABG, / ACN=Z ABG,/ AKH=Z ACN, tanZ AKH=tanZ ACN=3, . npxact p,/ APN=Z CPN=90 ；PN 4在 RtAPN 中，tan Z CAH= 一，設(shè) PN=12b,則 AP=9b,AP 3在 RtA CPN 中，tan / ACN=里=3CP '.CP=4b, .AC=AP+CP=13b .AC=5, .13b=5, b=,13一.k 一 20 CN=VPNCP2 =4710 b=一尺.1

27、39 .如圖，AB為。的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CG是。的弦/ PCM / ABC,CG±AB,垂足為D求證：PC是。的切線；(2)求證:PAPCADCD ；過(guò)點(diǎn)A作AE/ PC交。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,a ,3右 sin/ P=一,5CF= 5,求 BE的長(zhǎng).【答案】(1)見解析；(2) BE=12.【解析】【分析】(1)連接OC,由PC切O O于點(diǎn)C,得到OC, PC,于是得到/ PCA+/ OCA=90，由AB為。的直徑，得到 /ABC+/ OAC=90 ,°由于 OC=OA 證得/ OCA=/ OAC,于是得到結(jié)論；(2)由AE/ PC,得到/PCA=

28、/ CAF根據(jù)垂徑定理得到弧 AC=< AG,于是得到/ACF=/ ABC,由于/PCA=/ ABC,推出/ ACF=/ CAF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3CF=AF 在 RAFD 中，AF=5, sinZ FAD=-,求得 FD=3, AD=4, CD=8,在 ROCD 中，5設(shè)OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程 r2= (r-4) 2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB為.3 BE 3OO的直徑，得到 / AEB=90，在RtABE中，由sin/ EAD=-,得到=一，于是求得5 AB 5結(jié)論.【詳解】(1)證明：連接OC,PC切。O于點(diǎn)C,OCX PC,/ PCO=90

29、 ,°Z PCA+/ OCA=90 ；.AB為。的直徑，/ ACB=90 ；a A ABC+Z OAC=90 ；.OC=OA,Z OCA=Z OAC,Z PCA=Z ABC；(2)解：.AE/ PC,Z PCA=Z CAF,.ABXCGJ,:弧 AC=M AG,/ ACF=Z ABC, Z PCA=Z ABC,/ ACF=Z CAF,.CF=AF,.CF=5,.AF=5,AE/ PC,/ FAD=Z P,f 3. sin Z P=,5 .sin / FAD=3 ,5在 RAFD 中，AF=5, sin/3FADb，5.FD=3, AD=4,，CD=8, 在 RtOCD中，設(shè) OC=r

30、, .r2= (r-4) 2+82 , .AB=2r=20,.AB為。的直徑，BEAB/ AEB=90在 RtMBE 中,3. sin / EAD=， 5.AB=20,.BE=12.【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接 OC構(gòu)造直角三角形.10.已知 RtAABC, Z BAG= 90 °,點(diǎn) D是 BC 中點(diǎn)，AD= AC, BC= 4 J3 ,過(guò) A, D 兩點(diǎn)作OO,交AB于點(diǎn)E,(1)求弦AD的長(zhǎng)；(2)如圖1,當(dāng)圓心O在AB上且點(diǎn)M是。上一動(dòng)點(diǎn)，連接 DM交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)ON 等于多少時(shí)，三點(diǎn) D、E、M組成的三角形是等腰

31、三角形？(3)如圖2,當(dāng)圓心 O不在AB上且動(dòng)圓。與DB相交于點(diǎn) Q時(shí)，過(guò) D作DHLAB (垂 足為H)并交。于點(diǎn)P,問(wèn)：當(dāng)OO變動(dòng)時(shí)DP- DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值； 若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.1刻)I蚯【答案】(1) 2代(2)當(dāng)ON等于1或J3 - 1時(shí)，三點(diǎn)D、E M組成的三角形是等腰三角形(3)不變，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長(zhǎng)；(2)連DE、ME,易得當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰，根據(jù)垂徑定理得推論得 OE± DM,易得到 4ADC為等邊三角形，得 /CAD=60°,貝U / DAO=3

32、0° , / DON=6O ,然后 根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得DN=1AD=J3, ON= DN=1 -23當(dāng) MD=ME, DE 為底邊，作 DHAE,由于 AD=2 J3 / DAE=30 ,得到 DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1,又/M=/DAE=30, MD=ME,得到 / MDE=75,貝U / ADM=90 -75 =15°,可得到/DNO=45；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NH=DH=J3,則ON=J3-1;(3)連AP、AQ, DPI AB,彳導(dǎo)AC/ DP,則/ PDB=/ C=6CT,再根據(jù)

33、圓周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,則/PAQ=6C,° / CAQ=/ PAD,易證得AQ84APD,得到 DP=CQ貝U DP-DQ=CQ-DQ=CD而4ADC為等邊三角形， CD=AD=R3 ,即可得到 DP-DQ的 值.【詳解】解：(1)Z BAC= 90。，點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，BC= 4點(diǎn),.AD=1BC= 2石；2(2)連 DE、ME,如圖， DM>DE, 當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰，OEXDM,又 AD= AC,.ADC為等邊三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;1 在 RtADN 中，DN=

34、AD= 732 ''在 RtODN 中，ON=2DN=13 ， 當(dāng)ON等于1時(shí)，三點(diǎn)D、E M組成的三角形是等腰三角形；當(dāng)MD=ME, DE為底邊，如圖 3,作DHXAE,. AD=2 百，ZDAE= 30；.DH= 73,/DEA= 60 °, DE= 2, .ODE為等邊三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 °- 75 = 15 °,/ DNO= 45 ； NDH為等腰直角三角形，,-.nh=dh=6，ON= 73 - 1 ;綜上所述

35、，當(dāng)ON等于1或J3 - 1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形;(3)當(dāng)。O變動(dòng)時(shí)DP-DQ的值不變，DP - DQ= 273 .理由如下：連AP、AQ,如圖2,. / C= / CAA 60 ；而 DPI AB,2 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 °,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 °,Z CAQ= / PAD,3 . AC=AD, /AQC=/P,4 .AQCAAPD,.DP= CQ,5 .DP- DQ= CQ- DQ= CD-2 庭.：都J【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對(duì)的弦；在同圓和等圓中，相等的

36、弧所對(duì)的圓周角相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30。的直角三角形三邊的關(guān)系.11.在RtABC中，/ACB= 90 °, CD是AB邊的中線，DEL BC于E,連結(jié)CD,點(diǎn)P在射 線CB上（與B, C不重合）（1）如果 ZA= 30。，如圖1, /DCB等于多少度；如圖2,點(diǎn)P在線段CB上，連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段DF,連結(jié)BF,補(bǔ)全圖2猜想CP、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖3,若點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，且 /A= a （0°< “V 90°）,連結(jié)DP,將線段DP繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 a得到線段DF,連結(jié)BF,請(qǐng)直接寫出DE、BF、BP三者的數(shù)量關(guān)系 （不需證明）【答案】（1）/DCB= 60°. 結(jié)論：CP= BF.理由見解析；（2）結(jié)論：BF- BP= 2DE?tan ”理由見解析.【解析】【分析】(1) 根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，結(jié)合ZA=30°,只要證明4CDB是等邊三角形即可； 根據(jù)全等三角形的判定推出 4DC百DBF,根據(jù)全等的性質(zhì)得出 CP= BF,(2)求出 DC= DB = AD, DE/ AC,求出 Z FDB= Z CDP= 2a 匕 PDB, DP= DF,根據(jù)全等三 角形的判定