1、第二部分第五課時：第二部分第五課時： 方程與幾何的綜合方程與幾何的綜合 思想方法提煉思想方法提煉 感悟、滲透、應用感悟、滲透、應用 課時訓練課時訓練 思想方法提煉思想方法提煉1.1.充分利用一元二次方程根與系數的關系及其判別式等充分利用一元二次方程根與系數的關系及其判別式等知識解決有關幾何問題；知識解決有關幾何問題；2.2.能熟練地將方程的根與幾何圖形中的線段聯系起來，能熟練地將方程的根與幾何圖形中的線段聯系起來，通過方程的性質和幾何圖形的性質實行轉化通過方程的性質和幾何圖形的性質實行轉化. . 感悟、滲透、應用感悟、滲透、應用【例例2 2】已知已知ABAB是半圓是半圓O O的直徑，的直徑，A

2、CAC切半圓于切半圓于A A，CBCB交交O O于于D D，DEDE切切O O于于D D，BEDEBEDE，垂足是垂足是E E，BD=10BD=10，DEDE、BEBE是方是方程程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的兩個根的兩個根( (DEDEBE)BE)，求求ACAC的長的長. .【解析】【解析】已知半徑，一般先構造已知半徑，一般先構造90的圓周角，的圓周角，故可以連故可以連AD，由此可容易由此可容易推得推得RtBDARtBACRtBED，由一元二次方程由一元二次方程根與系數關系和勾股定理建立關于根與系數關系和勾股定理建立關于DE、BE、m

3、的方程組，的方程組，解之，于是解之，于是RtBED可解可解.欲求欲求AC，只要先求出只要先求出AB，而而這通過相似三角形易求得這通過相似三角形易求得. 解：解：DEDE、BEBE是方程是方程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的兩個根的兩個根( (DEDEBE)BE)且且BEDEBEDE，BD=10BD=10連接連接ADAD，ABAB是直徑是直徑ADB=90ADB=90DEDE是是O O的切線的切線EDB=DABEDB=DABRtRtBDERtBDERtBADBADABC=DBEABC=DBE， AB= AB=ACAC切切O O于于ACAB=9

4、0ACAB=90RtRtCABRtCABRtDEBDEB AC=AC= 8BE6DE5m100BDBEDE3mm2BEDE2m2BEDE2222) )( (BEBDBDAB 8100BEBDAB2 225BEABDEAC 87586225BEDEAB 【例【例3 3】已知：已知：ABCABC的兩邊的兩邊ABAB、ACAC的長是關于的長是關于x x的一元二的一元二次方程次方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的兩個實數根，第三邊的兩個實數根，第三邊BCBC的的長為長為5.5.(1)(1)k k為何值時，為何值時，ABCABC是以是以BCBC為斜

5、邊的直角三角形為斜邊的直角三角形? ?(2)(2)k k為何值時，為何值時，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周長的周長. .【分析】【分析】ABAB、ACAC是方程的兩根，則根據根與系數的關系以是方程的兩根，則根據根與系數的關系以及及ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形聯立關于為斜邊的直角三角形聯立關于k k的方程，即的方程，即可求得可求得k k的值；而的值；而ABCABC為等腰三角形，則要通過分類討論為等腰三角形，則要通過分類討論三種情形，并且使分類不重不漏，再由其他條件確定三種情形，并且使分類不重不漏，再由其他條件確定k k值，值，從而求得等腰三角

6、形的周長從而求得等腰三角形的周長. . 解：解：(1)(1)ABAB、ACAC是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的兩根的兩根AB+AC=2k+3AB+AC=2k+3，ABABAC=kAC=k2 2+3k+2+3k+2又又ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形，且為斜邊的直角三角形，且BC=5BC=5ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2(AB+AC)(AB+AC)2 2-2AB-2ABAC=25AC=25即即(2(2k+3)k+3)2 2-2(k-2(k2 2+3k+2)=25+3k+2)=25kk2 2+3k

7、-10=0k+3k-10=0k1 1=-5=-5或或k k2 2=2=2當當k=-5k=-5時，方程為時，方程為x x2 2+7x+12=0+7x+12=0解得解得x x1 1=-3=-3，x x2 2=-4(=-4(舍去舍去) )當當k=2k=2時，方程為時，方程為x x2 2-7x+12=0-7x+12=0解得解得x x1 1=3=3，x x2 2=4=4當當k=2k=2時，時，ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形為斜邊的直角三角形. .(2)(2)若若ABCABC是等腰三角形，則有是等腰三角形，則有AB=ACAB=AC，AB=BCAB=BC，AC=BCAC=BC三種三種情況情況

8、. .=(2k+3)=(2k+3)2 2-4(k-4(k2 2+3k+2)=1+3k+2)=10 0ABACABAC，故第一種情況不成立；故第一種情況不成立；當當AB=BCAB=BC，或或AC=BCAC=BC時，時，5 5是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的根的根即即25-5(225-5(2k+3)+kk+3)+k2 2+3k+2=0k+3k+2=0k2 2-7k+12=0-7k+12=0kk1 1=3=3或或k k2 2=4=4當當k=3k=3時，時，x x2 2-9x+20=0-9x+20=0，x x1 1=4=4，x x2

9、2=5=5等腰三角形的三邊長分別是等腰三角形的三邊長分別是5 5、5 5、4 4，周長是，周長是14.14.當當k=4k=4時，時，x x2 2-11x+30=0 x-11x+30=0 x1 1=5=5，x x2 2=6=6等腰三角形的三邊長分別是等腰三角形的三邊長分別是5 5、5 5、6 6，周長為，周長為1616，故當故當k=3k=3或或k=4k=4時，時，ABCABC為等腰三角形，周長分別為為等腰三角形，周長分別為1414或或16.16.【例【例4 4】已知，在】已知，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分別是分別是A A、BB、CC的對邊，的對邊，ta

10、n Atan A、tan Btan B是關于是關于x x的一元二次的一元二次方程方程x x2 2-kx+12k-kx+12k2 2-37k+26=0-37k+26=0的兩個實數根，的兩個實數根，求：求：(1)(1)求求k k的值；的值；(2)(2)若若c=10c=10，且且a ab b，求求a a、b b的值的值. .【分析】利用根與系數的關系列方程即可求【分析】利用根與系數的關系列方程即可求k k的值；再利的值；再利用三角函數知識可求出用三角函數知識可求出a a、b b的邊長的邊長. . 解：解：(1)(1)tan Atan Atan B=12ktan B=12k2 2-37k+26-37k

11、+26則由則由C=90C=90知知A+B=90A+B=90即即tan Atan Atan B=1tan B=112k12k2 2-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0k=25/12k=25/12或或k=1k=1當當k=1k=1時時 ，方程變為，方程變為x x2 2-x+1=0-x+1=0因因00不合題意舍去不合題意舍去當當k=25/12k=25/12，方程變為方程變為x x2 2-25/12x+1=0-25/12x+1=0因因00成立成立k k的值為的值為25/12.25/12.(2)(2)又又tan A+tan B=ktan A+ta

12、n A+tan B=ktan A+(tanA)(tanA)2 2- (tan A)+1=012(tan A)- (tan A)+1=012(tan A)2 2-25(tan A)+12=0-25(tan A)+12=0tan A=3/4tan A=3/4或或tan A=4/3tan A=4/3又又a abtan A=a/bbtan A=a/b1tan A=4/31tan A=4/31225A1 t ta an n 6b8a10ba34ba2221225【例【例5 5】如圖所示，銳角三角形】如圖所示，銳角三角形ABCABC內接于內接于O O，高高ADAD、BEBE交于點交于點H H，過點過點A

13、A引圓的切線與直線引圓的切線與直線BEBE交于點交于點P P，直線直線BEBE交交O O于另一點于另一點F F，AB12AB12的長是關于的長是關于x x的方程的方程x x2 2- x+ (sin- x+ (sin2 2C- sin C+1)=0C- sin C+1)=0的一個實數根的一個實數根. .(1)(1)求求C C的度數與的度數與ABAB的長；的長；(2)(2)設設BH=xBH=x，BP=yBP=y，求求y y與與x x間的函數關系式；當間的函數關系式；當y=3 y=3 時，試判斷時，試判斷ABCABC的形狀，并的形狀，并說明理由說明理由. . 214133【分析】【分析】(1)(1)

14、利用根的判別式利用根的判別式00可迅速求得；可迅速求得；(2)(2)要尋找要尋找y y與與x x的關系式，就要尋找的關系式，就要尋找y y、x x所在的兩個所在的兩個三角形相似，故即證三角形相似，故即證PBAPBAABHABH；再利用再利用y y與與x x的關的關系式，已知系式，已知y y值即可求出值即可求出x x的值的值. .在在RtRtAHEAHE和和RtRtABEABE中中運用勾股定理及三角函數知識求出運用勾股定理及三角函數知識求出HEHE、BEBE的長度，最后的長度，最后計算出計算出BAC=60BAC=60=C=C即可即可. .21解：解：(1)(1)方程有實根方程有實根=(-1/2)

15、=(-1/2)2 2-4-41 11/4(sin1/4(sin2 2C-C-3sin C+1)03sin C+1)0即即-(-(sin C- )sin C- )2 20sin C= 0sin C= ，C=60C=60由由=0=0知知x x1 1=x=x2 2，而而x x1 1+x+x2 2=2x=2x1 1=1/2x=1/2x1 1=1/4=1/4即即AB12=14AB=3.AB12=14AB=3.(2)(2)ADBCADBC，BEACBEACP+PAC=BAD+ABC=90P+PAC=BAD+ABC=90又又PAPA切切O O于于APAC=ABCAPAC=ABCP=ABHP=ABHPBAPB

16、AABHABHx x即即y=y=23x33yBHABABPB x923當當y= y= 時，即時，即 在在RtRtDACDAC中，中，C=60C=60DAC=30DAC=30在在RtRtAHEAHE中，設中，設HE=mHE=m，則則AH=2mAH=2m，AE= mAE= m在在RtRtAEBAEB中，中，AEAE2 2+BE+BE2 2=AB=AB2 2 =3 =32 2m=- (m=- (舍舍) )m=m=BE=HE+HB=BE=HE+HB=sin BAE=sin BAE=BAE=60BAE=60BAE=C=60BAE=C=60ABCABC為等邊三角形為等邊三角形. . 33333339BH

17、322m33m) )( () )( ( 323323323 233323 課時訓練課時訓練1.1.斜邊長為斜邊長為1313的直角三角形的兩直角邊長為方程的直角三角形的兩直角邊長為方程x x2 2-(m- -(m- 1)x+3(m+2)=01)x+3(m+2)=0的兩根，求其內切圓的半徑的兩根，求其內切圓的半徑r.r.解：設兩直角邊長為解：設兩直角邊長為a a、b b，則則a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=(m-1)-2ab=(m-1)2 2-6(m+2)=13-6(m+2)=132 2m=18m=18或或m=-10m=-10又又a+b=m-1a+b=m-10m0

18、m1m=-101m=-10舍去舍去a+b=m-1=18-1=17a+b=m-1=18-1=17r= (a+b-13)= (17-13)=2.r= (a+b-13)= (17-13)=2.21212.(20022.(2002年年北京東城區北京東城區) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，斜邊斜邊c=5c=5，兩直角邊的長兩直角邊的長a a、b b是關于是關于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2- -mx+2m-2=0mx+2m-2=0的兩個根，求的兩個根，求RtRtABCABC中較小銳角的正弦值中較小銳角的正弦值. .解：解：a a、b b是方程是方程x x2-mx+2m-2=0-mx+2m-2=0的兩個根的兩個根a+b=a+b=m m，abab=2m-2.=2m-2.在在RtRtABCABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得a a2 2+b+b2=c=c2 2即即( (a+b)a+b)2 2-2ab=25.-2ab=25.mm2 2-2(2m-2)=25m=7-2(2m-2)=25m=7或或m=-3(m=-3(舍舍) )當當m=7m=7時時 ，原方程，原方程x x2 2-7x+12=0 x=3-7x+12=0 x=3或或x=4.x=4.假設假設a=3a=3則則sin A=ac=sin A=ac=Rt