1、系的證明等問題提供了新的理論依據. 知識方法外，又不能囿于全等三角形, 本圖形、基本結論.(1)圖 1 中，乙4 = 180°-2/8,八年級數學競賽專題訓練16 等腰三角形的性質閱讀與思考等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質，這些性質為角度的“算、線段相等、直線位置關因此，在解與等腰三角形相關的問題時，除了要運用全等三角形 應善于利用等腰三角形的性質探求新的解題途徑，應熟悉以下基1 QH° _ / 4ZB = ZC = -_, ZDAC = 2ZB = 2ZC.2（2）圖2中，只要下述四個條件：A8 = AC；N1 = N2：CD = DB；AZXL8C中任意兩個成

2、立，就可以推出其余兩個成 立.例題與求解【例 1】如圖，在/IB。中，。在 AC 上，E 在 AB 上，且 A8=AC, BC=BD, AD=DE=BE, 則乙4=.（五城市聯賽試題）解題思路：圖中有很多相關的角，用NA的代數式表示這些角，建立關于NA的等式.【例2】如圖，在/MB。中，己知N8AC=90。，AB=AC.。為AC中點，AE_L5。于E,延長AE交 BC 于 F,求證：NADB=NCDF.（安徽省競賽試題）解題思路：NAD8與NCQE對應的三角形不全等，因此，需構造全等三角形，而在等腰三角形中, 作頂角的平分線或底邊上的高（中線）是一條常用的輔助線.【例3】如圖，在A3C中，AC

3、=BC, ZACB=90。是AC上一點，且AE垂直8。的延長線于£ 又AE=BD,求證：B。是NA8C的角平分線.2（北京市競賽試題）解題思路：NA8C的角平分線與AE邊上的高重合，故應作輔助線補全圖形，構造全等三角形、等 腰三角形.【例 4】如圖，在/XABC 中，N3AC=NBCA=44。，M 為ABC 內一點，使NMCA=300, ZMAC=16°, 求N8MC度數.（北京市競賽試題）解題思路：作等腰ABC的對稱軸（如圖1）,通過計算，證明全等三角形，又44。+16、60。；可以 A3為一邊，向點C所在的一側作等邊ABN,連結CM MM如圖2）；或以AC為一邊，向點3

4、所在的 一側作等邊A4CM連結BM（如圖3）.【例5】如圖，AA8C是邊長為1的等邊三角形，3DC是頂角N8OC=120°的等腰三角形，以。 為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交A8于M,交AC于N,連結MM形成一個三角形.求證：AMN 的周長等于2.（天津市競賽試題）解題思路：欲證AMN的周長等于2,只需證明MN=8M+CM 考慮用補短法證明.【例 6】如圖，/XABC 中，ZABC=46。是 5c 邊上一點，OC=AB, ND4B=21。，試確定NCA。 的度數.（北京市競賽試題）解題思路：解本題的關鍵是利用OC=AB這一條件.能力訓練A級1 .如果等腰三角形一腰上的高

5、另一腰的夾角為45°,那么這個等腰三角形的底角為.2 .如圖，己知NA=15°, AB=BC=CD=DE=EF,貝ijNFEM=.3 .如圖，在等邊ABC的AC, 5c邊上各取一點P、Q,使AP=C。，A。，8尸相交于點O,則 /BOQ=.4 .如圖，在ABC 中，N8CA=90°, NBAC=60。, BC=4,在 CA 的延長線取點。，使 AO=AB,則 。，8兩點之間的距離是.B. 900-ZA5 .如圖，在中，AB=AC,。為 BC 上一點，BF=CD, CE=BD,那么NEOE 等于（）A. 90°- ZA 2C. 180°-ZAD.

6、 45°- - ZA26 .如圖，在aABC 中，NAC8=90°, AC=AE. BC=BF,則NECF=()（安徽省競賽試題）第5題圖第6題圖7 . 4ABC的一個內角的大小是40。，且NA=N&那么NC的外角的大小是（）A. 140° B. 80°或 100° C. 100°或 140。 D. 80。或 1400（“希望杯”邀請賽試題）8 .三角形三邊長。，b, c滿足！ + 1 = !一，則三角形一定是（）a b c a-b + cA.等邊三角形B.以。為底邊的等腰三角形C.以c為底邊的等腰三角形D.等腰三角形（北京市

7、競賽試題）9 .如圖，在aABC中，AB=AC, D, E分別是腰A8, AC延長線上的點，且8D=CE,連結。七交 BC 于 G,求證：DG=EG.（湖北省競賽試題）10 .如圖，在A3C 中，N8AC=900, AB=AC. BE 平分NABC, CELBE,求證：CE=-BD. 2（江蘇省競賽試題）BC11 .己知 RtAABC 中，AC=BC, NC=90。，D 為 AB 邊中點、,ZEDF=90 將NEDF 繞 D 點、旋轉, 它的兩邊分別交AC, 8c（或它們的延長線）于E、F,當NEQE繞。點旋轉到QE_LAC于E時（如圖1）,易證：當NEOF繞。點旋轉到。石和AC不垂直時，在圖

8、2和圖3這兩種情況 2下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明：若不成立，S.3M，Sawc又有怎樣的數量關系？ 請寫出你的猜想，不需證明.（牡丹江市中考試題）12 .如圖，在A8C 中，AB=AC, N8AC=80°,。為ABC 內一點，且NO8C=10°, ZOCA=20 求N8AO的度數.（天津市競賽試題）B級1 .如圖，在ABC 中，ZABC=100( AM=AN, CN=CP,則NMNP=2 .如圖，在ABC中，AB=AC, ZBAC=90°,直角NEPE的頂點P是3C的中點，兩邊PE, PF分別交AB, AC于點E, F,給出以下4個結論：AE=C尸:

9、4EPF是等腰直角三角形：S崛彬的p/= - S 2abc：EF=AP,、當/EPF在ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A, 8重合）.上述結論正確的是（蘇州市中考試題）3 .如圖，在ABC中，AB=BC, N為BC邊上兩點，并且NB4M=NCAN, MN=AN,則NMAC 的度數是.4 .如圖，在aABC中，AB=AC. NBAC與/ACB的平分線相交于O, NAOC=130。，那么NCA8 的大小是（）A. 80° B. 50°C. 40° D. 20°A5 .如圖，在A3C 中，N8AC=120°,從。_1_8（7于。，且 A8+8AOC,

10、則NC 的大小是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 45°6 .如圖，在ABC 中，AC=BC, ZACB=90°, AE 平分NBAC 交 BC 于 E, BDLAE 于 D, DMLAC交AC的延長線于M,連CD,下列四個結論：NAOC=45。： ®BD=-AE,AC+CE=A8； 2A5dC=2MC.其中正確結論的個數為（）A.1個B. 2個C.3個 D. 4個7 .如圖，已知AABC為等邊三角形，延長3。至D,延長胡至£并且使AE=8Q,連結CE、DE, 求證：CE=DE.8 .如圖，ABC 中，已知NC=

11、60。，AOBC,又ABC'、ABC、ABC 都是ABC 外的等邊 三角形，而點。在AC上，且8C=QC.（1）證明：AC'BD烏AB'DC；（2）證明：ACOg。&A：對ABC、ABC、AA'BC. ABC,從而積大小關系上，你能得出什么結論？（江蘇省競賽試題）9 .在AABC中，已知A8=AC,且過aABC某一頂點的直線可將aABC分成兩個等腰三角形，試求 A3C各內角的度數.（江蘇省揚州中學測試題）10 .如圖，在A3C 中，ZC=90°, NCAO=3()U, AC=BC=AD,求證：CD=BD.11 .已知ABC中，NB為銳角，從頂點

12、A向邊8c或8。的延長線引垂線交5c于H點，又從頂 點。向邊AB或A5的延長線引垂線交A8于K,試問：當竺乜，巫是整數時，ABC是怎樣的三 BC AB角形？并證明你的結論.（“智能杯”通訊賽試題）專題16等腰三角形的性質例 1 45°例2 提示：過點A作NA的平分線BD交于G,先證明ABGgAACF,再證明AGDgACFFD例3提示：延長BC, AE交于一點.、例 4 提示：如圖，作 BD_LAC 于 D,則NOCD=NOAD=30° , A ZBA0=44° -30° =14° ,Z MAO= ZOAC - ZMAC= 14 ° ,

13、 A ZBAO=ZMAO,又；NAOD=NCOD=90° 30° =60° ,，NAOB=ZAOM=120Q ,，OB=OM,又AO=AO, /.AAOBAAOM又NBOM=120° ,，NOMB=30° ,故NBMC=180° -ZOMB=150° .例 5 如圖，在 AC 延長線上截取 CM尸BM,由 RtABDMRtACDM,得 MD=MiD, ZMDB= ZMiDC. AZMDMl=1200 -ZMDB+ZM1DC=12O° ,又NMDN=60° , A ZNDM1=6O° , VMD=

14、MDL Z MDN= Z NDM1=6O ° , DN=DN , A AMDNAMIDN,得 MN=NMI ,故 AMN 周長： AM+MN+AN=AM+AN+NM 1=AM+AM 1=AB+AC=2.CE,可證CDEg/kABDdAED, OCA= ZOAC, ZCOE=2 Z ACO, DAE+ZEAC=67° .例6 解法1如圖a,作AABD關于AD的軸對稱圖形ADC 則NEAD=21° , AE=AB,，DE=BD, 又NADC=210 +46° =67° ,故NADE=NADB=180° 67° =113°

15、; , ZCDE=113° -67° =56° ,連ZODE=ZOED=46° ,得 OD=OE,又 DC=AE, 則 AO=CO, ZZCOE=2X46° =92° =2/人（20.從而/慶0）=46。=NOAC, /. Z解法2如圖b,過A點作AEBC.過D作DEAB,連接EC V ZEDC=ZABC=46° , DE=AB=CD,AZDCE=ZCED=- X (180° -46° ) =67° 2V ZADC=ZABC+ZBAD=460 +21° =67°/. NADC

16、=NDCE, :. AD=EC.梯形ADCE為等腰梯形.,.AC=DE (等腰梯形對角線相等)，AB=AC=CD, AZDAC=ZADC=67° .A級1. 67.5° 或 22.5°2.75°3.60°4.8 5.A 6.B 7.B8 .D 提示：由已知得(bc)(ab)(a+c)=0,故 b=c 或 a=b.9 .提示：過D作DFAC交BC于F,證明DFGgZkECG10 .提示：延長CE交BA的延長線于F,證明BECgABEF,再證明AFCZADB.11 .提示：圖2成立，聯系圖1,可證明ECDZFBD,SEF + S、cef = S立+

17、 S、cdF = 1FBD + SCDF ="乙圖3不成立，此時S、def- S、cef= IS*詠12 .作NBAC的角平分線與CO的延長線交于D,連BD.則4ABD附ZkACD,則NABD=NACD=30° , ZOBD=ZABC-ZOBC-ZABD=20° =NABD, ZDOB=ZOBC+ ZOCB=40° =NDAB,從而AABDgOBD, AB=OB,即AABO 為等腰三角形，WZBAO=- (180° -40° ) =70°2B級13 40° 2® 提示：連 AP.3. 60° 提

18、示：設NC4N=N8AM=a, /MAN邛,貝ljNC=/8AC=2a+£, 4AMN=B4. D 5.A6.D7 .提示：延長BQ到凡 使DF=BC,則3EF為等邊三角形，再證明BCEgZXFDE8 .證明略：由得 C 'Q=AC=A8',由得 O8'=A4=C'A,又 AO=A。，：.AAC DADB A； (3)Sa AB C>S.MBC >S/MBC>Szvl BC, S. 381+ Sa48c = SAC Sx BC9 .滿足題意的圖形有以下四種情形：10 .提示：在AC。內以CD為邊作等邊ECD,連AE,則從。：絲/人。£，/。4七=N。4>=15° , 2又,； NDCB=900 -ZACD=90° -75° =15° , ：. ZCAE=ZBCD=ZECA. XVAC=BC, CE=CD, ：.lACEBCD,:/DBC=/EAC=15Q . ：.NDC