1、世界數(shù)學(xué)史序言 本世紀(jì)初，法國著名科學(xué)家普恩凱萊(HPoincare，18541912)就曾說過：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”而了解數(shù)學(xué)的歷史，不僅對有志于數(shù)學(xué)研究的研究人員來說是十分重要的，就是對高、中、初級各類學(xué)校中的數(shù)學(xué)教育工作者以及更為廣大的數(shù)學(xué)愛好者講來，其重要意義都是極為顯而易見的長時期以來，我國的數(shù)學(xué)史工作者，他們的大部分工作，多是屬于中國古代數(shù)學(xué)史方面的而對于世界數(shù)學(xué)史的研究工作，相對講來，起步較晚，數(shù)量較小只到了最近，這種情況才稍有改變七、八年前，本書的作者們有鑒于此，不揣冒昧，組織起來進(jìn)行工作其結(jié)果，就是呈現(xiàn)在讀者面前的這部著作在本書

2、中，并沒有把中國與外國并列，而是把中國數(shù)學(xué)放到世界數(shù)學(xué)之中去寫的宋元數(shù)學(xué)代表了當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的較高水平，所以列專章論述；清代數(shù)學(xué)相對落后，有價值可入史冊者，也列入有關(guān)章節(jié)適當(dāng)介紹全書基本上按時間順序編排，但也考慮到地區(qū)和學(xué)科古代數(shù)學(xué)成果曾先后集中在幾個地區(qū)，故以地區(qū)分章；而現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展多呈以學(xué)科為系統(tǒng)的發(fā)展形式，故現(xiàn)代數(shù)學(xué)多以學(xué)科分章或分節(jié)本書的選題、組織的最初工作是由杜石然負(fù)責(zé)的各章節(jié)的執(zhí)筆分工如下：張貴新：第一、二、三章；孔國平：第四、八、九、十、十一章；杜瑞芝：第五、六、七章；張祖貴：第十二、十三章；胡作玄：第十四章中的第14節(jié)全書的統(tǒng)纂工作，是由孔國平完成的中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所李文林教

3、授協(xié)助審閱了本書的第九、十、十一章、中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所劉鈍教授協(xié)助審閱了第四、八章他們都提出了有益的修改意見遼寧師范大學(xué)的梁宗巨教授、王青建副教授為本書提供了數(shù)學(xué)家的肖像和數(shù)學(xué)著作的書影吉林教育出版社白國才等社領(lǐng)導(dǎo)以及編輯部的闕家棟、王鐵義等先生都做了大量的工作凡此種種，在此一并致謝雖經(jīng)各位作者盡心努力，由于資料、水平所限，疏漏謬誤之處當(dāng)在所難免，敬請各位讀者批評指正 杜石然一九九五年二月，序于日本國京都市佛教大學(xué)第一章：埃及數(shù)學(xué)第一節(jié) 埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景及研究依據(jù) 埃及是數(shù)學(xué)古國，被人們認(rèn)為是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的最早國家之一，因此，在研究數(shù)學(xué)歷史的時候，必須提及埃及的數(shù)學(xué)對埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，曾有

4、過各種不同的看法，例如，希臘的邏輯學(xué)家亞里士多德(Aristotle，公元前384約前322)在其形而上學(xué)一書中指出：“之所以在埃及能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)，是受到上帝的恩賜”對此，恩格斯在反杜林論中明確指出：“數(shù)學(xué)是人的需要中產(chǎn)生的，是從丈量土地和測量容積，從計(jì)算時間和制造器皿產(chǎn)生的”事實(shí)上，埃及的數(shù)學(xué)產(chǎn)生，符合恩格斯的精辟闡述 一、埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會背景 埃及位于尼羅河岸，在古代分為兩個王國，夾在兩個高原中間的狹長谷地，叫做上埃及處于尼羅河三角洲的地帶叫做下埃及這兩個王國經(jīng)過長時期的斗爭，在公元前3200年實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)尼羅河經(jīng)常泛濫，淹沒良田在地界被沖刷的情況下，

5、統(tǒng)治者要按不同數(shù)量征糧征稅，這樣，必須重新丈量土地實(shí)際上，埃及的幾何學(xué)就起源于此希臘的歷史學(xué)家希羅多德(Herodo- tus，約公元前484前424)在歷史(Herodoti Historiae)一書中，明確指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全體埃及居民中間把埃及的土地作了一次劃分他把同樣大小的正方形土地分給所有的人，并要求土地持有者每年向他繳納租金，作為他的主要稅收如果河水泛濫，國王便派人調(diào)查并測量損失地段的面積這樣，他的租金就要按照減少后的土地的面積來征收了我想，正是由于有了這樣的做法，埃及才第一次有了幾何學(xué)，而希臘人又從那里學(xué)到了它”希臘數(shù)學(xué)家德謨克利特(Democritus，

6、約公元前460前357)也曾指出：“我不得不深信，幾乎埃及人都會畫證明各種直線的圖形，每個人都是拉繩定界的先師”所謂拉繩定界的先師(harpedonaptai)大概是指以拉繩為主要工具的測量師埃及人為了發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，必須注意尼羅河的泛濫周期，在實(shí)踐中，積累了許多天文知識和數(shù)學(xué)知識譬如，他們注意到當(dāng)天狼星和太陽同時出沒之時，就是尼羅河洪水將至之兆并把天狼星的兩個清晨上升的間隔當(dāng)作一年，它包含365天把一年分成12個月，每個月是30個晝夜并逐步摸索出用日晷來測量時間大約在公元前1500年，埃及人就已經(jīng)使用了水鐘漏壺，它是底部有洞的容器把這個容器灌滿水，水從下面的孔里流完的這段時間作為計(jì)算時間的單位

7、所有這些都蘊(yùn)含了計(jì)算建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事根據(jù)對其結(jié)構(gòu)、形狀的研究，可推測古代埃及人掌握了一定的幾何知識，致使底兩個邊與正北的偏差，一個僅僅是2'30''，一個是5'30''這類的實(shí)際建筑，推動了埃及數(shù)學(xué)計(jì)算的發(fā)展綜上，社會的生產(chǎn)、生活的實(shí)際需要，促使埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展 二、研究埃及數(shù)學(xué)的依據(jù) 古埃及人創(chuàng)造出了幾套文字，其中一套是象形文字“象形文字”這個詞源于希臘文，意思是神圣的文字直到基督降生的年代，埃及在紀(jì)念碑文和器皿上還刻有象形文字自公元前2500年左右起，開始使用象形文字的縮寫，稱作僧侶文(hieraticwr

8、iting)1蘭德紙草書埃及的數(shù)學(xué)原典就是由象形文字書寫而成，其中，對考察古埃及數(shù)學(xué)有重要價值的是“蘭德紙草書”，這部紙草書是在埃及古都底比斯(Thebes)的廢墟中發(fā)現(xiàn)的1858年由蘭德(AHRhind)購買，爾后，遺贈給倫敦大英博物館因此， 叫做蘭德紙草書這種紙草書長約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年這部紙草書是根據(jù)底比斯人統(tǒng)治埃及時(約公元前1800年以后)寫成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫道，此書是根據(jù)埃及王國時代(公元前2000前1800)的材料寫成的這部紙草書的出現(xiàn)，對埃及的文化產(chǎn)生了重要影響，對數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播起到了一定的作用阿梅斯認(rèn)為，這是一部“洞察一切事物的存在

9、，徹底研究一切事物的變化，揭示一切秘密”的經(jīng)典實(shí)際上，只是傳授“數(shù)”的秘密和分?jǐn)?shù)計(jì)算全書分成三部分，一是算術(shù)；二是幾何；三是雜題共有85題記載著埃及人在生產(chǎn)、生活中遇到的實(shí)際問題例如，對勞動者酬金的分配；面積和體積的計(jì)算；不同谷物量的換算等等其中，也含有純數(shù)學(xué)知識問題例如，分?jǐn)?shù)的難題計(jì)算等等2莫斯科紙草書記載著古埃及數(shù)學(xué)的另一部古典書籍是莫斯科紙草書，此書是由俄羅斯收藏者于1893年獲得的約20年后，即1912年轉(zhuǎn)藏于莫斯科圖書館這部紙草書長約550厘米、寬8厘米，共記載著25個問題由于卷首遺失，書名無法考證俄羅斯歷史學(xué)家古拉葉夫(，18681920)于1917年和斯特盧威(，18911964

10、)于1930年對莫斯科紙草書進(jìn)行了研究，后-者完成了出版工作，對進(jìn)一步研究埃及的數(shù)學(xué)提供了方便總之，研究埃及數(shù)學(xué)主要是依據(jù)如上兩部書，當(dāng)然，也可能還有其它的有關(guān)資料，有待于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)與考證第二節(jié) 埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容 根據(jù)埃及紙草書的記載，古埃及人對算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有了初步認(rèn)識，并能做簡單地應(yīng)用現(xiàn)簡要介紹如下： 一、算術(shù) 古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的，例如根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的，必須要數(shù)“個位數(shù)”、“

11、十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個數(shù)但在計(jì)算乘法時，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運(yùn)算過程比較簡便乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對應(yīng)結(jié)果相加例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12×12的計(jì)算方法，是從右往左讀的右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)由下表可知，計(jì)算的方法是把12依次擴(kuò)大2倍，那么12×12為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字在左側(cè))標(biāo)記斜線，算得結(jié)果144在更早的時期，埃及人也曾采用“減半法”來計(jì)算乘法首先是將一乘數(shù)擴(kuò)大10倍，然后再計(jì)算10倍的一半例如紙草書(卡

12、芬版)第6頁，計(jì)算16×16，是按如下方法計(jì)算的，即減半法(mediatio)/116/10160/580合計(jì)256這種乘法的計(jì)算方法是古代人計(jì)算技能的基礎(chǔ)，是非常古老的方法希臘時期的學(xué)校曾講授過埃及人的計(jì)算方法，到了中世紀(jì)，還講授“倍增法”和“減半法”除法：埃及人很早就認(rèn)識到除法是乘法的逆運(yùn)算，并蘊(yùn)含在實(shí)際計(jì)算之中例如，計(jì)算1120÷80(見蘭德紙草書第69頁)180/108002160/4320合計(jì)1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個80分?jǐn)?shù)：古埃及人對分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算都比現(xiàn)在復(fù)雜得多例如，他分叫做“第三部分”例如

13、，這樣，通過二個部分與第三部分；三個部分與第四部分的結(jié)合來表示出一個整體現(xiàn)在的西歐，有時也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達(dá)三分之一、四分之一這類分?jǐn)?shù)的含義按此規(guī)律理解，五分之一可認(rèn)為與四個部分結(jié)合成一個整體的第五部分從語言的角度，五分之二(twofifths)就無法表達(dá)了隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大，計(jì)算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))來表示分?jǐn)?shù)：對一般分?jǐn)?shù)則拆成“單位分?jǐn)?shù)”表示例如，(用現(xiàn)代符號表示) 二、代數(shù) 在蘭德紙草書中，因?yàn)榍蠛粋€未知量的方程解法在埃及語中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”“阿哈算法”實(shí)際上是求解一

14、元一次方程式的方法蘭德紙草書第26題則是簡單一例用現(xiàn)代語言表達(dá)為：古埃及人是按照如下方法計(jì)算的：12，則12即是所求的量這種求解方法也稱“暫定前提”(false assumption)法，即：首先，根據(jù)所求的量而選擇一個數(shù)在蘭德紙草書第26題中，選擇了4因?yàn)閷?shí)際上，這個問題用列方程的方法很容易計(jì)算設(shè)所求量為x，則：解之得：x12在用“阿哈算法”求解的問題中，也含有求平方根的問題，柏林紙草書中有如下的問題：方形，兩個正方形面積的和為100，試計(jì)算兩個正方形的邊長”不妨從“暫定的前提”出發(fā)，首先取邊長為1的正方形，那么另一方形的邊長分別為8和6如果列成現(xiàn)代的方程式求解，是很簡單的所以，兩個正方形的

15、邊長分別為8和6埃及人對“級數(shù)”也有了簡單的認(rèn)識，在紙草書中，用象形文字寫出一列數(shù)7，49，343，2401，16807，并與之對應(yīng)一列詞：“圖畫”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數(shù)為19607實(shí)際上，這是公比為7的等比數(shù)列對此，有的數(shù)學(xué)史家解釋為：“有7個人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7容器大麥”從這個題目中，可以寫出怎樣的一列數(shù)，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數(shù)列和的問題 三、幾何 埃及人創(chuàng)建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內(nèi)容他們曾提出計(jì)算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡

16、等法則埃及人能應(yīng)用正確的公式來計(jì)算三角形、長方形、梯形的面積把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積另外，埃及人還能對不同的面積單位進(jìn)行互相換算在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關(guān)于三角形和四邊形面積計(jì)算問題，如圖11但是，他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對的，只是長方形時，這才是正確的計(jì)算公式埃及人曾采用s(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計(jì)算圓的面積由此得到：能把值精確到小數(shù)點(diǎn)后一位，在那個時代，應(yīng)該說是一件了不起的事，巴比倫人在數(shù)學(xué)高度發(fā)展時期，還常常取3在計(jì)算體積方面

17、，經(jīng)考察蘭德等紙草書發(fā)現(xiàn)，埃及人已經(jīng)知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計(jì)算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”有材料證實(shí)，在埃及幾何中，最突出的一項(xiàng)工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示為：其中h是高，a和b是下、上底的邊長像這樣的公式，若認(rèn)為是靠經(jīng)驗(yàn)得到的，理由則是不夠充分的按當(dāng)時埃及人已掌握的數(shù)學(xué)知識，我們可做如下理論推導(dǎo)：把正棱臺分成4個部分，即1個長方體、2個棱柱、1個棱錐如圖12，假如棱錐的體積是已知的，可得公式：可推測，(1)式是由(2)式的代數(shù)變形得到的，但是，當(dāng)時的埃及人比較擅長于具體數(shù)值的計(jì)算，還沒掌握對一般量

18、的推導(dǎo)這里似乎埃及受巴比倫代數(shù)的影響，掌握了一定的數(shù)學(xué)推理方法從公式(2)推出公式(1)，可考慮采用了如下方法：假定一個棱垂直于底面，把圖12中的兩個棱柱分別變?yōu)楦呤窃?，最下層為a2，中間層為ab，最上層為b2由此可得到其總體體積為：與(1)式相符按如上方法推導(dǎo)公式(1)，是沒有超越埃及當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平的，但是，也沒有充分的依據(jù)來斷定埃及人就使用了這種方法對此有各種不同的猜是紙草書中提及的特殊情況)，埃及人才推導(dǎo)出公式(1)第三節(jié) 埃及人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用及對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn) 一、埃及人對數(shù)學(xué)的應(yīng)用 埃及的數(shù)學(xué)是從生產(chǎn)和生活實(shí)際中產(chǎn)生的，反過來，他們又力爭把所獲得的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)踐埃及人把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到管理國家和教會的事物中，譬如，確定付給勞役者的報(bào)酬，求谷倉的容積和田地的面積，征收按土地面積估出的地稅，計(jì)算修造房屋和防御工程所需的磚數(shù)把數(shù)學(xué)應(yīng)用于釀酒等方面的計(jì)算他們利用術(shù)語“比數(shù)”(pesu)，即一個單位谷物生產(chǎn)出酒的量或面包的個數(shù)，按下面方法計(jì)算：谷物的量×比數(shù)=酒量(或面包的個數(shù))在這些簡單的計(jì)算中，常常需要進(jìn)行單位的換算把數(shù)學(xué)應(yīng)用到天文的計(jì)算中從第一朝代開始，尼羅河就是埃及人的生命源泉，他們?nèi)粘龆?，日落而息，必須掌握四季氣候變遷的